Унитарная группа

Группа унитарных матриц

В математике унитарная группа степени n , обозначаемая U( n ), — это группа унитарных матриц размера n  ×  n с групповой операцией умножения матриц . Унитарная группа является подгруппой общей линейной группы GL( n , C ) , и она имеет в качестве подгруппы специальную унитарную группу , состоящую из тех унитарных матриц с определителем 1.

В простом случае n = 1 группа U(1) соответствует группе окружности , состоящей из всех комплексных чисел с абсолютным значением 1, при умножении. Все унитарные группы содержат копии этой группы.

Унитарная группа U( n ) является действительной группой Ли размерности n ^2. Алгебра Ли U( n ) состоит из n ×  n  косоэрмитовых матриц , причем скобка Ли задается коммутатором .

Общая унитарная группа (также называемая группой унитарных подобий ) состоит из всех матриц A, таких что A ^∗ A является ненулевым кратным единичной матрицы , и является просто произведением унитарной группы на группу всех положительных кратных единичной матрицы.

Унитарные группы могут быть также определены над полями, отличными от комплексных чисел. Гиперортогональная группа — это архаичное название для унитарной группы, особенно над конечными полями .

Характеристики

Поскольку определитель унитарной матрицы является комплексным числом с нормой 1 , определитель задает групповой гомоморфизм

${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).}$

Ядром этого гомоморфизма является множество унитарных матриц с определителем 1. Эта подгруппа называется специальной унитарной группой , обозначается SU( n ) . Тогда мы имеем короткую точную последовательность групп Ли:

${\displaystyle 1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Вышеуказанное отображение U( n ) в U(1) имеет сечение: мы можем рассматривать U(1) как подгруппу U( n ), которая является диагональной с e ^iθ в верхнем левом углу и 1 на остальной части диагонали. Следовательно, U( n ) является полупрямым произведением U (1) с SU( n ) .

Унитарная группа U( n ) не является абелевой для n > 1 . Центром U( n ) является множество скалярных матриц λI с λ ∈ U(1) ; это следует из леммы Шура . Тогда центр изоморфен U(1) . Поскольку центр U( n ) является 1 -мерной абелевой нормальной подгруппой U ( n ) , унитарная группа не является полупростой , но она редуктивна .

Топология

Унитарная группа U( n ) наделена относительной топологией как подмножество M( n , C ) , множества всех комплексных матриц размера n × n , которое само по себе гомеоморфно 2 n ² -мерному евклидову пространству .

Как топологическое пространство, U( n ) является и компактным , и связным . Чтобы показать, что U( n ) связно, напомним, что любая унитарная матрица A может быть диагонализирована другой унитарной матрицей S . Любая диагональная унитарная матрица должна иметь комплексные числа с абсолютным значением 1 на главной диагонали. Поэтому мы можем записать

${\displaystyle A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

Путь в U( n ) от тождества до A тогда задается как

${\displaystyle t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

Унитарная группа не является односвязной ; фундаментальная группа U( n ) является бесконечной циклической для всех n : ^[1]

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbf {Z} .}$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что указанное выше разбиение U( n ) как полупрямого произведения SU( n ) и U(1) индуцирует топологическую структуру произведения на U( n ), так что

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).}$

Теперь первая унитарная группа U(1) топологически является окружностью , которая, как хорошо известно, имеет фундаментальную группу , изоморфную Z , тогда как является односвязной. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

Определительное отображение det: U( n ) → U(1) индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, причем расщепление U(1) → U( n ) индуцирует обратное.

Группа Вейля U( n ) — это симметрическая группа S _n , действующая на диагональном торе путем перестановки элементов:

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)}$

Связанные группы

2-из-3 собственности

Унитарная группа представляет собой тройное пересечение ортогональной , комплексной и симплектической групп :

${\displaystyle \operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).}$

Таким образом, унитарную структуру можно рассматривать как ортогональную структуру, комплексную структуру и симплектическую структуру, которые должны быть совместимы (это означает, что в комплексной структуре и симплектической форме используется один и тот же J , и что этот J является ортогональным; запись всех групп в виде матричных групп фиксирует J (который является ортогональным) и обеспечивает совместимость).

Фактически, это пересечение любых двух из этих трех; таким образом, совместимая ортогональная и комплексная структура индуцирует симплектическую структуру и т. д. ^{[3] [4]}

На уровне уравнений это можно увидеть следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T}}JA=J\\\hline {\text{Complex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Orthogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{-1}\end{array}}}$

Любые два из этих уравнений подразумевают третье.

На уровне форм это можно увидеть, разложив эрмитову форму на ее действительную и мнимую части: действительная часть симметрична (ортогональна), а мнимая часть кососимметрична (симплектическая) — и они связаны комплексной структурой (которая является совместимостью). На почти кэлеровом многообразии можно записать это разложение как h = g + iω , где h — эрмитова форма, g — риманова метрика , i — почти комплексная структура , а ω — почти симплектическая структура .

С точки зрения групп Ли это можно частично объяснить следующим образом: O(2 n ) является максимальной компактной подгруппой GL (2 n , R ) , а U( n ) является максимальной компактной подгруппой как GL( n , C ) , так и Sp(2 n ). Таким образом, пересечение O(2 n ) ∩ GL( n , C ) или O(2 n ) ∩ Sp(2 n ) является максимальной компактной подгруппой обеих из них, поэтому U( n ). С этой точки зрения неожиданным является пересечение GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n ) .

Специальные унитарные и проективные унитарные группы

Так же, как ортогональная группа O( n ) имеет специальную ортогональную группу SO( n ) в качестве подгруппы и проективную ортогональную группу PO( n ) в качестве фактора, и проективную специальную ортогональную группу PSO( n ) в качестве подфактора , унитарная группа U( n ) имеет ассоциированную с ней специальную унитарную группу SU( n ), проективную унитарную группу PU( n ) и проективную специальную унитарную группу PSU( n ). Они связаны как с помощью коммутативной диаграммы справа; в частности, обе проективные группы равны: PSU( n ) = PU( n ) .

Вышеизложенное относится к классической унитарной группе (над комплексными числами) — для унитарных групп над конечными полями аналогичным образом получаются специальные унитарные и проективные унитарные группы, но в общем случае . ${\displaystyle \operatorname {PSU} \left(n,q^{2}\right)\neq \operatorname {PU} \left(n,q^{2}\right)}$

G-структура: почти эрмитова

На языке G-структур многообразие с U( n )-структурой является почти эрмитовым многообразием .

Обобщения

С точки зрения теории Ли , классическая унитарная группа является вещественной формой группы Стейнберга , которая является алгебраической группой , возникающей из комбинации автоморфизма диаграммы полной линейной группы (обращающего диаграмму Дынкина A _n , что соответствует транспонированию обратного) и полевого автоморфизма расширения C / R (а именно комплексного сопряжения ). Оба эти автоморфизма являются автоморфизмами алгебраической группы, имеют порядок 2 и коммутируют, а унитарная группа является неподвижными точками автоморфизма произведения, как алгебраическая группа. Классическая унитарная группа является вещественной формой этой группы, соответствующей стандартной эрмитовой форме Ψ, которая положительно определена. ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}$

Это можно обобщить несколькими способами:

• обобщение на другие эрмитовы формы дает неопределенные унитарные группы U( p , q ) ;
• расширение поля может быть заменено любой отделимой алгеброй степени 2, в частности расширением степени 2 конечного поля;
• обобщение на другие диаграммы дает другие группы типа Ли , а именно другие группы Стейнберга (в дополнение к ) и группы Сузуки-Ри ${\displaystyle {}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},}$ ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}$

  ${\displaystyle {}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);}$

• Рассматривая обобщенную унитарную группу как алгебраическую группу, можно взять ее точки над различными алгебрами.

Неопределенные формы

Аналогично неопределенным ортогональным группам , можно определить неопределенную унитарную группу , рассматривая преобразования, которые сохраняют заданную эрмитову форму, не обязательно положительно определенную (но обычно считающуюся невырожденной). Здесь мы работаем с векторным пространством над комплексными числами.

Для заданной эрмитовой формы Ψ на комплексном векторном пространстве V унитарная группа U(Ψ) — это группа преобразований, сохраняющих форму: преобразование M, такое что Ψ( Mv , Mw ) = Ψ( v , w ) для всех v , w ∈ V . В терминах матриц, представляя форму матрицей, обозначенной Φ, это говорит о том, что M ^∗ Φ M = Φ .

Так же, как и для симметричных форм над вещественными числами, эрмитовы формы определяются сигнатурой и все они унитарно конгруэнтны диагональной форме с p элементами 1 на диагонали и q элементами −1. Невырожденное предположение эквивалентно p + q = n . В стандартном базисе это представляется в виде квадратичной формы:

${\displaystyle \lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2}}$

и как симметричная форма:

${\displaystyle \Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.}$

Полученная группа обозначается U( p , q ) .

Конечные поля

Над конечным полем с q = p ^r элементами, F _q , существует единственное квадратичное поле расширения, F _{q ²} , с автоморфизмом порядка 2 ( r -я степень автоморфизма Фробениуса ). Это позволяет определить эрмитову форму на векторном пространстве F _{q ²} V , как F _q -билинейную карту такую, что и для c ∈ F _{q ²} . ^{[ необходимо разъяснение ]} Кроме того, все невырожденные эрмитовы формы на векторном пространстве над конечным полем унитарно конгруэнтны стандартной, представленной единичной матрицей; то есть любая эрмитова форма унитарно эквивалентна ${\displaystyle \alpha \colon x\mapsto x^{q}}$ ${\displaystyle \Psi \colon V\times V\to K}$ ${\displaystyle \Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)}$ ${\displaystyle \Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)}$

${\displaystyle \Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}}$

где представляют собой координаты w , v ∈ V в некотором конкретном F _{q ²} -базисе n -мерного пространства V (Grove 2002, Thm. 10.3). ${\displaystyle w_{i},v_{i}}$

Таким образом, можно определить (единственную) унитарную группу размерности n для расширения F _{q ²} / F _q , обозначаемую либо как U( n , q ), либо как U( n , q ² ) в зависимости от автора. Подгруппа унитарной группы, состоящая из матриц с определителем 1, называется специальной унитарной группой и обозначается SU( n , q ) или SU( n , q ² ) . Для удобства в этой статье будет использоваться соглашение U( n , q ² ) . Центр U( n , q ² ) имеет порядок q + 1 и состоит из скалярных матриц, которые являются унитарными, то есть тех матриц cI _V с . Центр специальной унитарной группы имеет порядок gcd( n , q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок, делящий n . Фактор унитарной группы по ее центру называется проективной унитарной группой , PU( n , q ² ) , а фактор специальной унитарной группы по ее центру — проективной специальной унитарной группой PSU( n , q ² ) . В большинстве случаев ( n > 1 и ( n , q ² ) ∉ {(2, 2 ² ), (2, 3 ² ), (3, 2 ² )} ), SU( n , q 2 ) является совершенной группой, а PSU( n , q ² ) — конечной простой группой ( Grove 2002 ^, Thm . 11.22 и 11.26). ${\displaystyle c^{q+1}=1}$

Сепарабельные алгебры степени 2

В более общем случае, если задано поле k и отделимая k - алгебра степени 2 K (которая может быть расширением поля, но не обязательно), можно определить унитарные группы относительно этого расширения.

Во-первых, существует единственный k -автоморфизм K , который является инволюцией и фиксирует точно k ( тогда и только тогда, когда a ∈ k ). ^[5] Это обобщает комплексное сопряжение и сопряжение конечных расширений полей степени 2 и позволяет определить эрмитовы формы и унитарные группы, как указано выше. ${\displaystyle a\mapsto {\bar {a}}}$ ${\displaystyle a={\bar {a}}}$

Алгебраические группы

Уравнения, определяющие унитарную группу, являются полиномиальными уравнениями над k (но не над K ): для стандартной формы Φ = I уравнения задаются в матрицах как A ^∗ A = I , где — сопряженное транспонирование . При другой форме они имеют вид A ^∗ Φ A = Φ . Таким образом, унитарная группа является алгебраической группой , точки которой над k -алгеброй R задаются как: ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.}$

Для расширения поля C / R и стандартной (положительно определенной) эрмитовой формы это дает алгебраическую группу с действительными и комплексными точками, заданную формулой:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}}$

На самом деле унитарная группа является линейной алгебраической группой .

Унитарная группа квадратичного модуля

Унитарная группа квадратичного модуля является обобщением линейной алгебраической группы U, только что определенной, которая включает в себя в качестве частных случаев множество различных классических алгебраических групп . Определение восходит к тезису Энтони Бака. ^[6]

Чтобы определить его, нужно сначала определить квадратичные модули:

Пусть R — кольцо с антиавтоморфизмом J , таким, что для всех r из R и . Определим ${\displaystyle \varepsilon \in R^{\times }}$ ${\displaystyle r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}}$

Пусть Λ ⊆ R — аддитивная подгруппа группы R , тогда Λ называется форм-параметром, если и . Пара ( R , Λ) такая, что R — кольцо, а Λ — форм-параметр, называется форм-кольцом . ${\displaystyle \Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text{max}}}$ ${\displaystyle r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda }$

Пусть M — R - модуль, а f — J- полуторалинейная форма на M (т. е. для любых и ). Определим и , тогда говорят, что f определяет Λ -квадратичную форму ( h , q ) на M . Квадратичный модуль над ( R , Λ) — это тройка ( M , h , q ) такая, что M — R -модуль, а ( h , q ) — Λ-квадратичную форму. ${\displaystyle f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle r,s\in R}$ ${\displaystyle h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R}$ ${\displaystyle q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda }$

Любому квадратичному модулю ( M , h , q ), определяемому J -полуторалинейной формой f на M над кольцом форм ( R , Λ), можно сопоставить унитарную группу

${\displaystyle U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.}$

Частный случай, когда Λ = Λ _max , с любой нетривиальной инволюцией J (т.е. и ε = −1) , возвращает «классическую» унитарную группу (как алгебраическую группу). ${\displaystyle J\neq id_{R},J^{2}=id_{R}}$

Полиномиальные инварианты

Унитарные группы являются автоморфизмами двух многочленов от действительных некоммутативных переменных:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}}$

Легко видеть, что это действительная и мнимая части комплексной формы . Два инварианта по отдельности являются инвариантами O(2 n ) и Sp(2 n ). Объединенные вместе, они составляют инварианты U( n ), которая является подгруппой обеих этих групп. Переменные должны быть некоммутативными в этих инвариантах, иначе второй многочлен тождественно равен нулю. ${\displaystyle Z{\overline {Z}}}$

Классификация пространства

Классифицирующее пространство для U( n ) описано в статье Классифицирующее пространство для U( n ) .

Смотрите также

• Специальная унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Ортогональная группа
• Симплектическая группа

Примечания

1. Холл 2015 Предложение 13.11
2. Холл 2015 Предложение 13.11
3. Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (второе изд.). Springer. стр. 225.
4. Баез, Джон. "Symplectic, Quaternionic, Fermionic" . Получено 1 февраля 2012 г.
5. Милн, Алгебраические группы и арифметические группы, стр. 103
6. Бак, Энтони (1969), «О модулях с квадратичными формами», Алгебраическая К-теория и ее геометрические приложения (редакторы — Мосс Р. М. Ф., Томас К. Б.) Заметки лекций по математике, т. 108, стр. 55-66, Springer. doi : 10.1007/BFb0059990

Ссылки

• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Graduate Studies in Mathematics , т. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2019-3, г-н  1859189
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666