Углы между плоскостями

Понятие в геометрии

Понятие углов между прямыми (на плоскости или в пространстве ), между двумя плоскостями ( двугранный угол ) или между прямой и плоскостью можно обобщить на произвольные измерения . Это обобщение впервые обсудил Камиль Жордан . ^[1] Для любой пары плоскостей в евклидовом пространстве произвольной размерности можно определить набор взаимных углов, которые инвариантны относительно изометрического преобразования евклидова пространства. Если плоскости не пересекаются, их кратчайшее расстояние — еще один инвариант. ^[1] Эти углы называются каноническими ^[2] или главными . ^[3] Понятие углов можно обобщить на пары плоскостей в конечномерном пространстве скалярного произведения над комплексными числами .

Определение Джордана

Пусть и будут плоскостями размерностей и в -мерном евклидовом пространстве . По определению, перенос или не изменяет их взаимные углы. Если и не пересекаются, они будут это делать при любом переносе , который отображает некоторую точку в в некоторую точку в . Поэтому можно предположить без потери общности, что и пересекаются. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Джордан показывает, что декартовы координаты в тогда могут быть определены таким образом, что и описываются, соответственно, наборами уравнений ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{\sigma },}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\tau },}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{\upsilon },}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{\alpha },}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$ ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0}$

и

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

с . Джордан называет эти координаты каноническими . По определению, углы — это углы между и . ${\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Неотрицательные целые числа ограничены ${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

Для того чтобы эти уравнения полностью определили пять неотрицательных целых чисел, помимо размерностей и и числа углов , должно быть задано неотрицательное целое число . Это число координат , соответствующие оси которых полностью лежат внутри и . Таким образом, целое число является размерностью . Набор углов может быть дополнен углами , чтобы указать, что имеет эту размерность. ${\displaystyle n,k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F\cap G}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\cap G}$

Доказательство Джордана применяется по существу без изменений, если заменить его на -мерное пространство внутреннего произведения над комплексными числами. (Для углов между подпространствами обобщение на обсуждается Галантаи и Хегедусом в терминах приведенной ниже вариационной характеристики. ^[4] ) ^[1] ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Углы между подпространствами

Теперь пусть и будут подпространствами -мерного пространства внутреннего произведения над действительными или комплексными числами. Геометрически и являются плоскостями, поэтому применимо определение Джордана взаимных углов. Когда для любой канонической координаты символ обозначает единичный вектор оси , векторы образуют ортонормированный базис для и векторы образуют ортонормированный базис для , где ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

Поскольку эти основные векторы связаны с каноническими координатами, их можно назвать каноническими .

Если обозначить канонические базисные векторы для и канонические базисные векторы для , то скалярное произведение обращается в нуль для любой пары и , за исключением следующих. ${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

При указанном выше порядке базисных векторов матрица скалярных произведений , таким образом, диагональна . Другими словами, если и являются произвольными ортонормированными базисами в и тогда действительные, ортогональные или унитарные преобразования из базиса в базис и из базиса в базис реализуют сингулярное разложение матрицы скалярных произведений . Диагональные элементы матрицы являются сингулярными значениями последней матрицы. В силу уникальности сингулярного разложения векторы тогда уникальны с точностью до действительного, ортогонального или унитарного преобразования среди них, а векторы и (и, следовательно, ) уникальны с точностью до равных действительных, ортогональных или унитарных преобразований, применяемых одновременно к наборам векторов, связанным с общим значением и к соответствующим наборам векторов (и, следовательно, к соответствующим наборам ). ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$ ${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$ ${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a'_{i})}$ ${\displaystyle (a_{i})}$ ${\displaystyle (b'_{i})}$ ${\displaystyle (b_{i})}$ ${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$

Сингулярное значение можно интерпретировать как соответствующее углам, введенным выше и связанным с , а сингулярное значение можно интерпретировать как соответствующее прямым углам между ортогональными пространствами и , где верхний индекс обозначает ортогональное дополнение . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \,0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\cap G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \cos \pi /2}$ ${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$ ${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$ ${\displaystyle \bot }$

Вариационная характеристика

Вариационная характеристика сингулярных значений и векторов подразумевает как частный случай вариационную характеристику углов между подпространствами и их связанными каноническими векторами. Эта характеристика включает в себя углы и , введенные выше, и упорядочивает углы по возрастанию значения. Ей можно придать форму следующего альтернативного определения. В этом контексте принято говорить о главных углах и векторах. ^[3] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Определение

Пусть будет внутренним произведением пространства. Если даны два подпространства с , то существует последовательность углов, называемых главными углами, первый из которых определяется как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$

${\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}$

где — скалярное произведение и индуцированная норма . Векторы и — соответствующие главные векторы. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle w_{1}}$

Остальные главные углы и векторы затем определяются рекурсивно с помощью

${\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

Это означает, что главные углы образуют набор минимизированных углов между двумя подпространствами, а главные векторы в каждом подпространстве ортогональны друг другу. ${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}$

Примеры

Геометрический пример

Геометрически подпространства — это плоскости (точки, линии, плоскости и т. д.), включающие начало координат, таким образом, любые два подпространства пересекаются по крайней мере в начале координат. Два двумерных подпространства и порождают набор из двух углов. В трехмерном евклидовом пространстве подпространства и либо идентичны, либо их пересечение образует линию. В первом случае оба . Во втором случае только , где векторы и находятся на линии пересечения и имеют одинаковое направление. Угол будет углом между подпространствами и в ортогональном дополнении к . Представляя угол между двумя плоскостями в 3D, интуитивно думаешь о наибольшем угле, . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$ ${\displaystyle \theta _{1}=0}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \theta _{2}>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \theta _{2}>0}$

Алгебраический пример

В 4-мерном действительном координатном пространстве R ⁴ пусть двумерное подпространство натянуто на и , и пусть двумерное подпространство натянуто на и с некоторыми действительными и такими, что . Тогда и являются, по сути, парой главных векторов, соответствующих углу с , а и являются главными векторами, соответствующими углу с ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}$ ${\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|<|b|}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}$

Чтобы построить пару подпространств с любым заданным набором углов в (или больше) размерном евклидовом пространстве , возьмите подпространство с ортонормированным базисом и дополните его до ортонормированного базиса евклидова пространства, где . Тогда ортонормированный базис другого подпространства будет, например, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle n\geq 2k}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

Основные свойства

• Если наибольший угол равен нулю, одно подпространство является подмножеством другого.
• Если наибольший угол равен , то существует по крайней мере один вектор в одном подпространстве, перпендикулярный другому подпространству. ${\displaystyle \pi /2}$
• Если наименьший угол равен нулю, то подпространства пересекаются по крайней мере по одной линии.
• Если наименьший угол равен , то подпространства ортогональны. ${\displaystyle \pi /2}$
• Число углов, равное нулю, представляет собой размерность пространства, в котором пересекаются два подпространства.

Расширенные свойства

• Нетривиальные (отличные от и ^[5] ) углы между двумя подпространствами такие же, как нетривиальные углы между их ортогональными дополнениями. ^{[6] [7]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /2}$
• Нетривиальные углы между подпространствами и и соответствующие нетривиальные углы между подпространствами и в сумме дают . ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$ ${\displaystyle \pi /2}$
• Углы между подпространствами удовлетворяют неравенству треугольника с точки зрения мажорирования и, таким образом, могут быть использованы для определения расстояния на множестве всех подпространств, превращая множество в метрическое пространство . ^[8]
• Синус углов между подпространствами удовлетворяет неравенству треугольника с точки зрения мажорирования и, таким образом, может использоваться для определения расстояния на множестве всех подпространств, превращая множество в метрическое пространство . ^[6] Например, синус наибольшего угла известен как зазор между подпространствами. ^[9]

Расширения

Понятие углов и некоторые вариационные свойства могут быть естественным образом расширены до произвольных скалярных произведений ^[10] и подпространств с бесконечными размерностями . ^[7]

Вычисление

Исторически главные углы и векторы впервые появляются в контексте канонической корреляции и изначально вычислялись с использованием SVD соответствующих ковариационных матриц. Однако, как впервые было отмечено в ^[3], каноническая корреляция связана с косинусом главных углов, который плохо обусловлен для малых углов, что приводит к очень неточному вычислению сильно коррелированных главных векторов в компьютерной арифметике конечной точности . Алгоритм на основе синуса ^[3] устраняет эту проблему, но создает новую проблему очень неточного вычисления сильно некоррелированных главных векторов, поскольку функция синуса плохо обусловлена ​​для углов, близких к π /2. Чтобы получить точные главные векторы в компьютерной арифметике для всего диапазона главных углов, комбинированная техника ^[10] сначала вычисляет все главные углы и векторы, используя классический подход на основе косинуса , а затем повторно вычисляет главные углы, меньшие π /4 , и соответствующие главные векторы, используя подход на основе синуса . ^[3] Комбинированная методика ^[10] реализована в библиотеках с открытым исходным кодом Octave ^[11] и SciPy ^[12] и внесена ^[13] и ^[14] в MATLAB .

Смотрите также

• Разложение по сингулярным значениям
• Каноническая корреляция

Ссылки

1. Джордан, К. (1875). «Эссе по геометрии в измерениях n {\displaystyle n}». Бык. Соц. Математика. Франция . 3 : 103.
2. Африат, SN (1957). «Ортогональные и косоугольные проекторы и характеристика пар векторных пространств». Math. Proc. Cambridge Philos. Soc . 53 (4): 800. doi :10.1017/S0305004100032916. S2CID  122049149.
3. Бьёрк, А.; Голуб, Г. Х. (1973). "Численные методы вычисления углов между линейными подпространствами". Math. Comp . 27 (123): 579. doi :10.2307/2005662. JSTOR  2005662.
4. Галантаи, А.; Хегедос, Кс. Дж. (2006). «Главные углы Джордана в комплексных векторных пространствах». Число. Приложение линейной алгебры . 13 (7): 589–598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525 . дои : 10.1002/nla.491. S2CID  13107400. 
5. Halmos, PR (1969), «Два подпространства», Trans. Amer. Math. Soc. , 144 : 381–389, doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251519-5
6. Князев, AV; Арджентати, ME (2006), "Мажоризация для изменений углов между подпространствами, значения Ритца и спектры Лапласа графа", SIAM J. Matrix Anal. Appl. , 29 (1): 15–32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770 , doi : 10.1137/060649070, S2CID  16987402 
7. Князев, АВ; Джуджунашвили, А.; Арджентати, М.Е. (2010), «Углы между бесконечномерными подпространствами с приложениями к методам Рэлея–Ритца и методам чередующихся проекторов», Журнал функционального анализа , 259 (6): 1323–1345, arXiv : 0705.1023 , doi : 10.1016/j.jfa.2010.05.018, S2CID  5570062
8. Цю, Л.; Чжан, И.; Ли, Ц.-К. (2005), «Унитарно инвариантные метрики в пространстве Грассмана» (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 27 (2): 507–531, doi :10.1137/040607605
9. Като, Д.Т. (1996), Теория возмущений линейных операторов , Springer, Нью-Йорк
10. Князев, AV; Арджентати, ME (2002), "Главные углы между подпространствами в скалярном произведении на основе A: алгоритмы и оценки возмущений", SIAM Journal on Scientific Computing , 23 (6): 2009–2041, Bibcode : 2002SJSC...23.2008K, CiteSeerX 10.1.1.73.2914 , doi : 10.1137/S1064827500377332 
11. Октавное функциональное подпространство
12. Функция линейной алгебры SciPy subspace_angles
13. Подпространство функций MATLAB FileExchange
14. Функция MATLAB FileExchange subspacea