Единица (теория колец)

В алгебре единица или обратимый элемент ^[a] кольца является обратимым элементом умножения кольца. То есть элемент $u$ кольца $R$ является единицей, если существует $v$ в $R$ такой, что где $1$ — мультипликативная единица ; элемент $v$ уникален для этого свойства и называется мультипликативным обратным элементом $u$ . ^[1]^[2] Множество единиц $R$ образует группу $R$ $\times$ при умножении, называемую группой единиц или группой единиц $R$ . ^[b] Другими обозначениями группы единиц являются $R$ $*$ , $U($ $R$ $)$ и $E($ $R$ $)$ (от немецкого термина Einheit ). $vu=uv=1,$

Реже термин « единица» иногда используется для обозначения элемента $1$ кольца в таких выражениях, как кольцо с единицей или единичное кольцо , а также единичная матрица . Из-за этой двусмысленности $1$ чаще называют «единством» или «идентичностью» кольца, а фразы «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью» могут использоваться, чтобы подчеркнуть, что вместо этого рассматривается кольцо. кольца .

Примеры

Мультипликативное тождество $1$ и его аддитивное обратное $-1$ всегда являются единицами. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце $R$ является единицей: если $r n = 1$ , то $r n -1$ является мультипликативным обратным к $r$ . В ненулевом кольце элемент не является единицей, поэтому $R \times$ не замкнуто относительно сложения. Ненулевое кольцо $R$ , в котором каждый ненулевой элемент является единицей (т. е. $R \times = R ∖ {0}$ ), называется телом (или телом). Коммутативное тело называется полем . Например, группа единиц поля действительных чисел $R$ — это $R ∖ {0}$ .

Целочисленное кольцо

В кольце целых чисел $Z$ единственными единицами являются $1$ и $-1$ .

В кольце $Z / n Z$ целых чисел по модулю $n$ единицами являются классы сравнения $(mod n)$ , представленные целыми числами, взаимно простыми с $n$ . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю $n$ .

Кольцо целых чисел числового поля

В кольце $Z [\sqrt 3]$ , полученном присоединением квадратичного целого числа $\sqrt 3$ к $Z$ , имеем $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ , поэтому $2 + \sqrt 3$ является единицей, как и его степени. , поэтому $Z [\sqrt 3]$ имеет бесконечно много единиц.

В более общем смысле, для кольца целых чисел $R$ в числовом поле $F$ теорема Дирихле о единице утверждает, что $R \times$ изоморфно группе, где - (конечная, циклическая) группа корней из единицы в $R$ и $n$ - ранг единицы группа, где – количество действительных вложений и количество пар комплексных вложений $F$ соответственно. $\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$ $\mu _{R}$ $n=r_{1}+r_{2}-1,$ $r_{1},r_{2}$

Это восстанавливает пример $Z [\sqrt 3]$ : единичная группа (кольца целых чисел) действительного квадратичного поля бесконечна ранга 1, поскольку . $r_{1}=2,r_{2}=0$

Полиномы и степенные ряды

Для коммутативного кольца $R$ единицами кольца многочленов $R [x]$ являются многочлены такие, что a $0$ $является$ единицей в $R$ , а остальные коэффициенты нильпотентны , т. е. удовлетворяют для некоторого $N.$ ^[4] В частности, если $R$ является доменом (или, в более общем смысле, уменьшенным ), то единицы $R$ $[$ $x$ $]$ являются единицами $R$ . Единицами кольца степенных рядов являются степенные ряды , такие, что $0$ $является$ единицей в $R$ . ^[5] $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ $a_{1},\dots,a_{n}$ $a_{i}^{N}=0$ $R[[x]]$ $p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$

Матричные кольца

Единичной группой кольца $M n (R)$ матриц размера $n \times n$ над кольцом $R$ является группа $GL n (R)$ обратимых матриц . Для коммутативного кольца $R$ элемент $A$ из $Mn (R)$ обратим тогда и только тогда , $когда$ $определитель$ A обратим в $R.$ В этом случае $A$ $-1$ может быть задана явно через сопряженную матрицу .

В общем

Для элементов $x$ и $y$ в кольце $R$ , если обратимо, то обратимо и с обратным ; ^[6] эту формулу можно угадать, но не доказать, с помощью следующих вычислений в кольце некоммутативных степенных рядов: аналогичные результаты см. в тождестве Хуа . $1-xy$ $1-yx$ $1+y(1-xy)^{-1}x$ $(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^ {n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.$

Группа юнитов

Коммутативное кольцо называется локальным, если $R ∖ R \times$ — максимальный идеал .

Оказывается, если $R ∖ R \times$ — идеал, то он обязательно является максимальным идеалом , а $R$ локальным , поскольку максимальный идеал не пересекается с $R \times$ .

Если $R$ — конечное поле , то $R \times$ — циклическая группа порядка $| р | - 1$ .

Каждый гомоморфизм колец $f : R \to S$ индуцирует гомоморфизм группы $R \times \to S \times$ , поскольку $f$ отображает единицы в единицы. Фактически формирование единичной группы определяет функтор из категории колец в категорию групп . Этот функтор имеет левый сопряженный элемент , который представляет собой конструкцию целого группового кольца . ^[7]

Групповая схема изоморфна мультипликативной групповой схеме над любой базой, поэтому для любого коммутативного кольца $R$ группы и канонически изоморфны $U$ $($ $R$ $)$ . Заметим, что функтор (т. е. $R$ $\mapsto$ $U$ $($ $R$ $)$ ) представим в смысле: для коммутативных колец $R$ (это, например, следует из упомянутого выше отношения сопряжения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством гомоморфизмов колец и множеством единичных элементов $R$ (напротив, представляет собой аддитивную группу , функтор забывания из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп). $\operatorname {GL} _{1}$ $\mathbb {G} _{m}$ $\operatorname {GL} _{1}(R)$ $\mathbb {G} _{m}(R)$ $\mathbb {G} _{m}$ $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ $\mathbb {Z} [т]$ $\mathbb {G} _{a}$

Ассоциированность

Предположим, что $R$ коммутативен. Элементы $r$ и $s$ из $R$ называютсяассоциировать , если существует единица $u$ в $R$ такая, что $r = us$ ; тогда напиши $r ~ s$ . В любом кольце парыаддитивных обратныхэлементов^[c] $x$ и $- x$ ассоциированы,поскольку любое кольцо включает единицу $-1$ . Например, 6 и −6 ассоциированы в $Z$ . В общем, $~$ являетсяотношением эквивалентностина $R$ .

Связанность также можно описать в терминах действия R $\times$ на $R$ посредством умножения: два элемента $R являются ассоциированными$ $,$ если они находятся на одной и той же $R$ $\times$ -орбите .

В области целостности множество ассоциатов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность , что и $R \times$ .

Отношение эквивалентности $~$ можно рассматривать как любое из полугрупповых отношений Грина, специализирующихся на мультипликативной полугруппе коммутативного кольца $R$ .

Смотрите также

Примечания

^ В случае колец использование «обратимого элемента» воспринимается как само собой разумеющееся, относящееся к умножению, поскольку все элементы кольца обратимы для сложения.
^ Обозначение $R \times$ , введенное Андре Вейлем , обычно используется в теории чисел , где часто возникают группы единиц. ^[3] Символ $\times$ напоминает, что групповая операция — это умножение. Кроме того, верхний индекс × не часто используется в других контекстах, тогда как верхний индекс $*$ часто обозначает двойное число.
^ $x$ и $- x$ не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 имеем $3 = -3$ , хотя $1 \neq -1$ .

Цитаты

^ Даммит и Фут, 2004 г.
^ Ланг 2002
^ Вейль 1974 г.
^ Уоткинс 2007, Теорема 11.1.
^ Уоткинс 2007, Теорема 12.1.
^ Джейкобсон 2009, §2.2. Упражнение 4.
^ Кон 2003, §2.2. Упражнение 10.

Источники

Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание «Алгебры», 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Збл 1006.00001.
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х.
Уоткинс, Джон Дж. (2007), Темы коммутативной теории колец , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, МР 2330411
Вейль, Андре (1974). Основная теория чисел . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 144 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-58655-5.