Равнобедренный треугольник

В геометрии равнобедренный треугольник ( / aɪ ˈ s ɒ s ə l iː z / ) — это треугольник , у которого две стороны имеют одинаковую длину. Иногда его определяют как имеющий ровно две стороны одинаковой длины, а иногда как имеющий по крайней мере две стороны одинаковой длины, последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник как особый случай . Примерами равнобедренных треугольников являются равнобедренный прямоугольный треугольник , золотой треугольник и грани бипирамид и некоторых каталонских тел .

Математическое изучение равнобедренных треугольников восходит к древнеегипетской и вавилонской математике . Равнобедренные треугольники использовались в качестве украшения еще с более ранних времен и часто появляются в архитектуре и дизайне, например, на фронтонах и фронтонах зданий.

Две равные стороны называются катетами, а третья сторона называется основанием треугольника. Другие размеры треугольника, такие как его высота, площадь и периметр, можно вычислить с помощью простых формул из длин катетов и основания. Каждый равнобедренный треугольник имеет ось симметрии вдоль перпендикуляра к его основанию. Два угла, противолежащие катетам, равны и всегда острые , поэтому классификация треугольника как острого, прямого или тупого зависит только от угла между его двумя катетами.

Терминология, классификация и примеры

Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник с ровно двумя равными сторонами, ^[1] но современные трактовки предпочитают определять равнобедренные треугольники как имеющие по крайней мере две равные стороны. Разница между этими двумя определениями заключается в том, что современная версия делает равносторонние треугольники (с тремя равными сторонами) особым случаем равнобедренных треугольников. ^[2] Треугольник, который не является равнобедренным (имеет три неравные стороны), называется разносторонним . ^[3] «Равнобедренный» образован от греческих корней «isos» (равный) и «skelos» (нога). Это же слово используется, например, для равнобедренных трапеций , трапеций с двумя равными сторонами, ^[4] и для равнобедренных множеств , множеств точек, каждые три из которых образуют равнобедренный треугольник. ^[5]

В равнобедренном треугольнике, который имеет ровно две равные стороны, равные стороны называются катетами , а третья сторона называется основанием . Угол, заключенный между катетами, называется углом при вершине , а углы, имеющие основание в качестве одной из своих сторон, называются углами при основании . ^[6] Вершина, противоположная основанию, называется вершиной . [ ^7] В случае равностороннего треугольника, поскольку все стороны равны, любая сторона может быть названа основанием. ^[8]

Специальные равнобедренные треугольники

Каталонские тела с равнобедренными треугольными гранями

Является ли равнобедренный треугольник острым, прямым или тупым, зависит только от угла при его вершине. В евклидовой геометрии углы при основании не могут быть тупыми (больше 90°) или прямыми (равными 90°), поскольку их сумма составит не менее 180°, что является суммой всех углов в любом евклидовом треугольнике. ^[8] Поскольку треугольник является тупым или прямым тогда и только тогда, когда один из его углов тупой или прямой, равнобедренный треугольник является тупым, прямым или острым тогда и только тогда, когда его угол при вершине тупой, прямой или острый. ^[7] В книге Эдвина Эбботта «Флатландия » эта классификация фигур использовалась как сатира на социальную иерархию : равнобедренные треугольники представляли рабочий класс , а остроугольные равнобедренные треугольники стояли выше в иерархии, чем прямоугольные или тупоугольные равнобедренные треугольники. ^[9]

Наряду с равнобедренным прямоугольным треугольником были изучены несколько других конкретных форм равнобедренных треугольников. К ним относятся треугольник Калаби (треугольник с тремя конгруэнтными вписанными квадратами), ^[10] золотой треугольник и золотой гномон (два равнобедренных треугольника, стороны и основание которых находятся в золотом отношении ), ^[11] треугольник 80-80-20, появляющийся в головоломке Langley's Adventitious Angles , ^[12] и треугольник 30-30-120 триакисо-треугольной мозаики . Пять каталонских тел , триакисо-тетраэдр , триакисо-октаэдр , тетракисо-гексаэдр , пентакисододекаэдр и триакисо-икосаэдр , имеют грани в виде равнобедренных треугольников, как и бесконечное множество пирамид ^[8] и бипирамид . ^[13]

Формулы

Высота

Для любого равнобедренного треугольника следующие шесть отрезков совпадают:

высота , отрезок прямой от вершины , перпендикулярный основанию, ^[14]
биссектриса угла от вершины к основанию, ^[14]
медиана от вершины до середины основания, ^[14]
перпендикуляр к основанию внутри треугольника, ^[14]
сегмент внутри треугольника уникальной оси симметрии треугольника, и ^[14]
сегмент внутри треугольника линии Эйлера треугольника, за исключением случая, когда треугольник равносторонний . ^[15]

Их общая длина — высота треугольника. Если треугольник имеет равные стороны длины и основание длины , общие формулы треугольника для длин этих сегментов упрощаются до ^[16] $ч$ $а$ $б$

h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.

Эту формулу можно также вывести из теоремы Пифагора, используя тот факт, что высота делит основание пополам и разбивает равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. ^[17]

Линия Эйлера любого треугольника проходит через ортоцентр треугольника (пересечение его трех высот), его центроид (пересечение его трех медиан) и его описанный центр (пересечение перпендикуляров, проведенных через его три стороны, которое также является центром описанной окружности, проходящей через три вершины). В равнобедренном треугольнике с ровно двумя равными сторонами эти три точки различны и (по симметрии) все лежат на оси симметрии треугольника, из чего следует, что линия Эйлера совпадает с осью симметрии. Инцентр треугольника также лежит на линии Эйлера, что неверно для других треугольников. ^[15] Если любые две из биссектрисы угла, медианы или высоты совпадают в данном треугольнике, то этот треугольник должен быть равнобедренным. ^[18]

Область

Площадь равнобедренного треугольника можно вывести из формулы для его высоты и из общей формулы для площади треугольника как половины произведения основания на высоту: ^[16] $Т$

T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.

Эту же формулу площади можно вывести из формулы Герона для площади треугольника по трем его сторонам. Однако применение формулы Герона напрямую может быть численно неустойчивым для равнобедренных треугольников с очень острыми углами из-за почти полного сокращения между полупериметром и длиной стороны в этих треугольниках. ^[19]

Если известны угол при вершине и длины катетов равнобедренного треугольника, то площадь этого треугольника равна: ^[20] $(\тета)$ $(а)$

T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .

Это частный случай общей формулы для площади треугольника как половины произведения двух сторон на синус угла между ними. ^[21]

Периметр

Периметр равнобедренного треугольника с равными сторонами и основаниями равен ^[16] $p$ $а$ $б$

p=2a+b.

Как и в любом треугольнике, площадь и периметр связаны изопериметрическим неравенством ^[22] $Т$ $p$

p^{2}>12{\sqrt {3}}T.

Это строгое неравенство для равнобедренных треугольников со сторонами, неравными основанию, и становится равенством для равностороннего треугольника. Площадь, периметр и основание также могут быть связаны друг с другом уравнением ^[23]

2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.

Если основание и периметр фиксированы, то эта формула определяет площадь полученного равнобедренного треугольника, которая является максимально возможной среди всех треугольников с тем же основанием и периметром. ^[24] С другой стороны, если площадь и периметр фиксированы, эту формулу можно использовать для восстановления длины основания, но не однозначно: в общем случае существует два различных равнобедренных треугольника с заданной площадью и периметром . Когда изопериметрическое неравенство становится равенством, существует только один такой треугольник, который является равносторонним. ^[25] $Т$ $p$

Длина биссектрисы угла

Если две равные стороны имеют длину , а другая сторона имеет длину , то внутренняя биссектриса угла, проведенная из одной из двух равноугольных вершин, удовлетворяет условию ^[26] $а$ $б$ $т$

{\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}

а также

t<{\frac {4a}{3}};

и наоборот, если последнее условие выполняется, то равнобедренный треугольник, параметризованный и существует. ^[27] $а$ $т$

Теорема Штейнера–Лемуса утверждает, что любой треугольник с двумя биссектрисами равной длины является равнобедренным. Она была сформулирована в 1840 году К. Л. Лемусом . Ее другой тезка, Якоб Штейнер , был одним из первых, кто предложил решение. ^[28] Хотя изначально она была сформулирована только для внутренних биссектрис угла, она работает во многих (но не во всех) случаях, когда вместо этого равны две внешние биссектрисы угла. Равнобедренный треугольник 30-30-120 является граничным случаем для этой вариации теоремы, поскольку он имеет четыре равные биссектрисы угла (две внутренние, две внешние). ^[29]

Радиусы

Равнобедренный треугольник, на котором показан его описанный центр (синий), центроид (красный), инцентр (зеленый) и ось симметрии (фиолетовый)

Формулы радиуса вписанной и описанной окружности для равнобедренного треугольника могут быть выведены из соответствующих формул для произвольных треугольников. ^[30] Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника с длиной стороны , основанием и высотой равен: ^[16] $а$ $б$ $ч$

{\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.

Центр окружности лежит на оси симметрии треугольника, это расстояние выше основания. Равнобедренный треугольник имеет наибольшую возможную вписанную окружность среди треугольников с тем же основанием и углом при вершине, а также имеет наибольшую площадь и периметр среди того же класса треугольников. ^[31]

Радиус описанной окружности равен: ^[16]

{\frac {a^{2}}{2h}}.

Центр окружности лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии ниже вершины.

Вписанный квадрат

Для любого равнобедренного треугольника существует уникальный квадрат с одной стороной, коллинеарной основанию треугольника, и двумя противоположными углами на его сторонах. Треугольник Калаби — это особый равнобедренный треугольник со свойством, что два других вписанных квадрата со сторонами, коллинеарными сторонам треугольника, имеют тот же размер, что и базовый квадрат. ^[10] Гораздо более старая теорема, сохранившаяся в трудах Герона Александрийского , гласит, что для равнобедренного треугольника с основанием и высотой длина стороны вписанного квадрата на основании треугольника равна ^[32] $б$ $ч$

{\frac {bh}{b+h}}.

Равнобедренное подразделение других фигур

Для любого целого числа любой треугольник можно разбить на равнобедренные треугольники. ^[33] В прямоугольном треугольнике медиана от гипотенузы (то есть отрезок от середины гипотенузы до прямоугольной вершины) делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Это происходит потому, что середина гипотенузы является центром описанной окружности прямоугольного треугольника, и каждый из двух треугольников, созданных разбиением, имеет два равных радиуса в качестве двух своих сторон. ^[34] Аналогично, остроугольный треугольник можно разбить на три равнобедренных треугольника отрезками из его центра описанной окружности, ^[35] но этот метод не работает для тупоугольных треугольников, потому что центр описанной окружности лежит вне треугольника. ^[30] $n\geq 4$ $n$

Обобщая разбиение остроугольного треугольника, любой вписанный многоугольник , содержащий центр описанной им окружности, можно разбить на равнобедренные треугольники радиусами этой окружности, проходящими через ее вершины. Тот факт, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину, подразумевает, что все эти треугольники являются равнобедренными. Это разбиение можно использовать для вывода формулы для площади многоугольника как функции длин его сторон, даже для вписанных многоугольников, которые не содержат своих описанных центров. Эта формула обобщает формулу Герона для треугольников и формулу Брахмагупты для вписанных четырехугольников . ^[36]

Любая из диагоналей ромба делит его на два конгруэнтных равнобедренных треугольника. Аналогично, одна из двух диагоналей воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника, которые не являются конгруэнтными, за исключением случая, когда воздушный змей является ромбом. ^[37]

Приложения

В архитектуре и дизайне

Равнобедренные треугольники обычно появляются в архитектуре как формы фронтонов и фронтонов . В древнегреческой архитектуре и ее более поздних имитациях использовался тупоугольный равнобедренный треугольник; в готической архитектуре он был заменен остроугольным равнобедренным треугольником. ^[8]

В архитектуре Средневековья стала популярной другая форма равнобедренного треугольника: египетский равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, который является острым, но менее острым, чем равносторонний треугольник; его высота пропорциональна 5/8 его основания. ^[38] Египетский равнобедренный треугольник был возвращен в использование в современной архитектуре голландским архитектором Хендриком Петрусом Берлаге . ^[39]

Ферменные конструкции Уоррена , такие как мосты, обычно располагаются в равнобедренных треугольниках, хотя иногда для дополнительной прочности также включаются вертикальные балки. ^[40] Поверхности, мозаичные тупоугольными равнобедренными треугольниками, могут использоваться для формирования развертываемых конструкций , которые имеют два устойчивых состояния: развернутое состояние, в котором поверхность расширяется до цилиндрической колонны, и сложенное состояние, в котором она складывается в более компактную форму призмы, которую можно легче транспортировать. ^[41] Тот же самый шаблон мозаичности составляет основу выпучивания Йошимуры , шаблона, образующегося при осевом сжатии цилиндрических поверхностей, ^[42] и фонаря Шварца , примера, используемого в математике для демонстрации того, что площадь гладкой поверхности не всегда может быть точно аппроксимирована многогранниками, сходящимися к поверхности. ^[43]

В графическом дизайне и декоративно-прикладном искусстве равнобедренные треугольники были частым элементом дизайна в культурах по всему миру, по крайней мере, с раннего неолита ^[44] до наших дней. ^[45] Они являются распространенным элементом дизайна во флагах и геральдике , появляясь заметно с вертикальным основанием, например, на флаге Гайаны , или с горизонтальным основанием на флаге Сент-Люсии , где они образуют стилизованное изображение горного острова. ^[46]

Они также использовались в дизайнах с религиозным или мистическим значением, например, в Шри-Янтре индуистской медитативной практики . ^[47]

В других областях математики

Если кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три корня, которые не все являются действительными числами , то когда эти корни изображены на комплексной плоскости в виде диаграммы Аргана, они образуют вершины равнобедренного треугольника, ось симметрии которого совпадает с горизонтальной (действительной) осью. Это происходит потому, что комплексные корни являются комплексно-сопряженными и, следовательно, симметричны относительно действительной оси. ^[48]

В небесной механике задача трех тел изучалась в частном случае, когда три тела образуют равнобедренный треугольник, поскольку предположение, что тела расположены таким образом, уменьшает число степеней свободы системы, не сводя ее к решенному случаю точки Лагранжа , когда тела образуют равносторонний треугольник. Первые примеры задачи трех тел, в которых было показано, что они имеют неограниченные колебания, были в задаче трех равнобедренных тел. ^[49]

История и заблуждения

Задолго до того, как равнобедренные треугольники были изучены древнегреческими математиками , практикующие древнеегипетскую и вавилонскую математику знали, как вычислять их площадь. Задачи этого типа включены в Московский математический папирус и Математический папирус Райнда . ^[50]

Теорема о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, появляется как Предложение I.5 у Евклида. ^[51] Этот результат был назван pons asinorum (мостом ослов) или теоремой о равнобедренном треугольнике. Конкурирующие объяснения этого названия включают теорию о том, что это потому, что диаграмма, использованная Евклидом при демонстрации результата, напоминает мост, или потому, что это первый сложный результат у Евклида, и он служит для отделения тех, кто может понять геометрию Евклида, от тех, кто не может. ^[52]

Широко известное заблуждение — ложное доказательство утверждения, что все треугольники равнобедренные , впервые опубликованное В. В. Раузом Боллом в 1892 году ^[53] и позднее переизданное в посмертной « Книге с картинками Льюиса Кэрролла » . ^[54] Заблуждение коренится в непризнании Евклидом концепции промежуточности и вытекающей из этого двусмысленности внутренней и внешней частей фигур. ^[55]

Примечания

↑ Хит (1926), стр. 187, Определение 20.
^ Шталь (2003), стр. 37.
^ Усискин и Гриффин (2008), стр. 4.
^ Усискин и Гриффин (2008), стр. 41.
^ Ионин (2009).
^ Джейкобс (1974), стр. 144.
^ Аб Готшау, Хаверкорт и Мацке (2018).
^ abcd Ларднер (1840), стр. 46.
^ Барнс (2012).
^ ab Conway & Guy (1996).
^ Лёб (1992).
↑ Лэнгли (1922).
^ Монтролл (2009).
^ abcde Адамар (2008), стр. 23.
^ ab Guinand (1984).
^ abcde Harris & Stöcker (1998), стр. 78.
^ Сальвадори и Райт (1998).
^ Адамар (2008), Упражнение 5, стр. 29.
^ Кахан (2014).
^ Янг (2011), стр. 298.
↑ Янг (2011), стр. 398.
^ Альсина и Нельсен (2009), с. 71.
^ Балоглу и Хелфготт (2008), Уравнение (1).
^ Викельгрен (2012).
^ Балоглу и Хелфготт (2008), Теорема 2.
^ Арсланагич.
^ Оксман (2005).
^ Гилберт и Макдоннелл (1963).
^ Конвей и Райба (2014).
^ ab Harris & Stöcker (1998), стр. 75.
^ Альсина и Нельсен (2009), с. 67.
^ Гандз (1940).
^ Лорд (1982). См. также Адамар (2008, упражнение 340, стр. 270).
^ Посаментье и Леманн (2012), с. 24.
^ Бездек и Бистрички (2015).
^ Роббинс (1995).
^ Усискин и Гриффин (2008), стр. 51.
^ Лаведан (1947).
^ Падован (2002).
↑ Кетчум (1920).
^ Пеллегрино (2002).
^ Ёсимура (1955).
^ Шварц (1890).
^ Уошберн (1984).
^ Джакуэй (1922).
^ Смит (2014).
^ Болтон, Никол и Маклеод (1977).
^ Барделл (2016).
^ Диаку и Холмс (1999).
^ Høyrup (2008). Хотя «многие из ранних египтологов» считали, что египтяне использовали неточную формулу для площади, половину произведения основания и стороны, Василий Васильевич Струве отстаивал точку зрения, что они использовали правильную формулу, половину произведения основания и высоты (Clagett 1989). Этот вопрос опирается на перевод одного из слов в папирусе Райнда, и если это слово перевести как высоту (или, точнее, как отношение высоты к основанию), то формула верна (Gunn & Peet 1929, стр. 173–174).
↑ Хит (1926), стр. 251.
^ Венема (2006), стр. 89.
↑ Болл и Коксетер (1987).
^ Кэрролл (1899). См. также Уилсон (2008).
^ Шпехт и др. (2015).

Ссылки

Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009), Когда меньше значит больше: Визуализация основных неравенств , The Dolciani Mathematical Expositions, т. 36, Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, ISBN 978-0-88385-342-9, г-н 2498836
Арсланагич, Шефкет, «Задача η 44», Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (PDF) , стр. 151
Болл, WW Рауз ; Коксетер, HSM (1987) [1892], Математические развлечения и эссе (13-е изд.), Дувр, сноска, стр. 77, ISBN 0-486-25357-0
Балоглу, Джордж; Хельфготт, Мишель (2008), «Углы, площадь и периметр, пойманные в кубе» (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 13–25, MR 2373294, архивировано из оригинала (PDF) 2022-06-23 , извлечено 2018-06-03
Барделл, Николас С. (2016), «Кубические многочлены с действительными или комплексными коэффициентами: полная картина» (PDF) , Australian Senior Mathematics Journal , 30 (2): 5–26
Барнс, Джон (2012), Gems of Geometry (2-е иллюстрированное издание), Springer, стр. 27, ISBN 9783642309649
Бездек, Андраш; Бистрички, Тед (2015), «Нахождение триангуляции равного диаметра в многоугольниках», Beiträge zur Algebra und Geometry , 56 (2): 541–549, doi : 10.1007/s13366-014-0206-6, MR 3391189, S2CID 123507725
Болтон, Николас Дж.; Николь, Д.; Маклеод, Г. (март 1977 г.), «Геометрия Шри-янтры», Религия , 7 (1): 66–85, doi :10.1016/0048-721x(77)90008-2
Кэрролл, Льюис (1899), Коллингвуд, Стюарт Доджсон (ред.), «Иллюстрированная книга Льюиса Кэрролла», Лондон: T. Fisher Unwin, стр. 264–266
Клэгетт, Маршалл (1989), Древнеегипетская наука: Древнеегипетская математика , Американское философское общество, сноска 68, стр. 195–197, ISBN 9780871692320
Конвей, Дж. Х .; Гай, Р. К. (1996), «Треугольник Калаби», Книга чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 206
Конвей, Джон ; Райба, Алекс (июль 2014 г.), «Теорема Штейнера–Лемуса о биссектрисе угла», The Mathematical Gazette , 98 (542): 193–203, doi :10.1017/s0025557200001236, S2CID 124753764
Диаку, Флорин; Холмс, Филип (1999), Небесные встречи: истоки хаоса и стабильности, Научная библиотека Принстона, Издательство Принстонского университета, стр. 122, ISBN 9780691005454
Гандз, Соломон (1940), «Исследования по вавилонской математике. III. Изопериметрические задачи и происхождение квадратных уравнений», Isis , 32 : 101–115 (1947), doi :10.1086/347645, MR 0017683, S2CID 120267556. См. в частности стр. 111.
Гилберт, Г.; Макдоннелл, Д. (1963), «Теорема Штейнера–Лемуса», Classroom Notes, American Mathematical Monthly , 70 (1): 79–80, doi :10.2307/2312796, JSTOR 2312796, MR 1531983
Gottschau, Marinus; Haverkort, Herman; Matzke, Kilian (2018), «Рептилии и кривые заполнения пространства для остроугольных треугольников», Discrete & Computational Geometry , 60 (1): 170–199, arXiv : 1603.01382 , doi : 10.1007/s00454-017-9953-0, S2CID 14477196
Guinand, Andrew P. (1984), «Прямые Эйлера, центры трикасательных треугольников и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi :10.2307/2322671, JSTOR 2322671, MR 0740243
Ганн, Баттискомб; Пит, Т. Эрик (май 1929 г.), «Четыре геометрические задачи из Московского математического папируса», Журнал египетской археологии , 15 (1): 167–185, doi :10.1177/030751332901500130, JSTOR 3854111, S2CID 192278129
Адамар, Жак (2008), Уроки геометрии: Планиметрия, перевод Сола, Марка, Американское математическое общество, ISBN 9780821843673
Харрис, Джон В.; Штекер, Хорст (1998), Справочник по математике и информатике, Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-1-4612-5317-4, ISBN. 0-387-94746-9, МР 1621531
Хит, Томас Л. (1926), Тринадцать книг «Начал» Евклида, т. 1 (2-е изд.), Cambridge University Press; Переиздание Дувра, 1956, SBN 486-60088-2
Хёйруп, Йенс (2008), «Геометрия в Месопотамии и Египте», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer Netherlands, стр. 1019–1023, Bibcode : 2008ehst.book.....S, doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_8619
Ионин, Юрий Дж. (2009), «Равнобедренные множества», Электронный журнал комбинаторики , 16 (1): R141:1–R141:24, doi : 10.37236/230 , MR 2577309
Якобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
Джеквей, Бернард К. (1922), Принципы внутреннего убранства, Macmillan, стр. 48
Кахан, У. (4 сентября 2014 г.), «Неверный расчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF) , Конспект лекций для вводных занятий по численному анализу , Калифорнийский университет в Беркли
Кетчум, Мило Смит (1920), Проектирование автодорожных мостов из стали, древесины и бетона, Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 107
Лэнгли, Э. М. (1922), «Проблема 644», The Mathematical Gazette , 11 : 173
Ларднер, Дионисий (1840), Трактат о геометрии и ее применении в искусстве, The Cabinet Cyclopædia, Лондон
Лаведан, Пьер (1947), Французская архитектура, Penguin Books, стр. 44
Лёб, Артур (1992), Концепции и изображения: Визуальная математика, Бостон: Birkhäuser Boston, стр. 180, ISBN 0-8176-3620-X
Лорд, Нью-Джерси (июнь 1982 г.), «66.16 Равнобедренные подразделения треугольников», The Mathematical Gazette , 66 (436): 136–137, doi :10.2307/3617750, JSTOR 3617750, S2CID 125411311
Монтролл, Джон (2009), Проектирование оригами-многогранников , AK Peters, стр. 6, ISBN 9781439871065
Оксман, Виктор (2005), «О существовании треугольников с заданными длинами одной стороны, противолежащей и одной прилежащей биссектрисы угла» (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 21–22, MR 2141652, архивировано из оригинала (PDF) 22.04.2018 , извлечено 03.06.2018
Падован, Ричард (2002), На пути к универсальности: Ле Корбюзье, Мис и Де Стиль, Psychology Press, стр. 128, ISBN 9780415259620
Пеллегрино, С. (2002), Развертываемые конструкции, Международный центр механических наук CISM, т. 412, Springer, стр. 99–100, ISBN 9783211836859
Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2012), Секреты треугольников: математическое путешествие , Амхерст, Нью-Йорк: Prometheus Books, стр. 387, ISBN 978-1-61614-587-3, г-н 2963520
Роббинс, Дэвид П. (1995), «Площади многоугольников, вписанных в окружность», American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi :10.2307/2974766, JSTOR 2974766, MR 1336638
Сальвадори, Марио; Райт, Джозеф П. (1998), Математические игры для средней школы: задачи и упражнения для развития навыков у учащихся на каждом уровне, Chicago Review Press, стр. 70–71, ISBN 9781569767276
Шварц, HA (1890), Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz , Verlag von Julius Springer, стр. 309–311
Смит, Уитни (26 июня 2014 г.), «Флаг Сент-Люсии», Encyclopaedia Britannica , получено 12 сентября 2018 г.
Шпехт, Эдвард Джон; Джонс, Гарольд Трейнер; Калкинс, Кит Г.; Роадс, Дональд Х. (2015), Евклидова геометрия и ее подгеометрии, Springer, Cham, стр. 64, doi :10.1007/978-3-319-23775-6, ISBN 978-3-319-23774-9, МР 3445044
Шталь, Саул (2003), Геометрия от Евклида до узлов , Prentice-Hall, ISBN 0-13-032927-4
Usiskin, Zalman ; Griffin, Jennifer (2008), Классификация четырехугольников: исследование определения , Исследования в области математического образования, Information Age Publishing, ISBN 9781607526001
Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Prentice-Hall, ISBN 0-13-143700-3
Уошберн, Дороти К. (июль 1984 г.), «Исследование рисунков «красный на кремовом» и «кремовый на красном» на керамике раннего неолита из Неа Никомедия», Американский журнал археологии , 88 (3): 305–324, doi :10.2307/504554, JSTOR 504554, S2CID 191374019
Викельгрен, Уэйн А. (2012), Как решать математические задачи, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, стр. 222–224, ISBN 9780486152684.
Уилсон, Робин (2008), Льюис Кэрролл в стране чисел: его фантастическая математическая логическая жизнь, агония в восьми приступах , Penguin Books, стр. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8, г-н 2455534
Ёсимура, Ёсимару (июль 1955 г.), О механизме выпучивания круглой цилиндрической оболочки при осевом сжатии, Технический меморандум 1390, Национальный консультативный комитет по аэронавтике
Янг, Синтия Й. (2011), Тригонометрия, John Wiley & Sons, ISBN 9780470648025

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , "Равнобедренный треугольник", MathWorld