Диапазон (статистика)

Понятие в статистике

В описательной статистике диапазон набора данных — это размер самого узкого интервала , содержащего все данные. Он рассчитывается как разница между наибольшим и наименьшим значениями (также известными как максимум и минимум выборки ). ^[1] Он выражается в тех же единицах , что и данные. Диапазон дает представление о статистической дисперсии . Поскольку он зависит только от двух наблюдений, он наиболее полезен для представления дисперсии небольших наборов данных. ^[2]

Для непрерывных случайных величин с независимым распределением

Для n независимых и одинаково распределенных непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G( x ) и функцией плотности вероятности g( x ) пусть T обозначает их диапазон, то есть T = max( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )- min( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ).

Распределение

Диапазон T имеет кумулятивную функцию распределения ^{[3] [4]}

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}\,{\text{d}}x.}$

Гамбель отмечает, что «красота этой формулы полностью омрачается тем фактом, что, в общем случае, мы не можем выразить G ( x  +  t ) через G ( x ), и что численное интегрирование является длительным и утомительным». ^{[3] : 385}

Если распределение каждого X _i ограничено справа (или слева), то асимптотическое распределение диапазона равно асимптотическому распределению наибольшего (наименьшего) значения. Для более общих распределений асимптотическое распределение может быть выражено как функция Бесселя . ^[3]

Моменты

Средний диапазон определяется по формуле ^[5]

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}$

где x ( G ) — обратная функция. В случае, когда каждый из X _i имеет стандартное нормальное распределение , средний диапазон определяется как ^[6]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}$

Для непрерывных неравномерных случайных величин

Для n неодинаково распределенных независимых непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивными функциями распределения G ₁ ( x ), G ₂ ( x ), ..., G _n ( x ) и функциями плотности вероятности g ₁ ( x ), g ₂ ( x ), ..., g _n ( x ), диапазон имеет кумулятивную функцию распределения ^[4]

${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j}(x)]\,{\text{d}}x.}$

Для дискретных случайных величин с независимым распределением

Для n независимых и одинаково распределенных дискретных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G ( x ) и функцией вероятностной массы g ( x ) диапазон X _i является диапазоном выборки размера n из популяции с функцией распределения G ( x ). Мы можем предположить без потери общности , что поддержка каждой X _i равна {1,2,3,..., N }, где N - положительное целое число или бесконечность. ^{[7] [8]}

Распределение

Диапазон имеет функцию массы вероятности ^{[7] [9] [10]}

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Пример

Если предположить, что g ( x ) = 1/ N , дискретное равномерное распределение для всех x , то находим ^{[9] [11]}

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Вывод

Вероятность наличия определенного значения диапазона, t , может быть определена путем сложения вероятностей наличия двух образцов, отличающихся на t , и каждого другого образца, имеющего значение между двумя крайностями. Вероятность того, что один образец имеет значение x , равна . Вероятность того, что другой имеет значение t больше x , равна: ${\displaystyle ng(x)}$

${\displaystyle (n-1)g(x+t).}$

Вероятность всех остальных значений, лежащих между этими двумя крайностями, равна:

${\displaystyle \left(\int _{x}^{x+t}g(x)\,{\text{d}}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.}$

Объединение этих трех результатов дает:

${\displaystyle f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)[G(x+t)-G(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x}$

Связанные величины

Диапазон является частным примером порядковой статистики . В частности, диапазон является линейной функцией порядковой статистики, что вводит его в область L-оценки .

Смотрите также

• Математический портал

• Интердецильный диапазон
• Межквартильный размах
• Диапазон студенчества

Ссылки

1. Джордж Вудбери (2001). Введение в статистику . Cengage Learning. стр. 74. ISBN 0534377556.
2. Карин Вилджоэн (2000). Элементарная статистика: Том 2 . Пирсон Южная Африка. стр. 7–27. ISBN 186891075X.
3. EJ Gumbel (1947). «Распределение диапазона». Анналы математической статистики . 18 (3): 384–412. doi : 10.1214/aoms/1177730387 . JSTOR  2235736.
4. Tsimashenka, I.; Knottenbelt, W.; Harrison, P. (2012). "Управление изменчивостью в системах разделения-слияния". Аналитические и стохастические методы моделирования и их применение (PDF) . Конспект лекций по информатике. Том 7314. стр. 165. doi :10.1007/978-3-642-30782-9_12. ISBN 978-3-642-30781-2.
5. HO Hartley ; HA David (1954). «Универсальные границы для среднего диапазона и экстремальных наблюдений». Анналы математической статистики . 25 (1): 85–99. doi : 10.1214/aoms/1177728848 . JSTOR  2236514.
6. LHC Tippett (1925). «О экстремальных индивидуумах и диапазоне образцов, взятых из нормальной популяции». Biometrika . 17 (3/4): 364–387. doi :10.1093/biomet/17.3-4.364. JSTOR  2332087.
7. Эванс, DL; Лимис, LM; Дрю, JH (2006). «Распределение порядковых статистик для дискретных случайных величин с приложениями к бутстрапингу». INFORMS Journal on Computing . 18 : 19. doi :10.1287/ijoc.1040.0105.
8. Ирвинг В. Берр (1955). «Вычисление точного выборочного распределения диапазонов из дискретной совокупности». Анналы математической статистики . 26 (3): 530–532. doi : 10.1214/aoms/1177728500 . JSTOR  2236482.
9. Abdel-Aty, SH (1954). «Упорядоченные переменные в разрывных распределениях». Statistica Neerlandica . 8 (2): 61–82. doi :10.1111/j.1467-9574.1954.tb00442.x.
10. Сиотани, М. (1956). «Порядковая статистика для дискретного случая с числовым приложением к биномиальному распределению». Анналы Института статистической математики . 8 : 95–96. doi :10.1007/BF02863574.
11. Пол Р. Райдер (1951). «Распределение диапазона в выборках из дискретной прямоугольной совокупности». Журнал Американской статистической ассоциации . 46 (255): 375–378. doi :10.1080/01621459.1951.10500796. JSTOR  2280515.