p-адическая оценка

Наибольшая степень числа p, делящая заданное число

В теории чисел p -адическая оценка или p -адический порядок целого числа n — это показатель наивысшей степени простого числа p, делящего n . Он обозначается . Эквивалентно, — это показатель степени, который появляется в разложении на простые множители числа . ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

P - адическая оценка является оценкой и приводит к аналогу обычного абсолютного значения . В то время как завершение рациональных чисел относительно обычного абсолютного значения приводит к действительным числам , завершение рациональных чисел относительно -адического абсолютного значения приводит к p -адическим числам . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Распределение натуральных чисел по их 2-адической оценке, помеченное соответствующими степенями двойки в десятичной системе счисления. Ноль имеет бесконечную оценку.

Определение и свойства

Пусть p — простое число .

Целые числа

P - адическое значение целого числа определяется как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

где обозначает множество натуральных чисел (включая ноль), а обозначает делимость на . В частности, является функцией . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m\mid n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \nu _{p}}$ ${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

Например, , , и так как . ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$ ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$ ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

Иногда это обозначение используется для обозначения . ^[3] ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

Если — положительное целое число, то ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$;

это следует непосредственно из . ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$

Рациональные числа

P -адическую оценку можно распространить на рациональные числа как функцию

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

определяется

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

Например, и поскольку . ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

Некоторые свойства:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Более того, если , то ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

где - минимум (т.е. меньшее из двух). ${\displaystyle \min }$

Формула дляп-адическое оценивание целых чисел

Формула Лежандра показывает, что . ${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}}}$

Для любого положительного целого числа n и т. д . ${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$

Поэтому, . ${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

Эту бесконечную сумму можно свести к . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

Эту формулу можно распространить на отрицательные целые значения, получив:

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

п-адическое абсолютное значение

P - адическое абсолютное значение (или p -адическая норма, ^[6] хотя и не норма в смысле анализа) на есть функция ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

определяется

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

Тем самым, для всех и например, и ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

Абсолютное значение p -адического числа удовлетворяет следующим свойствам.

Из мультипликативности следует, что для корней из единицы и , следовательно, также Из неархимедова неравенства треугольника следует субаддитивность . ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

Выбор основания p при возведении в степень не имеет значения для большинства свойств, но подтверждает формулу произведения: ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

где произведение берется по всем простым числам p и обычному абсолютному значению, обозначенному . Это следует из простого взятия разложения на простые множители : каждый простой множитель степени вносит свой обратный вклад в его p -адическое абсолютное значение, а затем обычное архимедово абсолютное значение отменяет их все. ${\displaystyle |r|_{0}}$ ${\displaystyle p^{k}}$

Метрическое пространство может быть образовано на множестве с ( неархимедовой , инвариантной относительно трансляции ) метрикой ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

определяется

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

Дополнение относительно этой метрики приводит к множеству p -адических чисел. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Смотрите также

• p- адическое число
• Оценка (алгебра)
• Архимедовы свойства
• Множественность (математика)
• Теорема Островского
• Формула Лежандра для -адической оценки ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n!}$
• Лемма о подъеме экспоненты для -адической оценки ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$

Ссылки

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. С. 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
2. Айрленд, К.; Розен, М. (2000). Классическое введение в современную теорию чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 3.^{[ ISBN отсутствует ]}
3. Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С.; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (5-е изд.). John Wiley & Sons . стр. 4. ISBN 0-471-62546-9.
4. с обычным отношением порядка, а именно

   ${\displaystyle \infty >n}$,

   и правила арифметических операций,

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$,

   на расширенной числовой прямой.
5. Хренников, А.; Нильссон, М. (2004). p -адическая детерминированная и случайная динамика . Kluwer Academic Publishers. стр. 9.^{[ ISBN отсутствует ]}
6. Murty, M. Ram (2001). Задачи аналитической теории чисел . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 206. Springer-Verlag, New York. pp. 147–148. doi :10.1007/978-1-4757-3441-6. ISBN 0-387-95143-1. МР  1803093.