Двенадцатиугольник

Многоугольник с 12 гранями

В геометрии двенадцатиугольником ( двенадцатиугольником ) называется любой двенадцатиугольник .

Правильный двенадцатиугольник

Три квадрата со сторонами R можно разрезать и перестроить в двенадцатиугольник с радиусом описанной окружности R , что дает доказательство без слов , что его площадь равна 3 R ²

Правильный двенадцатиугольник — это фигура со сторонами одинаковой длины и внутренними углами одинакового размера. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательную симметрию порядка 12. Правильный двенадцатиугольник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник , t{6}, или дважды усеченный треугольник , tt{3}. Внутренний угол при каждой вершине правильного двенадцатиугольника равен 150°.

Область

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной длиной a определяется по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}$

А в терминах апофемы r (см. также вписанную фигуру ) площадь равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}$

В терминах радиуса описанной окружности R площадь равна: ^[1]

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$

Размах S додекагона — это расстояние между двумя параллельными сторонами, равное удвоенной апофеме. Простая формула для площади (при заданной длине стороны и размахе):

${\displaystyle A=3aS}$

Это можно проверить с помощью тригонометрического соотношения:

${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$

Периметр

Периметр правильного двенадцатиугольника через радиус описанной окружности равен: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}$

Периметр в терминах апофемы равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}}$

Этот коэффициент в два раза больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади. ^[3]

Строительство двенадцатиугольника

Так как 12 = 2 ² × 3, то правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки :

Вскрытие

Изотоксальный додекагон

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разбить на m ( m -1)/2 параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного додекагона m = 6, и его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов с углом 30° и 6 узких ромбов с углом 15°. Это разложение основано на проекции многоугольника Петри 6-куба с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет число решений как 908, включая до 12-кратные вращения и хиральные формы в отражении.

Одним из способов использования блоков математических манипулятивных шаблонов является создание ряда различных двенадцатиугольников. ^[5] Они связаны с ромбическими разрезами, когда 3 ромба по 60° объединены в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделены на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия

Симметрии правильного двенадцатиугольника, как показано с цветами на ребрах и вершинах. Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ, диасимметрия) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикуляр, персимметрия), i с зеркальными линиями через вершины и ребра (изосимметрия), и g для вращательной (гиросимметрия). a1 обозначает асимметрию. Эти низшие симметрии допускают степени свободы при определении неправильных двенадцатиугольников. ^[6]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih ₁₂ , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий. Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Происшествие

Плиточный

Правильный двенадцатиугольник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками четырьмя способами:

Вот три примера периодических плоских мозаик , которые используют правильные двенадцатиугольники, определяемые конфигурацией их вершин :

Косой двенадцатиугольник

Правильный косой двенадцатиугольник, рассматриваемый как зигзагообразные ребра шестиугольной антипризмы .

Косой додекагон — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, но не лежащий на одной плоскости. Внутренность такого додекагона обычно не определена. Косой зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой додекагон является вершинно-транзитивным с равными длинами сторон. В 3-мерном пространстве это будет зигзагообразный косой додекагон, который можно увидеть в вершинах и боковых ребрах шестиугольной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ ,10], порядок 20. Додекаграммическая антипризма, s{2,24/5} и додекаграммическая скрещенная антипризма, s{2,24/7} также имеют правильные косые додекагоны.

Петри полигоны

Правильный додекагон является многоугольником Петри для многих многогранников более высокой размерности, рассматриваемых как ортогональные проекции на плоскости Коксетера . Примерами в 4 измерениях являются 24-ячейник , плосконосый 24-ячейник , 6-6 дуопризма , 6-6 дуопирамида . В 6 измерениях 6-куб , 6-ортоплекс , 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для большого 120-ячейника и большого звёздчатого 120-ячейника .

Связанные цифры

Додекаграмма — это 12-сторонний звездчатый многоугольник, представленный символом {12/n}. Существует один правильный звездчатый многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Существуют также три соединения: {12/2} сокращается до 2{6} как два шестиугольника , а {12/3} сокращается до 3{4} как три квадрата , {12/4} сокращается до 4{3} как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6{2} как шесть вырожденных двуугольников .

Более глубокие усечения правильного додекагона и додекаграмм могут производить изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы звездчатого многоугольника с равноотстоящими вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник является додекагоном, t{6}={12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, является додекаграммой: t{6/5}={12/5}. ^[7]

Примеры использования

В печатных заглавных буквах буквы E , H и X (и I в шрифте с засечками ) имеют двенадцатиугольные очертания. Крест — это двенадцатиугольник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet .

Церковь Вера-Крус в Сеговии

Правильный двенадцатиугольник занимает видное место во многих зданиях. Torre del Oro — двенадцатиугольная военная сторожевая башня в Севилье , на юге Испании , построенная династией Альмохадов . Церковь Вера-Крус начала тринадцатого века в Сеговии , Испания, имеет двенадцатиугольную форму. Другим примером являются Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло , Италия , построенные в I веке до нашей эры, с двумя двенадцатиугольными башнями, называемыми «Башнями Проперция».

Британская трехпенсовика 1942 года, реверс

К обычным двенадцатиугольным монетам относятся:

• Британская трехпенсовая монета с 1937 по 1971 год, когда она перестала быть законным платежным средством.
• Британская монета достоинством в один фунт , введенная в обращение в 2017 году.
• Австралийская монета в 50 центов
• Фиджийские 50 центов
• Тонганский 50-сенити , с 1974 года
• Соломоновы острова 50 центов
• Хорватский 25 кун
• Румынские 5000 леев , 2001–2005 гг.
• Канадский пенни , 1982–1996
• Южновьетнамский 20 донгов , 1968–1975 гг.
• Замбийский 50 нгви , 1969–1992 гг.
• Малавийская 50 тамбала , 1986–1995 гг.
• Мексиканские 20 сентаво , 1992-2009 гг.

Смотрите также

• Двенадцатиугольное число
• Додекаэдр — любой многогранник с 12 гранями.
• Додекаграмма

Примечания

1. См. также геометрическое доказательство Кюршака в Демонстрационном проекте Вольфрама.
2. Плоская геометрия: эксперимент, классификация, открытие, применение Кларенса Эддисона Уиллиса Б., (1922) Blakiston's Son & Company, стр. 249 [1]
3. Элементы геометрии Джона Плейфера , Уильяма Уоллеса, Джона Дэвидсона, (1814) Белл и Брэдфьют, стр. 243 [2]
4. Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
5. "Doin' Da' Dodeca'" на mathforum.org
6. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)
7. Более светлая сторона математики: Труды конференции памяти Эжена Стренса по занимательной математике и ее истории, (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Додекагон». MathWorld .
• Плитка и теорема Кюршака
• Определение и свойства двенадцатиугольника С интерактивной анимацией
• Правильный двенадцатиугольник в классе с использованием шаблонных блоков