Керальская школа астрономии и математики

Индуистская астрономия, математика, научная школа в Индии

Школа астрономии и математики Кералы или школа Кералы была школой математики и астрономии, основанной Мадхавой из Сангамаграмы в Тируре , Малаппурам , Керала , Индия, в которую входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мелпатхур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар . Школа процветала между 14 и 16 веками, и ее оригинальные открытия, по-видимому, закончились с Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, школа Кералы независимо открыла ряд важных математических концепций. Их самые важные результаты — разложение в ряд для тригонометрических функций — были описаны в стихах на санскрите в книге Нилаканты под названием Tantrasangraha (около 1500 г.), а также в комментарии к этой работе, названной Tantrasangraha-vakhya , неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства для рядов для синуса, косинуса и арктангенса были предоставлены столетием позже в работе Yuktibhasa ( около  1530 г. ), написанной на малаяламе Джьештадевой, а также в комментарии к Tantrasangraha . ^[1]

Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (помимо геометрического ряда ). ^{[2] [3] [4]}

Фон

Исламские ученые почти разработали общую формулу для нахождения интегралов многочленов к 1000 году нашей эры — и, очевидно, могли найти такую ​​формулу для любого многочлена, который их интересовал. Но, по-видимому, их не интересовал ни один многочлен степени выше четвертой, по крайней мере, ни один из материалов, которые были найдены на сегодняшний день. Индийские ученые , с другой стороны, к 1600 году могли использовать формулу, похожую на формулу суммы Ибн аль-Хайтама для произвольных интегральных степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. К тому же времени они также знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые из основных идей исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Исаака Ньютона . Однако не похоже, что исламские или индийские математики видели необходимость в объединении некоторых разрозненных идей, которые мы включаем под названием исчисление. По-видимому, их интересовали только конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы. ^{[5] [6]}

Вклады

Страницы из « Юктибхасы» ок. 1530 г.

Бесконечные ряды и исчисление

Керальская школа внесла ряд вкладов в области бесконечных рядов и исчисления . Они включают следующие бесконечные геометрические ряды:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^[7]

Керальская школа интуитивно использовала математическую индукцию , хотя индуктивная гипотеза еще не была сформулирована и не использовалась в доказательствах. ^[1] Они использовали это, чтобы открыть полустрогое доказательство результата:

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$

для больших n .

Они применили идеи из (того, что должно было стать) дифференциального и интегрального исчисления , чтобы получить ( Тейлора–Маклорена ) бесконечные ряды для , и . ^[8] Тантрасанграха -вакхья дает ряд в стихах, которые при переводе в математическую нотацию можно записать как: ^[1] ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$

где, для ряда сводятся к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например: ${\displaystyle r=1,}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$и

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

(Школа Кералы не использовала «факториальную» символику.)

Школа Кералы использовала ректификацию (вычисление длины) дуги окружности, чтобы доказать эти результаты. (Более поздний метод Лейбница, использующий квадратуру ( т.е. вычисление площади под дугой окружности), еще не был разработан.) ^[1] Они также использовали разложение ряда для получения выражения бесконечного ряда (позже известного как ряд Грегори) для : ^[1] ${\displaystyle \arctan x}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Их рациональная аппроксимация ошибки для конечной суммы их рядов представляет особый интерес. Например, ошибка, , (для нечетного n и i = 1, 2, 3 ) для ряда: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

где ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

Они манипулировали членами, используя разложение дроби : для получения более быстро сходящегося ряда для : ^[1] ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Они использовали улучшенный ряд для вывода рационального выражения, ^[1] для корректных до девяти знаков после запятой, т. е . Они использовали интуитивное понятие предела для вычисления этих результатов. ^[1] Математики школы Кералы также дали полустрогий метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций, ^[9] хотя понятие функции, или показательной или логарифмической функции, еще не было сформулировано. ${\displaystyle 104348/33215}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3.141592653}$

Признание

В 1825 году Джон Уоррен опубликовал мемуары о разделении времени в Южной Индии ^[10] под названием « Кала Санкалита» , в которых кратко упоминается открытие бесконечных рядов астрономами Кералы.

Работы школы Кералы были впервые изложены для западного мира англичанином CM Whish в 1835 году. По словам Whish, математики Кералы «заложили основу для полной системы флюксий», и эти работы изобиловали «флюксиональными формами и рядами, которые нельзя найти ни в одной работе зарубежных стран». ^[11] Однако результаты Whish были почти полностью проигнорированы, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы CT Rajagopal и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда arctan в Yuktibhasa , данные в двух статьях, ^{[12] [13]} комментарий к доказательству ряда синуса и косинуса Yuktibhasa [ ^14] и две статьи, которые предоставляют санскритские стихи Tantrasangrahavakhya для ряда arctan, sin и cosine (с английским переводом и комментариями). ^{[15] [16]}

В 1972 году К. В. Сарма опубликовал свою «Историю школы индуистской астрономии Кералы» , в которой описывались особенности школы, такие как непрерывность передачи знаний с 13 по 17 век: от Говинды Бхаттатири до Парамешвары , Дамодары , Нилаканты Сомаяджи , Джьештадевы и Ачьюты Писарати . Передача от учителя к ученику сохраняла знания в «практической, наглядной дисциплине, такой как астрономия, в то время, когда не было распространения печатных книг и государственных школ».

В 1994 году утверждалось, что гелиоцентрическая модель была принята в Керале около 1500 года нашей эры. ^[17]

Возможная передача результатов школ Кералы в Европу

AK Bag предположил в 1979 году, что знания об этих результатах могли быть переданы в Европу через торговый путь из Кералы торговцами и иезуитскими миссионерами. ^[18] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем, Аравией и Европой . Предположение некоторых ученых о некоторых путях связи и хронологии ^{[19] [20]} могло бы сделать такую ​​передачу возможной; однако нет прямых доказательств в виде соответствующих рукописей, что такая передача имела место. ^[20] По словам Дэвида Брессо , «нет никаких доказательств того, что индийская работа о рядах была известна за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^{[8] [21]} VJ Katz отмечает, что некоторые идеи школы Кералы имеют сходство с работой иракского ученого XI века Ибн аль-Хайтама , ^[9] предполагая возможную передачу идей из исламской математики в Кералу. ^[22]

И индийские, и арабские ученые сделали открытия до 17 века, которые теперь считаются частью исчисления. ^[9] По словам Каца, им еще предстояло «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня», как Ньютон и Лейбниц . ^[9] Интеллектуальная карьера как Ньютона, так и Лейбница хорошо документирована, и нет никаких указаний на то, что их работа не была их собственной; ^[9] однако, неизвестно с уверенностью, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля, о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, о которых мы сейчас не знаем». ^[9] Это активная область современных исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба , исследования, которые в настоящее время проводятся, среди прочего, в Национальном центре научных исследований в Париже . ^[9]

Смотрите также

• Индийская астрономия
• индийская математика
• Индийские математики
• История математики
• История керальской школы индуистской астрономии
• Список астрономов и математиков керальской школы

Примечания

1. Рой, Ранджан. 1990. «Открытие формулы ряда для Лейбница, Грегори и Нилаканты». Журнал «Математика» (Математическая ассоциация Америки) 63(5):291–306. ${\displaystyle \pi }$
2. (Стилвелл 2004, стр. 173)
3. (Bressoud 2002, стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы о рядах были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени, когда эти ряды были заново открыты в Европе, они, по всем практическим соображениям, были утеряны для Индии. Разложения синуса, косинуса и арктангенса передавались через несколько поколений учеников, но они оставались бесплодными наблюдениями, для которых никто не мог найти особого применения».
4. Плофкер 2001, стр. 293 Цитата: «Нередко в обсуждениях индийской математики встречаются такие утверждения, как, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в 10 веке)» [Joseph 1991, 300], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Joseph 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на звание «предшественника Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979, 294). ... Сходства, особенно между ранним европейским исчислением и керальскими работами по степенным рядам, даже вдохновили на предположения о возможной передаче математических идей с побережья Малабара в 15 веке или позже в латинский ученый мир (например, в (Bag 1979, 285)). ... Однако следует иметь в виду, что такое акцент на сходстве санскритской (или малаяламской) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать первую. Говорить об индийском "открытии принципа дифференциального исчисления" несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений в синусе посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в пределах этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный "принцип" не был обобщен на произвольные функции — на самом деле, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь не имеет значения"
5. Пингри 1992, стр. 562 Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийцем Мадхавой, примерно в 1400 году нашей эры, бесконечного степенного ряда тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Уишем в 1830-х годах, это было объявлено открытием индийцами исчисления. Это заявление и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, вероятно, сначала потому, что они не могли признать, что индиец открыл исчисление, но позже потому, что никто больше не читал Transactions of the Royal Asiatic Society , в которых была опубликована статья Уиша. Этот вопрос снова всплыл в 1950-х годах, и теперь у нас есть санскритские тексты, должным образом отредактированные, и мы понимаем, каким умным способом Мадхава вывел ряд без исчисления; но многие историки до сих пор считают невозможным представить себе проблему и ее решение в терминах чего-либо иного, кроме исчисления. и заявляют, что исчисление — это то, что обнаружил Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под текущим математическим решением проблемы, для которой он открыл альтернативное и мощное решение».
6. Katz 1995, стр. 173–174 Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для нахождения интегралов многочленов к 1000 году нашей эры — и, очевидно, могли найти такую ​​формулу для любого многочлена, который их интересовал. Но, по-видимому, их не интересовал ни один многочлен степени выше четвертой, по крайней мере, в любом из материалов, которые дошли до нас. Индийские ученые, с другой стороны, к 1600 году смогли использовать формулу суммы ибн аль-Хайтама для произвольных интегральных степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. К тому же времени они также знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые из основных идей исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Ньютона. Однако не похоже, чтобы исламские или индийские математики видели необходимость в объединении некоторых разрозненных идей, которые мы включаем в имя исчисление. Они, по-видимому, интересовались только конкретными случаями, в которых эти идеи были необходимы.
       Поэтому нет никакой опасности, что нам придется переписывать исторические тексты, чтобы убрать утверждение, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто смог объединить множество различных идей в двух объединяющих темах производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня».
7. Сингх, AN (1936). «Об использовании рядов в индийской математике». Osiris . 1 : 606–628. doi :10.1086/368443. S2CID  144760421.
8. Bressoud, David. 2002. «Было ли исчисление изобретено в Индии?» The College Mathematics Journal (Математическая ассоциация Америки). 33(1):2–13.
9. Katz, VJ 1995. «Идеи исчисления в исламе и Индии». (pdf) Mathematics Magazine (Математическая ассоциация Америки), 68(3):163-174.
10. Джон Уоррен (1825) Сборник воспоминаний о различных способах, согласно которым народы южной части Индии делят время из Google Books
11. Whish, Charles M. (1835). «XXXIII. Об индусской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленной в четырех Шастрах, Тантре Санграхам, Юкти Бхаше, Чарана Падхати и Садратнамаке». Труды Королевского Азиатского Общества . 3 : 509–523.
12. Раджагопал, Ч.; Рангачари, М.С. (1949). «Забытая глава индуистской математики». Scripta Mathematica . 15 : 201–209.
13. Раджагопал, Ч.; Рангачари, М.С. (1951). «Об индуистском доказательстве ряда Грегори». Scripta Mathematica . 17 : 65–74.
14. Раджагопал, Ч.; Венкатараман, А. (1949). «Степенные ряды синуса и косинуса в индийской математике». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии (наука) . 15 : 1–13.
15. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1977). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
16. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1986). «О средневековой математике Кералы». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. doi :10.1007/BF00357622. S2CID  121678430.
17. K. Ramasubramanian, MD Srinivas & MS Sriram (1994) Модификация ранней индийской планетарной теории астрономами Кералы (ок. 1500 г. н.э.) и подразумеваемая гелиоцентрическая картина движения планет, Current Science 66 (10): 784–90
18. AK Bag (1979) Математика в древней и средневековой Индии . Варанаси/Дели: Chaukhambha Orientalia. стр. 285.
19. Раджу, CK (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе». Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. doi :10.1353/pew.2001.0045. S2CID  170341845.
20. Almeida, DF; John, JK; Zadorozhnyy, A. (2001). «Математика Кералы: ее возможная передача в Европу и последующие образовательные последствия». Журнал естественной геометрии . 20 : 77–104.
21. Голд, Д.; Пингри, Д. (1991). «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». Historia Scientiarum . 42 : 49–65.
22. Кац 1995, стр. 174.

Ссылки

• Брессо, Дэвид (2002), «Было ли исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal , 33 (1): 2–13, doi :10.2307/1558972, JSTOR  1558972.
• Гупта, Р.К. (1969) «Второй порядок интерполяции индийской математики», Индийский журнал истории науки 4: 92-94
• Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в Grattan-Guinness, Ivor (ред.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , т. 1, стр. 118–130, Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса, 976 страниц, ISBN 0-8018-7396-7.
• Джозеф, Г. Г. (2000), «Хребет павлина: неевропейские корни математики» , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine , 68 (3): 163–174, doi :10.2307/2691411, JSTOR  2691411.
• Парамешваран, С. (1992) «Повторное посещение выставочного зала Уиша», Mathematical Gazette 76, № 475, стр. 28–36
• Пингри, Дэвид (1992), «Элленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis...83..554P, doi : 10.1086/356288, JSTOR  234257, S2CID  68570164
• Плофкер, Ким (1996), «Пример метода секущей итеративной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века», Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006/hmat.1996.0026.
• Плофкер, Ким (2001), ««Ошибка» в индийском «приближении ряда Тейлора» к синусу», Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006/hmat.2001.2331.
• Плофкер, К. (20 июля 2007 г.), «Математика Индии», в Katz, Victor J. (ред.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 страниц (опубликовано в 2007 г.), стр. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• CK Raju. «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе», Philosophy East and West 51 , University of Hawaii Press, 2001.
• Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда для Лейбница, Грегори и Нилаканты», Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi :10.2307/2690896, JSTOR  2690896 ${\displaystyle \pi }$.
• Сарма, К. В.; Харихаран, С. (1991). «Юктибхаса Джьештадевы: книга обоснований индийской математики и астрономии – аналитическая оценка». Indian J. Hist. Sci . 26 (2): 185–207.
• Сингх, AN (1936), «Об использовании рядов в индийской математике», Osiris , 1 : 606–628, doi :10.1086/368443, JSTOR  301627, S2CID  144760421
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (2-е изд.), Берлин и Нью-Йорк: Springer, 568 страниц, ISBN 0-387-95336-1.
• Такки Вентури. «Письмо Маттео Риччи Петри Маффеи от 1 декабря 1581 года», Маттео Риччи SI, Le Lettre Dalla Cina 1580–1610 , том. 2, Мачерата, 1613 г.

Внешние ссылки

• Обзор индийской математики, архив истории математики Мактьютора , 2002.
• Индийская математика: восстановление равновесия, Архив истории математики Мактьютора , 2002.
• Керальская математика, архив истории математики MacTutor , 2002.
• Возможная передача керальской математики в Европу, Архив истории математики Мактьютора , 2002.
• «Индейцы жили на 250 лет раньше «открытия» Ньютона» phys.org, 2007