Внешняя производная

На дифференцируемом многообразии внешняя производная расширяет понятие дифференциала функции до дифференциальных форм более высокой степени. Внешняя производная была впервые описана в своей нынешней форме Эли Картаном в 1899 году. Полученное в результате исчисление, известное как внешнее исчисление , позволяет провести естественное, независимое от метрики обобщение теоремы Стокса , теоремы Гаусса и теоремы Грина из векторного исчисления.

Если дифференциальную $k$ -форму рассматривать как измерение потока через бесконечно малый $k$ - параллелоэдр в каждой точке многообразия, то ее внешнюю производную можно рассматривать как измерение чистого потока через границу a $(k + 1)$ - параллелоэдр в каждой точке.

Определение

Внешняя производная дифференциальной формы степени $k$ (также дифференциальной $k$ -формы или просто $k$ -формы для краткости) является дифференциальной формой степени $k + 1$ .

Если $f$ — гладкая функция ( $0$ -форма) , то внешняя производная $f$ — это дифференциал f $.$ То есть $df$ — единственная 1 -форма , такая что для любого гладкого векторного поля $X$ $df$ $($ $X$ $) =$ $d$ $X$ $f$ , где $d$ $X$ $f$ — производная по направлению от $f$ в направлении $X.$

Внешнее произведение дифференциальных форм (обозначаемое тем же символом $\land$ ) определяется как их поточечное внешнее произведение .

Существует множество эквивалентных определений внешней производной общей $k$ -формы.

С точки зрения аксиом

Внешняя производная определяется как уникальное $ℝ$ -линейное отображение $k$ -форм в $(k + 1)$ -формы, которое обладает следующими свойствами:

$df$ — дифференциал fдля $0$ $-$ формы $f$ .
$d (df) знак равно 0$ для $0$ -формы $f$ .
$d (α \land β) = dα \land β + (-1) p (α \land dβ)$ , где $α$ — $p$ -форма. Другими словами, $d$ является первообразным степени $1$ на внешней алгебре дифференциальных форм (см. правило градуированного произведения ).

Второе определяющее свойство справедливо в более общем плане: $d (dα) = 0$ для любой $k$ -формы $α$ ; более кратко, $d 2 = 0$ . Третье определяющее свойство в частном случае подразумевает, что если $f$ — функция, а $α$ — $k$ -форма, то $d$ $($ $fα$ $) =$ $d$ $($ $f$ $\land$ $α$ $) =$ $df$ $\land$ $α$ $+$ $f$ $\land$ $dα$ , поскольку функция является $0$ - форма, а скалярное умножение и внешнее произведение эквивалентны, если один из аргументов является скаляром. ^[^{нужна цитата}^]

По местным координатам

Альтернативно, можно полностью работать в локальной системе координат $(x 1, ..., x n)$ . Координатные дифференциалы $dx 1, ..., dx n$ образуют базис пространства одноформ, каждая из которых связана с координатой. Учитывая мультииндекс $I = (i 1, ..., i k)$ с $1 ⩽ i p ⩽ n$ для $1 ⩽ p ⩽ k$ (и обозначая $dx i 1 \land ... \land dx i k$ с $dx I$ ), внешняя производная (простой) $k$ -формы

\varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

более $ℝ n$ определяется как

d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}

(с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании ). Определение внешней производной линейно расширяется до общей $k$ -формы

\omega =f_{I}\,dx^{I},

где каждый из компонентов мультииндекса $пробегает$ все значения в ${1, ..., n}$ . Обратите внимание, что всякий раз, когда $i$ равно одному из компонентов мультииндекса $I$ , тогда $dx i \land dx I = 0$ (см. Внешний продукт ).

Определение внешней производной в локальных координатах следует из предыдущего определения в терминах аксиом. Действительно, с $k$ -формой $φ$ , определенной выше,

{\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}

Здесь мы интерпретировали $g$ как $0$ -форму, а затем применили свойства внешней производной.

Этот результат распространяется непосредственно на общую $k$ -форму $ω$ как

d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.

В частности, для $1$ -формы $ω$ компоненты $dω$ в локальных координатах равны

(d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.

Внимание : существуют два соглашения относительно значения . Большинство современных авторов ^[^{нужна ссылка}^] придерживаются мнения, что $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.

в то время как в более старых текстах, таких как Кобаяши, Номидзу или Хельгасон

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.

В терминах инвариантной формулы

В качестве альтернативы можно дать явную формулу ^[1] для внешней производной $k$ -формы $ω$ в сочетании с $k + 1$ произвольными гладкими векторными полями $V 0, V 1, ..., V k$ :

d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})

где $[Vi, V j]$ обозначает скобку Ли , а шляпка обозначает отсутствие этого элемента $:$

\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).

В частности, когда $ω$ является $1$ -формой, мы имеем $dω (X, Y) = d X (ω (Y)) - d Y (ω (X)) - ω ([X, Y])$ .

Примечание. С учетом соглашений, например, Кобаяши-Номидзу и Хельгасона, формула отличается в раз. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/к + 1$ :

{\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}

Примеры

Пример 1. Рассмотрим $σ = u dx 1 \land dx 2$ над базисом $1 -формы$ $dx 1, ..., dx n$ для скалярного поля $u$ . Внешняя производная:

{\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}

Последняя формула, в которой суммирование начинается с $i = 3$ , легко следует из свойств внешнего произведения . А именно, $dx i \land dx i = 0$ .

Пример 2. Пусть $σ = u dx + v dy$ — $1$ -форма, определенная над $ℝ 2$ . Применяя приведенную выше формулу к каждому члену (рассмотрим $x 1 = x$ и $x 2 = y$ ), мы получаем сумму

{\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}

Теорема Стокса о многообразиях

Если $M$ — компактное гладкое ориентируемое $n$ -мерное многообразие с краем и $ω$ — $(n - 1)$ -форма на $M$ , то обобщенная форма теоремы Стокса утверждает, что

\int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega

Интуитивно, если представить $М$ как разделенное на бесконечно малые области и сложить поток через границы всех областей, все внутренние границы уравновесятся, оставив общий поток через границу $М.$

Дополнительные свойства

Закрытые и точные формы

k $-$ форма $ω$ называется замкнутой, если $dω = 0$ ; закрытые формы $являются$ ядром d . $ω$ называется точной, если $ω$ $=$ $dα$ для некоторой $($ $k$ $- 1)$ -формы $α$ ; точные формы $являются$ образом d . Поскольку $d$ $2$ $= 0$ , каждая точная форма замкнута. Лемма Пуанкаре утверждает , что в сжимаемой области верно обратное.

когомологии де Рама

Поскольку внешняя производная $d$ обладает свойством $d 2 = 0$ , ее можно использовать в качестве дифференциала (кограницы) для определения когомологий де Рама на многообразии. k - $я$ когомология (группа) де Рама — векторное пространство замкнутых $k$ -форм по модулю точных $k$ -форм; как отмечалось в предыдущем разделе, лемма Пуанкаре утверждает, что эти векторные пространства тривиальны для сжимаемой области при $k > 0$ . Для гладких многообразий интегрирование форм дает естественный гомоморфизм когомологий де Рама в сингулярные когомологии над $ℝ$ . Теорема де Рама показывает, что это отображение на самом деле является изоморфизмом, далеко идущим обобщением леммы Пуанкаре. Как следует из обобщенной теоремы Стокса, внешняя производная является «двойственным» граничному отображению на сингулярных симплексах.

Естественность

Внешняя производная естественна в техническом смысле: если $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ — гладкое отображение и $Ω$ $k$ — контравариантный гладкий функтор , сопоставляющий каждому многообразию пространство $k$ -форм на многообразии, то следующая диаграмма коммутирует

поэтому $d (f * ω) = f * dω$ , где $f$ $*$ обозначает обратный образ $f$ . Это следует из того, что f $*$ $ω$ $($ $\cdot)$ по определению есть $ω$ $($ $f$ $*$ $(\cdot))$ , $f$ $*$ является продолжением f $.$ Таким образом $,$ $d$ $является$ естественным преобразованием $Ωk$ в $Ωk$ $+$ 1 .

Внешняя производная в векторном исчислении

Большинство операторов векторного исчисления являются частными случаями понятия внешнего дифференцирования или тесно связаны с ним.

Градиент

Гладкая функция $f$ $:$ $M$ $\to ℝ$ на вещественном дифференцируемом многообразии $M$ является $0$ -формой. Внешней производной этой $0$ -формы является $1$ -форма $df$ .

Когда скалярное произведение $⟨\cdot,\cdot⟩$ определено, градиент $\nabla f$ функции $f$ определяется как уникальный вектор в $V$ такой, что его внутренний продукт с любым элементом $V$ является производной по направлению от $f$ вдоль вектора, то есть такой, что

\langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.

То есть,

\nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },

где $♯$ обозначает упомянутый ранее музыкальный изоморфизм $♯ : V * \to V$ , индуцированный скалярным произведением.

$1$ -форма df $—$ это сечение кокасательного расслоения , которое дает локальную линейную аппроксимацию $f$ в кокасательном пространстве в каждой точке.

Дивергенция

Векторное поле $V = (v 1, v 2, ..., v n)$ на $ℝ n$ имеет соответствующую $(n - 1)$ -форму

{\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}

где обозначает отсутствие этого элемента. ${\widehat {dx^{i}}}$

(Например, когда $n = 3$ , т.е. в трехмерном пространстве, $2$ -форма $ω V$ является локально скалярным тройным произведением с $V$ .) Интеграл от ω $V по$ гиперповерхности — это поток $V$ по этой гиперповерхности.

Внешняя производная этой $(n - 1)$ -формы есть $n$ -форма

d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).

Завиток

Векторное поле $V$ на $ℝ n$ также имеет соответствующую $1$ -форму

\eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.

Локально $η V$ является скалярным произведением с $V$ . Интеграл от $η V$ по пути — это работа , совершенная против $- V$ по этому пути.

Когда $n = 3$ , в трехмерном пространстве внешней производной $1$ -формы $η V$ является $2$ -форма.

d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.

Инвариантные формулировки операторов векторного исчисления

Стандартные операторы векторного исчисления могут быть обобщены для любого псевдориманова многообразия и записаны в бескоординатных обозначениях следующим образом:

{\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}

где $⋆$ — оператор звезды Ходжа , $♭$ и $♯$ — музыкальные изоморфизмы , $f$ — скалярное поле и $F$ — векторное поле .

Обратите внимание, что выражение для $завитка$ требует, чтобы $♯$ действовал на $⋆ d (F ♭)$ , что является формой степени $n - 2$ . Естественное обобщение $♯$ на $k$ -формы произвольной степени позволяет этому выражению иметь смысл для любого $n$ .

Смотрите также

Примечания

^ Спивак (1970), стр. 7-18, Th. 13

Внешние ссылки

Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Производное — это не то, что вы думаете». Алеф Ноль . 3 ноября 2020 г. — через YouTube .