Векторная функция

Функция, значение которой находится в векторном пространстве; обычно это действительное или комплексное число.

Векторная функция , также называемая векторной функцией , является математической функцией одной или нескольких переменных , областью действия которых является набор многомерных векторов или бесконечномерных векторов . Вход векторной функции может быть скаляром или вектором (то есть размерность области определения может быть 1 или больше 1); размерность области определения функции не имеет никакого отношения к размерности ее области действия.

Пример: Спираль

График векторной функции r ( z ) = ⟨2 cos  z , 4 sin  z , z ⟩, указывающий диапазон решений и вектор при оценке вблизи z = 19,5

Распространенным примером векторнозначной функции является функция, зависящая от одного вещественного параметра t , часто представляющего время , производя вектор v ( t ) в качестве результата. В терминах стандартных единичных векторов i , j , k декартова 3-мерного пространства эти конкретные типы векторнозначных функций задаются выражениями, такими как где f ( t ) , g ( t ) и h ( t ) являются функциями координат параметра t , а область определения этой векторнозначной функции является пересечением областей определения функций f , g , и h . Его также можно обозначить в другой нотации: Вектор r ( t ) имеет свой хвост в начале координат и свою голову в координатах, вычисленных функцией. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }$$

Вектор, показанный на графике справа, является оценкой функции вблизи t = 19,5 (между 6π и 6,5π ; т.е., немного больше 3 оборотов). Спираль представляет собой путь , проложенный кончиком вектора при увеличении t от нуля до 8π . ${\displaystyle \langle 2\cos t,\,4\sin t,\,t\rangle }$

В 2D мы можем аналогично говорить о векторных функциях как: или $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }$$

Линейный случай

В линейном случае функция может быть выражена в терминах матриц : где y — выходной вектор размера n × 1 , x — вектор входных данных размера k × 1 , а A — матрица параметров размера n × k . Тесно связан аффинный случай (линейный с точностью до переноса ), где функция принимает вид , где, кроме того, b'' — вектор параметров размера n × 1 . $${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} ,}$$

Линейный случай возникает часто, например, в множественной регрессии ^{[ необходимо разъяснение ]} , где, например, вектор n × 1 прогнозируемых значений зависимой переменной линейно выражается через вектор k × 1 ( k < n ) оценочных значений параметров модели: в котором X (играющий роль A в предыдущей общей форме) представляет собой матрицу n × k фиксированных (эмпирически обоснованных) чисел. ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=X{\hat {\boldsymbol {\beta }}},}$$

Параметрическое представление поверхности

Поверхность — это 2-мерный набор точек, вложенных в (чаще всего) 3-мерное пространство. Один из способов представления поверхности — параметрические уравнения , в которых два параметра s и t определяют три декартовы координаты любой точки на поверхности: Здесь F — векторнозначная функция. Для поверхности, вложенной в n -мерное пространство, аналогично имеет место представление $${\displaystyle (x,y,z)=(f(s,t),g(s,t),h(s,t))\equiv \mathbf {F} (s,t).}$$ $${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(f_{1}(s,t),f_{2}(s,t),\dots ,f_{n}(s,t))\equiv \mathbf {F} (s,t).}$$

Производная трехмерной векторной функции

Многие векторные функции, как и скалярные функции , можно дифференцировать , просто дифференцируя компоненты в декартовой системе координат. Таким образом, если — векторная функция, то Производная вектора допускает следующую физическую интерпретацию: если r ( t ) представляет положение частицы, то производная — это скорость частицы Аналогично, производная скорости — это ускорение $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {a} (t).}$$

Частичная производная

Частная производная векторной функции a по скалярной переменной q определяется как ^[1] ​​где a _i — скалярная составляющая a в направлении e _i . Она также называется направляющим косинусом a и e _i или их скалярным произведением . Векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ образуют ортонормированный базис , фиксированный в системе отсчета , в которой берется производная. $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}}$$

Обыкновенная производная

Если a рассматривать как векторную функцию одной скалярной переменной, такой как время t , то приведенное выше уравнение сводится к первой обычной производной по времени от a по t , ^[1] $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}.}$$

Общая производная

Если вектор a является функцией числа n скалярных переменных q _r ( r = 1, ..., n ) , и каждая q _r является только функцией времени t , то обычную производную a по t можно выразить в форме, известной как полная производная , как ^[1] $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}.}$$

Некоторые авторы предпочитают использовать заглавную букву D для обозначения оператора полной производной, например, D / Dt . Полная производная отличается от частной производной по времени тем, что полная производная учитывает изменения a из -за временной дисперсии переменных q _r .

Системы отсчета

В то время как для скалярных функций существует только одна возможная система отсчета , для взятия производной векторной функции требуется выбор системы отсчета (по крайней мере, когда фиксированная декартова система координат не подразумевается как таковая). После выбора системы отсчета производная векторной функции может быть вычислена с использованием методов, аналогичных методам вычисления производных скалярных функций. Другой выбор системы отсчета, как правило, даст другую производную функцию. Производные функции в разных системах отсчета имеют определенную кинематическую связь.

Производная векторной функции с нефиксированными основаниями

Вышеприведенные формулы для производной векторной функции основаны на предположении, что базисные векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ являются постоянными, то есть фиксированными в системе отсчета, в которой берется производная a , и, следовательно, e ₁ , e ₂ , e ₃ каждый имеет производную тождественно равную нулю. Это часто справедливо для задач, связанных с векторными полями в фиксированной системе координат, или для простых задач в физике . Однако многие сложные задачи включают производную векторной функции в нескольких движущихся системах отсчета, что означает, что базисные векторы не обязательно будут постоянными. В таком случае, когда базисные векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ фиксированы в системе отсчета E, но не в системе отсчета N, более общая формула для обычной производной по времени вектора в системе отсчета N имеет вид ^[1] , где верхний индекс N слева от оператора производной указывает систему отсчета, в которой берется производная. Как было показано ранее, первый член в правой части равен производной a в системе отсчета, где e ₁ , e ₂ , e ₃ являются постоянными, системе отсчета E. Также можно показать, что второй член в правой части равен относительной угловой скорости двух систем отсчета, перекрестно умноженной на сам вектор a . ^[1] Таким образом, после подстановки формула, связывающая производную векторной функции в двух системах отсчета, имеет вид ^[1] где ^N ω ^E — угловая скорость системы отсчета E относительно системы отсчета N. $${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$$ $${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {a} }$$

Одним из распространенных примеров использования этой формулы является нахождение скорости космического объекта, такого как ракета , в инерциальной системе отсчета с использованием измерений скорости ракеты относительно Земли. Скорость ^N v ^R в инерциальной системе отсчета N ракеты R, расположенной в положении r ^R, можно найти с помощью формулы , где ^N ω ^E — угловая скорость Земли относительно инерциальной системы отсчета N. Поскольку скорость является производной положения, ^N v ^R и ^E v ^R являются производными r ^R в системах отсчета N и E соответственно. Подстановкой, где ^E v ^R — вектор скорости ракеты, измеренный из системы отсчета E, которая закреплена на Земле. $${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })={\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }.}$$ $${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }}$$

Производная и векторное умножение

Производная произведения векторных функций ведет себя аналогично производной произведения скалярных функций. ^[a] В частности, в случае скалярного умножения вектора, если p является скалярной переменной функцией q , ^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(p\mathbf {a} )={\frac {\partial p}{\partial q}}\mathbf {a} +p{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}.}$$

В случае точечного умножения для двух векторов a и b , которые оба являются функциями q , ^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

Аналогично, производная перекрестного произведения двух векторных функций равна ^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

Производная отн-мерная векторная функция

Функцию f действительного числа t со значениями в пространстве можно записать как . Ее производная равна Если f является функцией нескольких переменных, скажем , , то частные производные компонентов f образуют матрицу, называемую матрицей Якоби функции f . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$ $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),\ldots ,f_{n}'(t)).}$$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle n\times m}$

Бесконечномерные векторные функции

Если значения функции f лежат в бесконечномерном векторном пространстве X , например, в гильбертовом пространстве , то f можно назвать бесконечномерной векторной функцией .

Функции со значениями в гильбертовом пространстве

Если аргумент f — действительное число, а X — гильбертово пространство, то производная f в точке t может быть определена как в конечномерном случае: Большинство результатов конечномерного случая справедливы и в бесконечномерном случае, mutatis mutandis . Дифференцирование также может быть определено для функций нескольких переменных (например, или даже , где Y — бесконечномерное векторное пространство). $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}}.}$$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t\in Y}$

NB Если X — гильбертово пространство, то можно легко показать, что любая производная (и любой другой предел ) может быть вычислена покомпонентно: если (т. е. , где — ортонормированный базис пространства X  ), и существует, то Однако существование покомпонентной производной не гарантирует существования производной, как покомпонентная сходимость в гильбертовом пространстве не гарантирует сходимости относительно фактической топологии гильбертова пространства. $${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$$ ${\displaystyle \mathbf {f} =f_{1}\mathbf {e} _{1}+f_{2}\mathbf {e} _{2}+f_{3}\mathbf {e} _{3}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\ldots }$ ${\displaystyle f'(t)}$ $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).}$$

Другие бесконечномерные векторные пространства

Большинство из вышесказанного справедливо и для других топологических векторных пространств X. Однако не так много классических результатов справедливо в банаховом пространстве , например, абсолютно непрерывная функция со значениями в подходящем банаховом пространстве не обязательно должна иметь производную где-либо. Более того, в большинстве банаховых пространств нет ортонормированных базисов.

Вектор поля

Часть векторного поля (sin  y , sin  x )

В векторном исчислении и физике векторное поле — это присвоение вектора каждой точке пространства , чаще всего евклидова пространства . ^[2] Векторные поля на плоскости можно визуализировать как набор стрелок с заданными величинами и направлениями, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в трехмерном пространстве , такой как ветер , или величины и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, при ее изменении от одной точки к другой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Элементы дифференциального и интегрального исчисления естественным образом распространяются на векторные поля. Когда векторное поле представляет силу , линейный интеграл векторного поля представляет работу , совершаемую силой, движущейся по пути, и при этой интерпретации сохранение энергии проявляется как частный случай фундаментальной теоремы исчисления . Векторные поля можно с пользой рассматривать как представляющие скорость движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как дивергенция ( которая представляет скорость изменения объема потока) и ротор (который представляет вращение потока).

Векторные поля являются частным случаем векторнозначной функции , размерность домена которой не имеет отношения к размерности ее диапазона; например, вектор положения пространственной кривой определен только для меньшего подмножества окружающего пространства. Аналогично, n координат , векторное поле на домене в n -мерном евклидовом пространстве может быть представлено как векторнозначная функция, которая сопоставляет n -кортеж действительных чисел с каждой точкой домена. Это представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон преобразования ( ковариантность и контравариантность векторов ) при переходе от одной системы координат к другой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножествах евклидова пространства, но также имеют смысл и на других подмножествах, таких как поверхности , где они связывают стрелку, касательную к поверхности в каждой точке ( касательный вектор ).

В более общем смысле векторные поля определяются на дифференцируемых многообразиях , которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство на малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру на больших масштабах. В этой настройке векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть сечение касательного расслоения к многообразию). Векторные поля являются одним из видов тензорных полей .

Смотрите также

• Вектор координат
• Изгиб
• Многозначная функция
• Параметрическая поверхность
• Вектор положения
• Параметризация

Примечания

1. Фактически, эти отношения выводятся путем применения правила произведения покомпонентно.

Ссылки

1. Кейн, Томас Р.; Левинсон, Дэвид А. (1996). "1–9 Дифференцирование векторных функций". Динамика: теория и приложения . Саннивейл, Калифорния: McGraw-Hill. стр. 29–37.^{[ ISBN отсутствует ]}
2. Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления. Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.

• Ху, Чуан-Ган; Ян, Чун-Чун (2013). Векторнозначные функции и их приложения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-8030-4.

Внешние ссылки

• Векторнозначные функции и их свойства (из Lake Tahoe Community College)
• Вайсштейн, Эрик В. «Векторная функция». MathWorld .
• Everything2 статья
• 3-мерные векторные функции (из Университета Восточного Теннесси)
• Модуль «Функции векторного положения» Академии Хана