В трехмерной геометрии и векторном исчислении вектор площади — это вектор, объединяющий величину площади с направлением , таким образом представляя ориентированную область в трех измерениях.
Каждой ограниченной поверхности в трех измерениях можно сопоставить уникальный вектор площади, называемый ее векторной площадью . Он равен поверхностному интегралу нормали к поверхности и отличается от обычной ( скалярной ) площади поверхности .
Векторную площадь можно рассматривать как трехмерное обобщение знаковой площади в двух измерениях.
Для конечной плоской поверхности скалярной площади S и единичной нормали n̂ векторная площадь S определяется как единичная нормаль, масштабированная площадью:
Для ориентируемой поверхности S, состоящей из набора S i плоских граней , векторная площадь поверхности определяется выражением , где n̂ i — единичный вектор нормали к площади S i .
Для ограниченных, ориентированных криволинейных поверхностей, которые достаточно хорошо себя ведут , мы все еще можем определить векторную площадь. Сначала мы разбиваем поверхность на бесконечно малые элементы, каждый из которых фактически плоский. Для каждого бесконечно малого элемента площади у нас есть вектор площади, также бесконечно малый. где n̂ — локальный единичный вектор, перпендикулярный dS . Интегрирование дает векторную площадь для поверхности.
Векторная площадь поверхности может быть интерпретирована как (знаковая) проецируемая площадь или «тень» поверхности в плоскости, в которой она наибольшая; ее направление задается нормалью к этой плоскости.
Для искривленной или граненой (т.е. неплоской) поверхности векторная площадь меньше фактической площади поверхности . В качестве крайнего примера замкнутая поверхность может обладать произвольно большой площадью, но ее векторная площадь обязательно равна нулю. [1] Поверхности, имеющие общую границу, могут иметь очень разные площади, но они должны иметь одинаковую векторную площадь — векторная площадь полностью определяется границей. Это следствия теоремы Стокса .
Векторная площадь параллелограмма определяется как векторное произведение двух векторов, которые его охватывают; она в два раза больше (векторной) площади треугольника, образованного теми же векторами. В общем случае векторная площадь любой поверхности, граница которой состоит из последовательности прямолинейных отрезков (аналогично многоугольнику в двух измерениях), может быть вычислена с помощью ряда векторных произведений, соответствующих триангуляризации поверхности . Это обобщение формулы Шнурка на три измерения.
Используя теорему Стокса, примененную к соответствующим образом выбранному векторному полю, можно вывести граничный интеграл для векторной площади: где — граница S , т.е. одна или несколько ориентированных замкнутых пространственных кривых . Это аналогично вычислению двумерной площади с использованием теоремы Грина .
Векторы площади используются при вычислении поверхностных интегралов , например, при определении потока векторного поля через поверхность. Поток задается интегралом скалярного произведения поля и (бесконечно малого) вектора площади. Когда поле постоянно по поверхности, интеграл упрощается до скалярного произведения поля и векторной площади поверхности.
Площадь проекции на плоскость определяется скалярным произведением векторной площади S и единичной нормали целевой плоскости m̂ : Например, площадь проекции на плоскость xy эквивалентна z -компоненте векторной площади и также равна , где θ — угол между нормалью плоскости n̂ и осью z .
