Число Ферма

Положительное целое число вида (2^(2^n))+1

В математике число Ферма , названное в честь Пьера де Ферма (1607–1665), первого известного исследователя, изучавшего их, — это положительное целое число вида: где n — неотрицательное целое число. Первые несколько чисел Ферма: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, ... (последовательность A000215 в OEIS ). ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

Если 2k ⁺ 1 — простое число и k > 0 , то само k должно быть степенью 2, ^[1] поэтому 2k ₊ 1 — число Ферма; такие простые числа называются простыми числами Ферма . По состоянию на 2023 год единственными^{[обновлять]} известными простыми числами Ферма являются ^F0 = 3 , F1 = 5 , F2 = 17 , F3 ₌ 257 и F4 _{= 65537 (} последовательность A019434 в OEIS ).

Основные свойства

Числа Ферма удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям :

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

для n ≥ 1,

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

для n ≥ 2. Каждое из этих соотношений может быть доказано методом математической индукции . Из второго уравнения можно вывести теорему Гольдбаха (названную в честь Христиана Гольдбаха ): никакие два числа Ферма не имеют общего целого множителя, большего 1. Чтобы увидеть это, предположим, что 0 ≤ i < j и F _i и F _j имеют общий множитель a > 1. Тогда a делит оба

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}$

и F _j ; следовательно, a делит их разность, 2. Поскольку a > 1 , это вынуждает a = 2 . Это противоречие , поскольку каждое число Ферма явно нечетное. Как следствие , мы получаем еще одно доказательство бесконечности простых чисел: для каждого F _n выберем простой множитель p _n ; тогда последовательность { p _n } является бесконечной последовательностью различных простых чисел.

Дополнительные свойства

• Ни одно простое число Ферма не может быть выражено как разность двух степеней p , где p — нечетное простое число.
• За исключением F ₀ и F ₁ , последняя цифра числа Ферма равна 7.
• Сумма обратных величин всех чисел Ферма (последовательность A051158 в OEIS ) иррациональна . ( Соломон В. Голомб , 1963)

Первичность

Числа Ферма и простые числа Ферма были впервые изучены Пьером де Ферма, который предположил , что все числа Ферма являются простыми. Действительно, легко показать, что первые пять чисел Ферма F ₀ , ..., F ₄ являются простыми. Гипотеза Ферма была опровергнута Леонардом Эйлером в 1732 году, когда он показал, что

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

Эйлер доказал , что каждый множитель F _n должен иметь вид k  2 ^{n +1} + 1 (позже улучшенный до k  2 ^{n +2} + 1 Лукасом ) для n ≥ 2 .

То, что 641 является множителем F _5, можно вывести из равенств 641 = 2 ⁷  × 5 + 1 и 641 = 2 ⁴  + 5 ⁴ . Из первого равенства следует, что 2 ⁷  × 5 ≡ −1 (mod 641) и, следовательно (возводя в четвертую степень), что 2 ²⁸  × 5 ⁴  ≡ 1 (mod 641). С другой стороны, второе равенство подразумевает, что 5 ⁴  ≡ −2 ⁴  (mod 641). Из этих сравнений следует, что 2 ³²  ≡ −1 (mod 641).

Ферма, вероятно, знал форму множителей, позже доказанную Эйлером, поэтому кажется странным, что он не смог выполнить прямолинейные вычисления, чтобы найти множитель. ^[2] Одно из распространенных объяснений состоит в том, что Ферма допустил вычислительную ошибку.

Других известных простых чисел Ферма F _n с n > 4 не существует , но мало что известно о числах Ферма для больших n . ^[3] Фактически, каждое из следующих заданий является открытой проблемой:

• Является ли F _n составным для всех n > 4 ?
• Существует ли бесконечно много простых чисел Ферма? ( Эйзенштейн 1844 ^[4] )
• Существует ли бесконечно много составных чисел Ферма?
• Существует ли число Ферма, которое не является бесквадратным ?

По состоянию на 2024 год ^{[обновлять]}известно, что F _n является составным числом при 5 ≤ n ≤ 32 , хотя из них полные факторизации F _n известны только для 0 ≤ n ≤ 11 , и нет известных простых множителей для n = 20 и n = 24. [ ^5] Наибольшее число Ферма, которое известно как составное число, — это F _18233954 , а его простой множитель 7 × 2 ^18233956 + 1 был обнаружен в октябре 2020 года.

Эвристические аргументы

Эвристика предполагает, что _F4 — последнее простое число Ферма.

Теорема о простых числах подразумевает, что случайное целое число в подходящем интервале вокруг N является простым с вероятностью 1  /  ln N. Если использовать эвристику, что число Ферма является простым с той же вероятностью, что и случайное целое число его размера, и что F ₅ , ..., F ₃₂ являются составными, то ожидаемое количество простых чисел Ферма за пределами F ₄ (или, что эквивалентно, за пределами F ₃₂ ) должно быть

${\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3.36\times 10^{-10}.}$

Это число можно интерпретировать как верхнюю границу вероятности того, что существует простое число Ферма, превышающее F4 _.

Этот аргумент не является строгим доказательством. Во-первых, он предполагает, что числа Ферма ведут себя «случайно», но множители чисел Ферма обладают особыми свойствами. Боклан и Конвей опубликовали более точный анализ, предполагающий, что вероятность того, что существует еще одно простое число Ферма, составляет менее одного на миллиард. ^[6]

Андерс Бьорн и Ханс Ризель оценили количество квадратных множителей чисел Ферма от F ₅ и далее как

${\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}<{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\approx 0.02576;}$

Другими словами, маловероятно, что существуют какие-либо несвободные от квадратов числа Ферма, и вообще квадратные множители очень редки для больших n . ^[7] ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$

Эквивалентные условия

Пусть будет n-м числом Ферма. Тест Пепена утверждает, что для n > 0 , ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

${\displaystyle F_{n}}$является простым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

Выражение можно оценить по модулю путем повторного возведения в квадрат . Это делает тест быстрым алгоритмом полиномиального времени . Но числа Ферма растут так быстро, что только несколько из них можно проверить за разумное количество времени и пространства. ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Существуют некоторые тесты для чисел вида k  2 ^m + 1 , такие как множители чисел Ферма, на простоту.

Теорема Прота (1878). Пусть N = k  2 ^m + 1 с нечетным k < 2 ^m . Если существует целое число a такое, что

${\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}$

тогда является простым. Наоборот, если указанное выше сравнение не выполняется, и в дополнение ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}$(См. символ Якоби )

тогда является составным. ${\displaystyle N}$

Если N = F _n > 3 , то указанный выше символ Якоби всегда равен −1 для a = 3 , и этот особый случай теоремы Прота известен как тест Пепена . Хотя тест Пепена и теорема Прота были реализованы на компьютерах для доказательства составности некоторых чисел Ферма, ни один из тестов не дает конкретного нетривиального множителя. Фактически, для n = 20 и 24 не известны конкретные простые множители.

Факторизация

Из-за размера чисел Ферма их трудно факторизовать или даже проверить на простоту. Тест Пепена дает необходимое и достаточное условие простоты чисел Ферма и может быть реализован современными компьютерами. Метод эллиптической кривой — быстрый метод нахождения малых простых делителей чисел. Проект распределенных вычислений Fermatsearch нашел некоторые множители чисел Ферма. Программа proth.exe Ива Галло использовалась для нахождения множителей больших чисел Ферма. Эдуард Люка , улучшая вышеупомянутый результат Эйлера, доказал в 1878 году, что каждый множитель числа Ферма , где n не менее 2, имеет вид (см. Число Прота ), где k — положительное целое число. Само по себе это позволяет легко доказать простоту известных простых чисел Ферма. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}$

Факторизации первых 12 чисел Ферма следующие:

По состоянию на апрель 2023 года полностью факторизованы только^{[обновлять]} числа F ₀ – F _11. ^[5] Проект распределенных вычислений Fermat Search ищет новые факторы чисел Ферма. [ ^9] Набор всех факторов Ферма равен A050922 (или, отсортированный, A023394) в OEIS .

Следующие множители чисел Ферма были известны до 1950 года (с тех пор цифровые компьютеры помогли найти больше множителей):

По состоянию на июль 2023 года ^{[обновлять]}известно 368 простых множителей чисел Ферма, а 324 числа Ферма являются составными. ^[5] Каждый год обнаруживается несколько новых множителей Ферма. ^[10]

Псевдопростые числа и числа Ферма

Подобно составным числам вида 2 ^p − 1, каждое составное число Ферма является сильным псевдопростым числом по основанию 2. Это происходит потому, что все сильные псевдопростые числа по основанию 2 также являются псевдопростыми числами Ферма , т. е.

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

для всех чисел Ферма. ^[11]

В 1904 году Чиполла показал, что произведение по крайней мере двух различных простых или составных чисел Ферма будет псевдопростым числом Ферма по основанию 2 тогда и только тогда, когда . ^[12] ${\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}$ ${\displaystyle a>b>\dots >s>1}$ ${\displaystyle 2^{s}>a}$

Другие теоремы о числах Ферма

Лемма.  —  Если n — положительное целое число,

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}.}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}&=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}}$

Теорема  —  Если — нечетное простое число, то — степень числа 2. ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Если — положительное целое число, но не степень двойки, то оно должно иметь нечетный простой множитель , и мы можем записать , где . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s>2}$ ${\displaystyle k=rs}$ ${\displaystyle 1\leq r<k}$

По предыдущей лемме для положительного целого числа ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (a-b)\mid (a^{m}-b^{m})}$

где означает «делится нацело». Подставляя , и и используя это нечетно, ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a=2^{r},b=-1}$ ${\displaystyle m=s}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{rs}+1),}$

и таким образом

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{k}+1).}$

Поскольку , то следует, что не является простым числом. Следовательно, по контрапозиции должно быть степенью 2. ${\displaystyle 1<2^{r}+1<2^{k}+1}$ ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Теорема  —  Простое число Ферма не может быть простым числом Вифериха .

Доказательство

Покажем, что если — простое число Ферма (и, следовательно, согласно вышесказанному, m является степенью числа 2), то сравнение не выполняется. ${\displaystyle p=2^{m}+1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}}$

Так как мы можем записать . Если данное сравнение выполняется, то , и, следовательно, ${\displaystyle 2m|p-1}$ ${\displaystyle p-1=2m\lambda }$ ${\displaystyle p^{2}|2^{2m\lambda }-1}$

${\displaystyle 0\equiv {\frac {2^{2m\lambda }-1}{2^{m}+1}}=(2^{m}-1)\left(1+2^{2m}+2^{4m}+\cdots +2^{2(\lambda -1)m}\right)\equiv -2\lambda {\pmod {2^{m}+1}}.}$

Следовательно , ​​и поэтому . Это приводит к , что невозможно , так как . ${\displaystyle 2^{m}+1|2\lambda }$ ${\displaystyle 2\lambda \geq 2^{m}+1}$ ${\displaystyle p-1\geq m(2^{m}+1)}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Теорема  ( Эдуард Люка )  —  Любой простой делитель числа p имеет вид, если n > 1 . ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle k2^{n+2}+1}$

Эскиз доказательства

Пусть G _p обозначает группу ненулевых целых чисел по модулю p при умножении , которая имеет порядок p − 1. Обратите внимание, что 2 (строго говоря, ее образ по модулю p ) имеет мультипликативный порядок, равный в G _p (так как является квадратом, который равен −1 по модулю F _n ), так что по теореме Лагранжа p − 1 делится на и p имеет вид для некоторого целого числа k , как знал Эйлер . Эдуард Люка пошел дальше. Так как n > 1 , то простое число p выше сравнимо с 1 по модулю 8. Следовательно (как было известно Карлу Фридриху Гауссу ), 2 является квадратичным вычетом по модулю p , то есть существует целое число a такое, что Тогда образ a имеет порядок в группе G _p и (снова используя теорему Лагранжа), p − 1 делится на и p имеет вид для некоторого целого числа s . ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n+1}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle k2^{n+1}+1}$ ${\displaystyle p|a^{2}-2.}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle s2^{n+2}+1}$

На самом деле, можно непосредственно увидеть, что 2 является квадратичным вычетом по модулю p , поскольку

${\displaystyle \left(1+2^{2^{n-1}}\right)^{2}\equiv 2^{1+2^{n-1}}{\pmod {p}}.}$

Поскольку нечетная степень числа 2 является квадратичным вычетом по модулю p , то и само число 2 является таковым.

Число Ферма не может быть совершенным числом или частью пары дружественных чисел . (Лука 2000)

Ряд обратных величин всех простых делителей чисел Ферма сходится . (Кржижек, Лука и Сомер 2002)

Если n ⁿ + 1 — простое число, то существует целое число m, такое что n = 2 ^{2 m} . В этом случае справедливо уравнение n ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m )} . ^{[13] [14]}

Пусть наибольший простой множитель числа Ферма F _n будет P ( F _n ). Тогда,

${\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}$(Грычук, Лука и Войтович, 2001 г.)

Связь с конструируемыми полигонами

Число сторон известных конструируемых многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный) или нечетное количество сторон (красный)

Карл Фридрих Гаусс разработал теорию гауссовых периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae и сформулировал достаточное условие для конструктивности правильных многоугольников. Гаусс утверждал, что это условие также необходимо , ^[15] но никогда не публиковал доказательство. Пьер Ванцель дал полное доказательство необходимости в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса–Ванцеля :

Правильный n - угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является либо степенью числа 2, либо произведением степени числа 2 и различных простых чисел Ферма: другими словами, тогда и только тогда, когда n имеет вид n = 2 ^k или n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s , где k , s — неотрицательные целые числа, а p _i — различные простые числа Ферма.

Положительное целое число n имеет указанный выше вид тогда и только тогда, когда его тотиент φ ( n ) является степенью числа 2.

Приложения чисел Ферма

Генерация псевдослучайных чисел

Простые числа Ферма особенно полезны для генерации псевдослучайных последовательностей чисел в диапазоне 1, ..., N , где N — степень числа 2. Наиболее распространенный метод — взять любое начальное значение от 1 до P − 1 , где P — простое число Ферма. Теперь умножьте это на число A , которое больше квадратного корня из P и является примитивным корнем по модулю P (т. е. не является квадратичным вычетом ). Затем возьмите результат по модулю P . Результат — новое значение для ГСЧ.

${\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}$(см. линейный конгруэнтный генератор , RANDU )

Это полезно в информатике, поскольку большинство структур данных имеют элементы с 2 ^X возможными значениями. Например, байт имеет 256 (2 ⁸ ) возможных значений (0–255). Поэтому для заполнения байта или байтов случайными значениями можно использовать генератор случайных чисел, который выдает значения 1–256, при этом байт принимает выходное значение −1. По этой причине очень большие простые числа Ферма представляют особый интерес для шифрования данных. Этот метод выдает только псевдослучайные значения, так как после P − 1 повторений последовательность повторяется. Неправильно выбранный множитель может привести к повторению последовательности раньше, чем P − 1 .

Обобщенные числа Ферма

Числа вида с a , b и любыми взаимно простыми целыми числами, a > b > 0 , называются обобщенными числами Ферма . Нечетное простое число p является обобщенным числом Ферма тогда и только тогда, когда p сравнимо с 1 (mod 4) . (Здесь мы рассматриваем только случай n > 0 , поэтому 3 = не является контрпримером.) ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}$

Примером вероятного простого числа этой формы является 1215 ¹³¹⁰⁷² + 242 ¹³¹⁰⁷² (найденное Келленом Шентоном). ^[16]

По аналогии с обычными числами Ферма, обобщенные числа Ферма вида F _n ( a ) принято записывать как F 3 (10 ). В этой нотации, например, число 100 000 001 будет записано как F ₃ (10). В дальнейшем мы ограничимся простыми числами этого вида, такие простые числа называются «простыми числами Ферма по основанию a » . Конечно, эти простые числа существуют только если a четно . ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$ ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$

Если мы требуем n > 0 , то четвертая проблема Ландау спрашивает, существует ли бесконечно много обобщенных простых чисел Ферма F _n ( a ).

Обобщенные простые числа Ферма вида Fн(а)

Из-за простоты доказательства их простоты обобщенные простые числа Ферма стали в последние годы темой для исследований в области теории чисел. Многие из самых больших известных простых чисел сегодня являются обобщенными простыми числами Ферма.

Обобщенные числа Ферма могут быть простыми только для четного a , потому что если a нечетное, то каждое обобщенное число Ферма будет делиться на 2. Наименьшее простое число с равно , или 30 ³² + 1. Кроме того, мы можем определить «полуобобщенные числа Ферма» для нечетного основания, полуобобщенное число Ферма по основанию a (для нечетного a ) равно , и также следует ожидать, что будет только конечное число полуобобщенных простых чисел Ферма для каждого нечетного основания. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n>4}$ ${\displaystyle F_{5}(30)}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}$

В этом списке обобщенные числа Ферма ( ) для четного a равны , для нечетного a они равны . Если a — совершенная степень с нечетным показателем (последовательность A070265 в OEIS ), то все обобщенные числа Ферма можно разложить на алгебраические множители, поэтому они не могут быть простыми. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}$

См. ^{[17] [18]} для четных оснований до 1000 и ^[19] для нечетных оснований. Для наименьшего числа, такого, что является простым, см. OEIS : A253242 . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Для наименьшего четного основания a, являющегося простым, см. OEIS : A056993 . ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Наименьшие основания b=b(n) такие, что b ^{2 n} + 1 (для заданного n= 0,1,2, ... ) является простым числом, это

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (последовательность A056993 в OEIS )

Наоборот, наименьшее число k=k(n) такое, что (2 n ) ^k + 1 (для заданного n ) является простым числом, равно

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (Следующий член неизвестен) (последовательность A079706 в OEIS ) (см. также OEIS : A228101 и OEIS : A084712 )

Более сложную теорию можно использовать для предсказания количества оснований, для которых будет простым числом при фиксированном . Можно приблизительно ожидать, что количество обобщенных простых чисел Ферма уменьшится вдвое при увеличении на 1. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Обобщенные простые числа Ферма вида Fн(а,б)

Также возможно построить обобщенные простые числа Ферма вида . Как и в случае, когда b = 1, числа этого вида всегда будут делиться на 2, если a+b четно, но все еще возможно определить обобщенные полупростые числа Ферма этого типа. Для наименьшего простого числа вида (для нечетного ), см. также OEIS : A111635 . ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$ ${\displaystyle F_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$

Наибольшие известные обобщенные простые числа Ферма

Ниже приведен список пяти крупнейших известных обобщенных простых чисел Ферма. ^[21] Вся пятерка лучших чисел обнаружена участниками проекта PrimeGrid .

На Prime Pages можно найти текущие 100 лучших обобщенных простых чисел Ферма.

Смотрите также

• Построимый многоугольник : то, какие правильные многоугольники можно построить, частично зависит от простых чисел Ферма.
• Двойная показательная функция
• Теорема Люка
• простое число Мерсенна
• Пирпонт Прайм
• Тест на простоту
• Теорема Прота
• Псевдопростое число
• Число Серпинского
• последовательность Сильвестра

Примечания

1. Для любого положительного нечетного числа , где . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{2^{k}m}+1=(a+1)(a^{m-1}-a^{m-2}+\ldots -a+1)}$ ${\displaystyle a=2^{2^{k}}}$
2. Кржижек, Лука и Сомер 2001, с. 38, замечание 4.15.
3. Крис Колдуэлл, «Prime Links++: специальные формы». Архивировано 24 декабря 2013 г. на Wayback Machine на The Prime Pages .
4. Рибенбойм 1996, стр. 88.
5. Keller, Wilfrid (18 января 2021 г.), «Простые множители чисел Ферма», ProthSearch.com , получено 19 января 2021 г.
6. Боклан, Кент Д.; Конвей, Джон Х. (2017). «Ожидайте максимум одну миллиардную часть нового простого числа Ферма!». The Mathematical Intelligencer . 39 (1): 3–5. arXiv : 1605.01371 . doi : 10.1007/s00283-016-9644-3. S2CID  119165671.
7. Бьёрн, Андерс; Ризель, Ганс (1998). «Факторы обобщенных чисел Ферма». Математика вычислений . 67 (221): 441–446. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00891-6 . ISSN  0025-5718.
8. Sandifer, Ed. "How Euler Did it" (PDF) . MAA Online . Математическая ассоциация Америки. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2020-06-13 .
9. ":: FERMATSEARCH . ORG :: Домашняя страница". www.fermatsearch.org . Получено 7 апреля 2018 г. .
10. "::FERMATSEARCH.ORG:: Новости". www.fermatsearch.org . Получено 7 апреля 2018 г. .
11. Шредер, М. Р. (2006). Теория чисел в науке и коммуникации: с приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии. Серия Springer по информационным наукам (4-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer. стр. 216. ISBN 978-3-540-26596-2. OCLC  61430240.
12. Крижек, Михал; Лука, Флориан; Сомер, Лоуренс (14 марта 2013 г.). 17 лекций по числам Ферма: от теории чисел до геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387218502. Получено 7 апреля 2018 г. – через Google Books.
13. Йеппе Стиг Нильсен, «S(n) = n^n + 1».
14. Вайсштейн, Эрик В. «Числа Серпинского первого рода». MathWorld .
15. Гаусс, Карл Фридрих (1966). Disquisitiones arithmeticae. Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. С. 458–460 . Получено 25 января 2023 г.
16. Лучшие записи PRP, поиск по x^131072+y^131072, Анри и Рено Лифшиц.
17. "Обобщенные простые числа Ферма". jeppesn.dk . Получено 7 апреля 2018 г. .
18. "Обобщенные простые числа Ферма для оснований до 1030". noprimeleftbehind.net . Получено 7 апреля 2018 г. .
19. "Обобщенные простые числа Ферма в нечетных базисах". fermatquotient.com . Получено 7 апреля 2018 г. .
20. "Оригинальные факторы GFN". www.prothsearch.com .
21. Колдуэлл, Крис К. "The Top Twenty: Generalized Fermat". The Prime Pages . Получено 5 октября 2024 г.
22. 4×511786358 + 1
23. 19637361048576 + 1
24. 19517341048576 + 1
25. 10590941048576 + 1
26. 9194441048576 + 1

Ссылки

• Голомб, С. В. (1 января 1963 г.), «О сумме обратных чисел чисел Ферма и связанных с ними иррациональностях», Canadian Journal of Mathematics , 15 : 475–478, doi : 10.4153/CJM-1963-051-0 , S2CID  123138118
• Грытчук, А.; Лука, Ф. и Войтович, М. (2001), «Еще одна заметка о наибольших простых множителях чисел Ферма», Юго-Восточный азиатский математический вестник , 25 (1): 111–115, doi :10.1007/s10012-001-0111-4, S2CID  122332537
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Сборник задач по математике, т. 1 (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан и Сомер, Лоуренс (2001), 17 лекций по числам Ферма: от теории чисел к геометрии, CMS books in Mathematics, т. 10, Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8- В этой книге содержится обширный список литературы.
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан и Сомер, Лоуренс (2002), «О сходимости рядов обратных величин простых чисел, связанных с числами Ферма», Журнал теории чисел , 97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782
• Лука, Флориан (2000), «Антисоциальное число Ферма», American Mathematical Monthly , 107 (2): 171–173, doi :10.2307/2589441, JSTOR  2589441
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Робинсон, Рафаэль М. (1954), «Числа Мерсенна и Ферма», Труды Американского математического общества , 5 (5): 842–846, doi : 10.2307/2031878 , JSTOR  2031878
• Ябута, М. (2001), «Простое доказательство теоремы Кармайкла о примитивных делителях» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (5): 439–443, doi :10.1080/00150517.2001.12428701, архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09

Внешние ссылки

• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​число Ферма на The Prime Pages .
• Луиджи Морелли, История чисел Ферма
• Джон Косгрейв, Объединение чисел Мерсенна и Ферма
• Вильфрид Келлер, Простые множители чисел Ферма
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Ферма». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ферма Прайм». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Обобщенное число Ферма". MathWorld .
• Ив Галло, Обобщенный поиск простых чисел Ферма
• Марк С. Манассе, Полная факторизация девятого числа Ферма (первоначальное объявление)
• Пейтон Хейслетт, Объявление о крупнейшем известном обобщенном простом числе Ферма