Рациональное разнообразие

Алгебраическое многообразие

В математике рациональное многообразие — это алгебраическое многообразие над заданным полем K , которое бирационально эквивалентно проективному пространству некоторой размерности над K. Это означает, что его функциональное поле изоморфно

${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d}),}$

поле всех рациональных функций для некоторого набора неизвестных , где d — размерность многообразия. ${\displaystyle \{U_{1},\dots ,U_{d}\}}$

Рациональность и параметризация

Пусть V — аффинное алгебраическое многообразие размерности d, определяемое простым идеалом I  = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ в . Если V рационально, то существует n  + 1 многочлен g ₀ , ..., g _n в , такой что Другими словами, мы имеем ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$ ${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$рациональная параметризация многообразия. ${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})}$

Наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует гомоморфизм поля функций V в . Но этот гомоморфизм не обязательно относится к . Если такая параметризация существует, то многообразие называется унирациональным. Теорема Люрота (см. ниже) подразумевает, что унирациональные кривые рациональны. Теорема Кастельнуово также подразумевает, что в нулевой характеристике каждая унирациональная поверхность рациональна. ${\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})}$

Вопросы рациональности

Вопрос о рациональности спрашивает, является ли заданное расширение поля рациональным , в том смысле, что оно (с точностью до изоморфизма) является полем функций рационального многообразия; такие расширения поля также описываются как чисто трансцендентные . Точнее, вопрос о рациональности для расширения поля заключается в следующем: изоморфно ли полю рациональных функций над по числу неопределенностей, заданных степенью трансцендентности ? ${\displaystyle K\subset L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Существует несколько различных вариаций этого вопроса, вытекающих из способа построения полей и . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Например, пусть будет полем, и пусть ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \{y_{1},\dots ,y_{n}\}}$

быть неопределенными над K и пусть L будет полем, порожденным над K ими. Рассмотрим конечную группу, переставляющую эти неопределенные над K . Согласно стандартной теории Галуа , множество неподвижных точек этого группового действия является подполем , обычно обозначаемым . Вопрос рациональности для называется проблемой Нётер и спрашивает, является ли это поле неподвижных точек чисто трансцендентным расширением K . В статье (Нётер 1918) по теории Галуа она изучала проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую она свела к «проблеме Нётер». (Она впервые упомянула эту проблему в (Noether 1913), где приписала ее авторство Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. RG Swan  (1969) нашел контрпример к проблеме Нётер с n = 47 и G — циклической группой порядка 47. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{G}}$ ${\displaystyle K\subset L^{G}}$

Теорема Люрота

Знаменитый случай — проблема Люрота , которую Якоб Люрот решил в девятнадцатом веке. Проблема Люрота касается подрасширений L поля K ( X ), рациональных функций от единственной неопределенной X . Любое такое поле либо равно K , либо также рационально, то есть L = K ( F ) для некоторой рациональной функции F . В геометрических терминах это утверждает, что непостоянное рациональное отображение из проективной прямой в кривую C может иметь место только тогда, когда C также имеет род 0. Этот факт можно геометрически вывести из формулы Римана–Гурвица .

Хотя теорема Люрота часто рассматривается как неэлементарный результат, несколько элементарных коротких доказательств известны уже давно. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., например, ^[1] ).

Унирациональность

Унирациональное многообразие V над полем K — это многообразие, доминируемое рациональным многообразием, так что его функциональное поле K ( V ) лежит в чистом трансцендентном поле конечного типа (которое может быть выбрано имеющим конечную степень над K ( V ), если K бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное — одно и то же, а теорема Кастельнуово подразумевает, что для комплексных поверхностей унирациональное влечет рациональное, поскольку оба характеризуются обращением в нуль как арифметического рода , так и второго плюригенуса . Зарисский нашел несколько примеров ( поверхностей Зарисского ) в характеристике p  > 0, которые являются унирациональными, но не рациональными. Клеменс и Гриффитс (1972) показали, что кубическое трехмерное многообразие в общем случае не является рациональным многообразием, что является примером для трех измерений, что унирациональность не влечет рациональность. В их работе использовался промежуточный якобиан . Исковских и Манин (1971) показали, что все неособые квартики трехмерных многообразий иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) обнаружили некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в своей третьей группе когомологий, что подразумевает, что они нерациональны.

Для любого поля K Янош Коллар доказал в 2000 году, что гладкая кубическая гиперповерхность размерности не менее 2 унирациональна, если она имеет точку, определенную над K . Это улучшение многих классических результатов, начиная со случая кубических поверхностей (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, которые, как показано, унирациональны, являются многие случаи пространства модулей кривых. ^[2]

Рационально связанное разнообразие

Рационально связное многообразие V — это проективное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем, такое, что через каждые две точки проходит образ регулярного отображения из проективной прямой в V. Эквивалентно, многообразие рационально связно, если каждые две точки соединены рациональной кривой, содержащейся в многообразии. ^[3]

Это определение отличается от определения связности путей только природой пути, но оно существенно отличается, поскольку единственные рационально связанные алгебраические кривые — это рациональные кривые.

Каждое рациональное многообразие, включая проективные пространства , рационально связно, но обратное утверждение ложно. Класс рационально связных многообразий, таким образом, является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но неизвестно, верно ли обратное утверждение.

Стабильно рациональные разновидности

Многообразие V называется стабильно рациональным, если является рациональным для некоторого . Таким образом, любое рациональное многообразие по определению стабильно рационально. Примеры, построенные Бовиллем и др. (1985), показывают, что обратное утверждение неверно. ${\displaystyle V\times \mathbf {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

Шрайдер (2019) показал, что весьма общие гиперповерхности не являются стабильно рациональными, при условии, что степень V составляет по крайней мере . ${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{N+1}}$ ${\displaystyle \log _{2}N+2}$

Смотрите также

• Рациональная кривая
• Рациональная поверхность
• сорт Севери–Брауэра
• Бирациональная геометрия

Примечания

1. Бенсимхун, Майкл (май 2004 г.). «Еще одно элементарное доказательство теоремы Люрота» (PDF) . Иерусалим. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
2. Янош Коллар (2002). «Унирациональность кубических гиперповерхностей». Журнал Института математики Жюсье . 1 (3): 467–476. arXiv : math/0005146 . doi :10.1017/S1474748002000117. MR  1956057. S2CID  6775041.
3. Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.

Ссылки

• Артин, Майкл ; Мамфорд, Дэвид (1972), «Некоторые элементарные примеры унирациональных многообразий, которые не являются рациональными», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 25 : 75–95, CiteSeerX  10.1.1.121.2765 , doi :10.1112/plms/s3-25.1.75, ISSN  0024-6115, MR  0321934
• Бовиль, Арно; Коллио-Телен, Жан-Луи; Сансук, Жан-Жак; Суиннертон-Дайер, Питер (1985), «Variétés Stablement rationnelles non rationnelles», Annals of Mathematics , Second Series, 121 (2): 283–318, doi : 10.2307/1971174, JSTOR  1971174, MR  0786350
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан кубического трехмерного многообразия», Annals of Mathematics , вторая серия, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi :10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, MR  0302652
• Исковских, ВА; Манин, Ю. И. (1971), "Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота", Математический сборник , Новая серия, 86 (1): 140–166, Bibcode :1971SbMat..15..141I, doi :10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR  0291172
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э.; Корти , Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные многообразия, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 92, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, МР  2062787
• Нётер, Эмми (1913), «Обоснование Funktionenkörper», Дж. Бер. д. ДМВ , 22 : 316–319.
• Нётер, Эмми (1918), «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe», Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007/BF01457099, S2CID  122353858.
• Свон, РГ (1969), «Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода», Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat...7..148S, doi : 10.1007/BF01389798, S2CID  121951942
• Мартине, Ж. (1971), «Exp. 372 Un contre-exmple à une гипотеза Э. Нётер (д'апре Р. Свон);», Семинар Бурбаки. Том. 1969/70: Exposés 364–381 , Конспекты лекций по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0272580
• Шрайдер, Стефан (2019), «Устойчиво иррациональные гиперповерхности малых уклонов», Журнал Американского математического общества , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090/jams/928, S2CID  119326067