Производящая функция преобразования

В математике преобразование функции генерации последовательности обеспечивает метод преобразования функции генерации для одной последовательности в функцию генерации, перечисляющую другую. Эти преобразования обычно включают интегральные формулы, применяемые к функции генерации последовательности (см. интегральные преобразования) или взвешенные суммы по производным более высокого порядка этих функций (см. производные преобразования).

Для заданной последовательности обычная производящая функция (ОПФ) последовательности, обозначенная , и экспоненциальная производящая функция (ЭПФ) последовательности, обозначенная , определяются формальным степенным рядом ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .}$

В этой статье мы используем соглашение, что обычная (экспоненциальная) производящая функция для последовательности обозначается заглавной функцией / для некоторой фиксированной или формальной , когда контекст этой нотации ясен. Кроме того, мы используем скобочную нотацию для извлечения коэффициентов из справочника по конкретной математике , которая задается как . В основной статье приводятся примеры производящих функций для многих последовательностей. Другие примеры вариантов производящих функций включают производящие функции Дирихле (DGF), ряды Ламберта и ряды Ньютона . В этой статье мы сосредоточимся на преобразованиях производящих функций в математике и ведем пополняемый список полезных преобразований и формул преобразования. ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [z^{n}]F(z):=f_{n}}$

Извлечение арифметических прогрессий из последовательности

Series multisection предоставляет формулы для генерации функций, перечисляющих последовательность, заданную обычной генерирующей функцией , где , и . В первых двух случаях, когда , мы можем разложить эти арифметические прогрессии, генерирующие функции, непосредственно в терминах : ${\displaystyle \{f_{an+b}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\geq 2}$ ${\displaystyle 0\leq b<a}$ ${\displaystyle (a,b):=(2,0),(2,1)}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).}$

В более общем смысле предположим, что и что обозначает примитивный корень единицы . Тогда у нас есть следующая формула, ^[1] часто известная как фильтр корня единицы: ${\displaystyle a\geq 3}$ ${\displaystyle \omega _{a}:=\exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)}$ ${\displaystyle a^{th}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

Для целых чисел еще одна полезная формула, дающая несколько обратные арифметические прогрессии с понижением, генерируется тождеством ^[2] ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

Полномочия OGF и композиция с функциями

Экспоненциальные полиномы Белла , , определяются экспоненциальной производящей функцией ^[3] ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)}$

${\displaystyle \Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Следующие формулы для степеней, логарифмов и композиций формальных степенных рядов расширяются этими многочленами с переменными в коэффициентах исходных производящих функций. ^{[4] [5]} Формула для экспоненты производящей функции неявно задается через многочлены Белла с помощью EGF для этих многочленов, определенных в предыдущей формуле для некоторой последовательности . ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

Обратные величины OGF (частный случай формулы степеней)

Степенной ряд для обратной производящей функции, , расширяется по формуле ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

Если обозначить коэффициенты в разложении обратной производящей функции, то получим следующее рекуррентное соотношение: ${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Полномочия OGF

Пусть фиксировано, предположим, что , и обозначим . Тогда мы имеем разложение в ряд для заданного по формуле ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$ ${\displaystyle F(z)^{m}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

и коэффициенты удовлетворяют рекуррентному соотношению вида ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Другая формула для коэффициентов, , расширяется полиномами Белла как ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

где обозначает символ Похгаммера . ${\displaystyle (r)_{n}}$

Логарифмы OGF

Если мы допустим и определим , то мы имеем разложение в степенной ряд для составной производящей функции, заданной как ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}$

где коэффициенты, , в предыдущем разложении удовлетворяют рекуррентному соотношению, заданному формулой ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

и соответствующая формула, расширенная полиномами Белла в виде коэффициентов степенного ряда следующей производящей функции:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Формула Фаа ди Бруно

Пусть обозначает EGF последовательности, , и предположим, что — EGF последовательности, . Формула Фаа ди Бруно подразумевает, что последовательность, , порожденная композицией , может быть выражена в терминах экспоненциальных полиномов Белла следующим образом: ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Интегральные преобразования

OGF ⟷ Формулы преобразования EGF

Имеем следующие интегральные формулы , которые можно применять почленно относительно того , когда принимается любая формальная переменная степенного ряда: ^[6] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Обратите внимание, что первая и последняя из этих интегральных формул используются для преобразования EGF в OGF последовательности и из OGF в EGF последовательности всякий раз, когда эти интегралы сходятся.

Первая интегральная формула соответствует преобразованию Лапласа (или иногда формальному преобразованию Лапласа–Бореля ) производящих функций, обозначенному как , определенному в. ^[7] Другие интегральные представления для гамма-функции во второй из предыдущих формул, конечно, также могут быть использованы для построения аналогичных интегральных преобразований. Одна конкретная формула приводит в случае примера двойной факториальной функции, приведенного непосредственно ниже в этом разделе. Последняя интегральная формула сравнивается с петлевым интегралом Ганкеля для обратной гамма-функции, примененной почленно к степенному ряду для . ${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$ ${\displaystyle F(z)}$

Пример: Двойной факториальный интеграл для ЭФР чисел Стирлинга второго рода

Простая факториальная функция , , выражается как произведение двух двойных факториальных функций вида ${\displaystyle (2n)!}$

${\displaystyle (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

где интеграл для двойной факториальной функции, или рациональной гамма-функции , определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

для натуральных чисел . Это интегральное представление затем подразумевает, что для фиксированных ненулевых и любых целых степеней мы имеем формулу ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle (2n-1)!!}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].}$

Таким образом, для любого заданного целого числа мы можем использовать предыдущее интегральное представление вместе с формулой для извлечения арифметических прогрессий из последовательности OGF, приведенной выше, чтобы сформулировать следующее интегральное представление для так называемого модифицированного числа Стирлинга EGF как ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,}$

который сходится при условии подходящих условий для параметра . ^[8] ${\displaystyle 0<|q|<1}$

Пример: Формула EGF для производных высшего порядка геометрической прогрессии

Для фиксированного ненулевого , определенного таким образом, что , обозначим геометрическую прогрессию по неотрицательным целым степеням через . Соответствующие производные более высокого порядка геометрической прогрессии по обозначаются последовательностью функций ${\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle (cz)^{n}}$ ${\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

для неотрицательных целых чисел . Эти производные обычной геометрической прогрессии можно показать, например, с помощью индукции, чтобы удовлетворять явной формуле замкнутой формы, заданной как ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},}$

для любого когда бы то ни было . В качестве примера третьей формулы преобразования OGF EGF, приведенной выше, мы можем вычислить следующие соответствующие экспоненциальные формы производящих функций : ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \longmapsto }$ ${\displaystyle G_{j}(z)}$

${\displaystyle {\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).}$

Дробные интегралы и производные

Дробные интегралы и дробные производные (см. основную статью ) образуют другой обобщенный класс операций интегрирования и дифференцирования, которые могут быть применены к ОГФ последовательности для формирования соответствующего ОГФ преобразованной последовательности. Для мы определяем оператор дробного интеграла (порядка ) интегральным преобразованием ^[9] ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

что соответствует (формальному) степенному ряду, заданному формулой

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

Для фиксированного определенного таким образом, что , имеем, что операторы . Более того, для фиксированного и целых чисел, удовлетворяющих , можно определить понятие дробной производной, удовлетворяющей свойствам, что ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$ ${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

и

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$для ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

где у нас есть свойство полугруппы, которое действует только тогда, когда ни один из элементов не является целочисленным. ${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$

Преобразования полилогарифмических рядов

Для фиксированного имеем, что (сравните с частным случаем интегральной формулы для обобщенной полилогарифмической функции Нильсена , определенной в ^[10] ) ^[11] ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Обратите внимание, что если мы установим , интеграл относительно производящей функции, , в последнем уравнении, когда соответствует производящей функции Дирихле , или DGF, , последовательности при условии, что интеграл сходится. Этот класс интегральных преобразований , связанных с полилогарифмами, связан с преобразованиями дзета-рядов на основе производных, определенными в следующих разделах. ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle z\equiv 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

Преобразования функции генерации квадратного ряда

Для фиксированного ненулевого значения, такого что и , мы имеем следующие интегральные представления для так называемой функции генерации квадратного ряда , связанной с последовательностью , которая может быть проинтегрирована почленно относительно : ^[12] ${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |q|<1}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Этот результат, доказанный в ссылке, следует из варианта интеграла преобразования двойной факториальной функции для чисел Стирлинга второго рода, приведенного в качестве примера выше. В частности, поскольку

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

мы можем использовать вариант преобразований ОГФ на основе производных положительного порядка, определенных в следующих разделах, включающих числа Стирлинга второго рода , чтобы получить интегральную формулу для производящей функции последовательности, а затем выполнить суммирование по производным формального ОГФ, чтобы получить результат в предыдущем уравнении, где производящая функция арифметической прогрессии обозначается как ${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

для каждого фиксированного . ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Произведения Адамара и диагональные производящие функции

У нас есть интегральное представление для произведения Адамара двух производящих функций и , записанное в следующей форме: ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{it}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-it}\right)dt,}$

где i — мнимая единица .

Более подробную информацию о произведениях Адамара как диагональных производящих функциях многомерных последовательностей и/или производящих функциях и классах производящих функций, к которым принадлежат эти диагональные OGF, можно найти в книге Стэнли. ^[13] В справочнике также приводятся формулы извлечения вложенных коэффициентов вида

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),}$

которые особенно полезны в случаях, когда функции, производящие последовательность компонентов, можно разложить в ряд Лорана или дробный ряд, в , например, в особом случае, когда все функции, производящие компоненты, рациональны, что приводит к алгебраической форме соответствующей диагональной производящей функции. ${\displaystyle F_{i}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Пример: произведения Адамара рациональных производящих функций

В общем случае произведение Адамара двух рациональных производящих функций само по себе рационально. ^[14] Это видно из того, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазиполиномиальные члены вида

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

где обратные корни, , являются фиксированными скалярами и где является полиномом по для всех . Например, произведение Адамара двух производящих функций ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p_{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

и

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

задается формулой рациональной производящей функции ^[15]

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Пример: Факториальные (приближенные преобразования Лапласа)

Обычные производящие функции для обобщенных факторных функций, образованные как частные случаи обобщенных функций возрастающего факторного произведения , или k-символа Похгаммера , определяемые формулой

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

где фиксировано, , а обозначает символ Похгаммера , генерируются (по крайней мере формально) J-дробьями типа Якоби (или специальными формами цепных дробей ), установленными в ссылке. ^[16] Если мы обозначим сходимость к этим бесконечным цепным дробям, где сходящиеся компоненты функций определяются для всех целых чисел как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle h^{\text{th}}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

где обозначает ассоциированный полином Лагерра , то мы имеем, что сходящаяся функция , точно перечисляет последовательности произведений , для всех . Для каждого сходящаяся функция разлагается в конечную сумму, включающую только парные обратные величины полиномов Лагерра в виде ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$ ${\displaystyle h^{th}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$ ${\displaystyle 0\leq n<2h}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle h^{th}}$

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Более того, поскольку функция простого факториала задается как и , мы можем сгенерировать члены функции простого факториала, используя приближенные рациональные сходящиеся производящие функции вплоть до порядка . Это наблюдение предлагает подход к аппроксимации точного (формального) преобразования Лапласа–Бореля, обычно задаваемого в терминах интегрального представления из предыдущего раздела, с помощью произведения Адамара или диагонально-коэффициентной производящей функции. В частности, учитывая любой OGF, мы можем сформировать приближенное преобразование Лапласа, которое имеет точность -порядка, с помощью формулы извлечения диагональных коэффициентов, указанной выше, заданной как ${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$ ${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

Примеры последовательностей, перечисленных с помощью этих диагональных коэффициентных генерирующих функций, возникающих из факториальной функции множителя последовательности, предоставляемой рациональными сходящимися функциями, включают:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

где обозначает модифицированную функцию Бесселя , обозначает субфакториальную функцию , обозначает знакопеременную факториальную функцию, а является полиномом Лежандра . Другие примеры последовательностей, перечисленных с помощью приложений этих функций генерации рациональных произведений Адамара, приведенных в статье, включают G-функцию Барнса , комбинаторные суммы, включающие двойную факториальную функцию, суммы степенных последовательностей и последовательности биномов. ${\displaystyle I_{0}(z)}$ ${\displaystyle !n}$ ${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

Производные преобразования

Преобразования дзета-рядов положительного и отрицательного порядка

Для фиксированного имеем, что если последовательность OGF имеет производные всех требуемых порядков для , то преобразование дзета-ряда положительного порядка задается выражением ^[17] ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

где обозначает число Стирлинга второго рода . В частности, мы имеем следующее тождество особого случая, когда обозначает треугольник чисел Эйлера первого порядка : ^[18] ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$ ${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

Мы также можем расширить преобразования дзета-ряда отрицательного порядка с помощью процедуры, аналогичной приведенным выше разложениям, приведенным в терминах производных -порядка некоторых и бесконечного нетреугольного набора обобщенных чисел Стирлинга в обратном порядке , или обобщенных чисел Стирлинга второго рода, определенных в этом контексте. ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$

В частности, для целых чисел определим эти обобщенные классы чисел Стирлинга второго рода по формуле ${\displaystyle k,j\geq 0}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

Тогда для и некоторого заданного OGF, , т.е. так, чтобы производные более высокого порядка существовали для всех , имеем, что ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

Таблица первых нескольких коэффициентов преобразования дзета-ряда, , представлена ​​ниже. Эти разложения взвешенных гармонических чисел почти идентичны известным формулам для чисел Стирлинга первого рода вплоть до ведущего знака в членах взвешенных гармонических чисел в разложениях. ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$

Примеры преобразований дзета-ряда отрицательного порядка

Следующий ряд, связанный с функциями полилогарифма ( функции дилогарифма и трилогарифма соответственно), знакопеременной дзета-функцией и дзета-функцией Римана, формулируется из предыдущих результатов отрицательного порядка, найденных в ссылках. В частности, когда (или, что эквивалентно, когда в таблице выше), мы имеем следующий частный случай ряда для дилогарифма и соответствующего постоянного значения знакопеременной дзета-функции: ${\displaystyle s:=2}$ ${\displaystyle k:=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}}$

Когда (или когда в обозначениях, использованных в предыдущем подразделе), мы аналогично получаем ряд частных случаев для этих функций, заданных формулой ${\displaystyle s:=3}$ ${\displaystyle k:=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Известно, что гармонические числа первого порядка имеют замкнутую экспоненциальную производящую функцию, разложенную по натуральному логарифму , неполной гамма-функции и экспоненциальному интегралу , заданному формулой

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}$

Дополнительные представления серий для гармонических чисел r-го порядка, экспоненциальных производящих функций для целых чисел, формируются как особые случаи этих результатов преобразования серий на основе производных отрицательного порядка. Например, гармонические числа второго порядка имеют соответствующую экспоненциальную производящую функцию, расширенную рядом ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).}$

Обобщенные преобразования дзета-рядов отрицательного порядка

Дальнейшее обобщение преобразований отрицательного порядка, определенных выше, связано с более похожими на Гурвица-дзета или Лерха-трансцендентными производящими функциями. В частности, если мы определим еще более общие параметризованные числа Стирлинга второго рода как

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$,

для ненулевого такого, что , и некоторого фиксированного , мы имеем, что ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

Более того, для любых целых чисел мы имеем частичные приближения ряда к полному бесконечному ряду в предыдущем уравнении, заданные как ${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$

Примеры обобщенных преобразований дзета-рядов отрицательного порядка

Ряды для специальных констант и функций, связанных с дзета, возникающие в результате этих обобщенных преобразований рядов на основе производных, обычно включают обобщенные гармонические числа r-го порядка, определяемые для целых чисел . Пара частных расширений рядов для следующих констант, когда фиксировано, следуют из особых случаев тождеств типа BBP как ${\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Несколько других серий для случаев , связанных с дзета-функцией, хи-функции Лежандра , полигамма-функции и дзета-функции Римана, включают

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, мы можем дать еще одно новое явное представление ряда функции арктангенса через ее связь с числами Фибоначчи ^[19], расширенными, как в ссылках

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}$

для и где золотое сечение (и его обратная величина) соответственно определяются как . ${\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$

Инверсионные отношения и тождества производящих функций

Инверсионные отношения

Соотношение инверсии — это пара уравнений вида

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

что эквивалентно соотношению ортогональности

${\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}$

При наличии двух последовательностей и , связанных обратной зависимостью предыдущей формы, мы иногда пытаемся связать OGF и EGF пары последовательностей функциональными уравнениями, подразумеваемыми отношением инверсии. Эта цель в некоторых отношениях отражает более теоретико-числовое ( ряд Ламберта ) отношение производящей функции, гарантированное формулой инверсии Мёбиуса , которая предусматривает, что всякий раз, когда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}$

производящие функции для последовательностей и связаны преобразованием Мёбиуса , заданным формулой ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.}$

Аналогично, преобразование Эйлера производящих функций для двух последовательностей и , удовлетворяющих соотношению ^[20] ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}$

дается в виде

${\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),}$

где соответствующие формулы инверсии между двумя последовательностями приведены в ссылке.

Оставшиеся результаты и примеры, приведенные в этом разделе, обрисовывают некоторые из наиболее известных преобразований производящих функций, предоставляемых последовательностями, связанными формулами инверсии ( биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга ), и предоставляют несколько таблиц известных инверсионных соотношений различных типов, цитируемых в книге Риордана «Комбинаторные тождества» . Во многих случаях мы опускаем соответствующие функциональные уравнения, подразумеваемые инверсионными соотношениями между двумя последовательностями ( эта часть статьи требует дополнительной работы ).

Биномиальное преобразование

Первое соотношение инверсии, приведенное ниже, неявно для биномиального преобразования , возможно, является самым простым из всех соотношений инверсии, которые мы рассмотрим в этом разделе. Для любых двух последовательностей и , связанных формулами инверсии ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}$

у нас есть функциональные уравнения между OGF и EGF этих последовательностей, полученные с помощью биномиального преобразования в виде

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).}$

Преобразование Стерлинга

Для любой пары последовательностей и , связанных формулой обращения числа Стирлинга ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}$

эти инверсионные соотношения между двумя последовательностями преобразуются в функциональные уравнения между последовательностями EGF, заданными преобразованием Стирлинга как

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Таблицы пар инверсий из книги Риордана

Эти таблицы появляются в главах 2 и 3 книги Риордана, которая представляет собой введение в обратные отношения со множеством примеров, хотя и не делает акцент на функциональных уравнениях между производящими функциями последовательностей, связанных этими инверсионными отношениями. Заинтересованному читателю предлагается приобрести копию оригинальной книги для получения более подробной информации.

Несколько форм простейших обратных отношений

Классы обратных отношений Гулда

Члены и в формулах обращения вида ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Гулда, приведены в следующей таблице.

Для классов 1 и 2 диапазон суммы удовлетворяет , а для классов 3 и 4 границы суммирования определяются как . Эти термины также несколько упрощены по сравнению с их исходными формами в таблице с помощью тождеств ${\displaystyle k\in [0,n]}$ ${\displaystyle k=n,n+1,\ldots }$

${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}}$

${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.}$

Более простые обратные соотношения Чебышева

Так называемые более простые случаи классов Чебышева обратных отношений в следующем подразделе приведены в следующей таблице.

Формулы в таблице несколько упрощены следующими тождествами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, соотношения инверсии, приведенные в таблице, также справедливы в любом заданном отношении. ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$

Чебышевские классы обратных отношений

Члены и в формулах обращения вида ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},}$

для ненулевых целых чисел, образующих несколько частных случаев чебышевских классов обратных отношений, приведены в следующей таблице. ${\displaystyle c}$

Кроме того, эти инверсионные соотношения также выполняются, когда для некоторых или когда знаковый множитель смещается от членов к членам . Формулы, приведенные в предыдущей таблице, несколько упрощаются тождествами ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle A_{n,k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}}$

Более простые обратные соотношения Лежандра

Классы Лежандра–Чебышева обратных отношений

Классы обратных отношений Лежандра–Чебышева соответствуют отношениям обращения вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

где члены, и , неявно зависят от некоторого фиксированного ненулевого . В общем случае, если задан класс обратных пар Чебышева вида ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},}$

если простое число, то замена , и (возможно, замена ) приводит к паре Лежандра–Чебышева вида ^[23] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n\longmapsto cn+p}$ ${\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}$ ${\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}$ ${\displaystyle k\longmapsto n-k}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.}$

Аналогично, если положительное целое число является составным, мы можем вывести инверсионные пары вида ${\displaystyle c:=de}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}$

В следующей таблице приведены несколько обобщенных классов обратных соотношений Лежандра–Чебышева для некоторого ненулевого целого числа . ${\displaystyle c}$

Обратные отношения Абеля

Обратные отношения Абеля соответствуют обратным парам Абеля вида

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},}$

где члены, и , могут неявно изменяться с некоторым неопределенным параметром суммирования . Эти соотношения также остаются в силе, если подстановка биномиального коэффициента выполняется для некоторого неотрицательного целого числа . В следующей таблице суммированы несколько примечательных форм этих обратных соотношений Абеля. ${\displaystyle A_{nk}}$ ${\displaystyle B_{nk}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}}$ ${\displaystyle p}$

Обратные отношения, полученные из обычных производящих функций

Если мы определим свернутые числа Фибоначчи следующим образом: ${\displaystyle f_{k}^{(\pm p)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}$

у нас есть следующая таблица обратных отношений, которые получены из свойств обычных функций, производящих последовательности, доказанных, как в разделе 3.3 книги Риордана.

Обратите внимание, что отношения 3, 4, 5 и 6 в таблице могут быть преобразованы в соответствии с подстановками и для некоторого фиксированного ненулевого целого числа . ${\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}$ ${\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}$ ${\displaystyle q\geq 1}$

Обратные отношения, полученные из экспоненциальных производящих функций

Пусть и обозначают числа Бернулли и числа Эйлера соответственно, и предположим, что последовательности, , , и определяются следующими экспоненциальными производящими функциями: ^[24] ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \{d_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{e_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{f_{2n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}}$

В следующей таблице суммированы несколько примечательных случаев инверсионных соотношений, полученных из экспоненциальных производящих функций в разделе 3.4 книги Риордана. ^[25]

Многочленные обратные числа

Обратные соотношения, используемые при формулировке биномиального преобразования, приведенного в предыдущем подразделе, обобщаются до соответствующих двухиндексных обратных соотношений для последовательностей из двух индексов и до формул полиномиального обращения для последовательностей индексов, включающих биномиальные коэффициенты в Риордане. ^[26] В частности, мы имеем форму двухиндексного обратного соотношения, заданного как ${\displaystyle j\geq 3}$

${\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

и более общая форма полиномиальной пары формул обращения, заданная как

${\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}$

Примечания

1. См. раздел 1.2.9 в книге Кнута «Искусство программирования» (т. 1).
2. Решение упражнения 7.36 на странице 569 в книге Грэма, Кнута и Патшника.
3. См. раздел 3.3 в Comtet.
4. См. разделы 3.3–3.4 в Comtet.
5. См. раздел 1.9(vi) в Справочнике NIST.
6. См. страницу 566 Грэхема, Кнута и Паташника для формулировки последней формулы преобразования.
7. См. Приложение B.13 Флажоле и Седжвика.
8. См. доказательство теоремы 2.3 в Math.NT/1609.02803 .
9. См. раздел 1.15(vi)–(vii) в Справочнике NIST .
10. Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный полилогарифм Нильсена». MathWorld .
11. См. уравнение (4) в разделе 2 статьи Борвейна, Борвейна и Гиргенсона « Явная оценка сумм Эйлера» (1994).
12. См. статью Math.NT/1609.02803 .
13. См. раздел 6.3 в книге Стэнли.
14. См. раздел 2.4 в книге Ландо.
15. Потехина, Е.А. (2017). «Применение произведения Адамара к некоторым комбинаторным и вероятностным задачам». Discr. Math. Appl . 27 (3): 177–186. doi :10.1515/dma-2017-0020. S2CID  125969602.
16. Шмидт, МД (2017). «Непрерывные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториальных функций». J. Int. Seq . 20 : 17.3.4. arXiv : 1610.09691 .
17. См. индуктивное доказательство, приведенное в разделе 2 Math.NT/1609.02803 .
18. См. таблицу в разделе 7.4 Грэма, Кнута и Паташника.
19. См. уравнение (30) на странице MathWorld для функции арктангенса.
20. Вайсштейн, Э. «Преобразование Эйлера». Математический мир .
21. Решение упражнения 5.71 по конкретной математике .
22. Spivey, MZ (2006). "К-биномиальные преобразования и преобразование Ганкеля". Журнал целочисленных последовательностей . 9 (статья 06.1.1): 11. Bibcode : 2006JIntS...9...11S.
23. См. раздел 2.5 Риордана.
24. См. раздел 3.4 в Риордане.
25. Сравните с формулами обращения, приведенными в разделе 24.5(iii) Справочника NIST .
26. См. раздел 3.5 в книге Риордана.

Ссылки

• Контет, Л. (1974). Advanced Combinatorics (PDF) . D. Reidel Publishing Company. ISBN 9027703809. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-06-24 . Получено 2017-02-10 .
• Flajolet и Sedgewick (2010). Аналитическая комбинаторика . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5.
• Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: основа компьютерной науки (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0201558025.
• Кнут, Д. Э. (1997). Искусство программирования: фундаментальные алгоритмы . Том 1. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-89683-4.
• Ландо, СК (2002). Лекции по производящим функциям . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3481-9.
• Оливер, Лозье, Буаверт и Кларк (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-14063-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Риордан, Дж. (1968). Комбинаторные тождества . Wiley and Sons.
• Роман, С. (1984). Теневой расчет . Dover Publications. ISBN 0-486-44139-3.
• Шмидт, доктор медицины (3 ноября 2016 г.). «Преобразования функций генерации дзета-рядов, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv : 1611.00957 [math.CO].
• Шмидт, доктор медицины (30 октября 2016 г.). «Преобразования функций генерации дзета-рядов, связанные с функциями полилогарифма и гармоническими числами k -го порядка». arXiv : 1610.09666 [math.CO].
• Шмидт, МД ( 2017). «Цепные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториальных функций». Журнал целочисленных последовательностей . 20. arXiv : 1610.09691 .
• Шмидт, доктор медицины (9 сентября 2016 г.). «Преобразования функций генерации квадратного ряда». arXiv : 1609.02803 [math.NT].
• Стэнли, РП (1999). Перечислительная комбинаторика . Том 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78987-5.

Внешние ссылки

• Почему они не преподают исчисление Ньютона «Что будет дальше?» - Mathologer