В геометрии 4 измерений или выше двойная призма [1] или дуопризма — это многогранник, полученный в результате декартова произведения двух многогранников, каждый из которых имеет два измерения или больше. Декартово произведение n-мерного многогранника и m-мерного многогранника — это ( n + m ) -мерный многогранник, где n и m — размерности 2 ( полигон ) или больше.
Дуопризмы наименьшей размерности существуют в 4-мерном пространстве как 4-многогранники, являющиеся декартовым произведением двух многоугольников в 2-мерном евклидовом пространстве . Точнее, это множество точек:
где P 1 и P 2 — множества точек, содержащихся в соответствующих многоугольниках. Такая дуопризма является выпуклой , если оба основания выпуклые, и ограничена призматическими ячейками .
Четырехмерные дуопризмы считаются призматическими 4-многогранниками. Дуопризма, построенная из двух правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, является однородной дуопризмой .
Дуопризма, состоящая из n -полигонов и m -полигонов, называется путем добавления префикса «дуопризма» к именам базовых многоугольников, например: треугольно-пентагональная дуопризма является декартовым произведением треугольника и пятиугольника.
Альтернативный, более краткий способ указания конкретной дуопризмы — добавление к ней префиксов с числами, обозначающими базовые многоугольники, например: 3,5-дуопризма для треугольно-пентагональной дуопризмы.
Другие альтернативные названия:
Термин дуопризма был придуман Джорджем Ольшевским, сокращенно от double prism . Джон Хортон Конвей предложил похожее название пропризма для призмы произведения , декартова произведения двух или более многогранников размерности не менее двух. Дуопризмы — это пропризма, образованные ровно из двух многогранников.
4-мерная однородная дуопризма создается произведением правильного n -стороннего многоугольника и правильного m -стороннего многоугольника с одинаковой длиной ребра. Она ограничена n m -угольными призмами и m n -угольными призмами. Например, декартово произведение треугольника и шестиугольника является дуопризмой, ограниченной 6 треугольными призмами и 3 шестиугольными призмами.
m - угольные призмы прикреплены друг к другу через свои m -угольные грани и образуют замкнутую петлю. Аналогично, n -угольные призмы прикреплены друг к другу через свои n -угольные грани и образуют вторую петлю, перпендикулярную первой. Эти две петли прикреплены друг к другу через свои квадратные грани и взаимно перпендикулярны.
Когда m и n стремятся к бесконечности, соответствующие дуопризмы приближаются к дуоцилиндру . Таким образом, дуопризмы полезны как неквадратичные приближения дуоцилиндра.
Перспективная проекция с центром в ячейке делает дуопризму похожей на тор с двумя наборами ортогональных ячеек: p-угольными и q-угольными призмами.
Дуопризмы pq идентичны дуопризмам qp, но выглядят по-разному в этих проекциях, поскольку они проецируются в центр разных ячеек.
Вершинно-центрированные ортогональные проекции pp-дуопризм проецируются в симметрию [2n] для нечетных степеней и [n] для четных степеней. В центр проецируется n вершин. Для 4,4 это представляет плоскость Коксетера A 3 тессеракта . Проекция 5,5 идентична трехмерному ромбическому триаконтаэдру .
Правильный косой многогранник , {4,4|n}, существует в 4-мерном пространстве как n 2 квадратных граней дуопризмы nn , использующей все 2n 2 ребер и n 2 вершин. 2 n n -угольных грани можно рассматривать как удаленные. (косые многогранники можно рассматривать таким же образом с помощью дуопризмы nm, но они не являются правильными .)
Подобно антипризмам как чередующимся призмам , существует набор 4-мерных дуоантипризм: 4-многогранников , которые могут быть созданы операцией чередования , примененной к дуопризме. Чередующиеся вершины создают нерегулярные тетраэдрические ячейки, за исключением особого случая, дуопризмы 4-4 ( тессеракта ), которая создает равномерную (и правильную) 16-ячейку . 16-ячейка является единственной выпуклой однородной дуоантипризмой.
Дуопризмы
, t 0,1,2,3 {p,2,q}, можно заменить на
, ht 0,1,2,3 {p,2,q}, "дуоантипризмы", которые не могут быть сделаны однородными в общем случае. Единственное выпуклое однородное решение - это тривиальный случай p=q=2, который является конструкцией тессеракта с более низкой симметрией , t 0,1,2,3 {2,2,2}, с его чередованием как 16-клеточный ,, с{2}с{2}.
Единственное невыпуклое равномерное решение — p=5, q=5/3, ht 0,1,2,3 {5,2,5/3},
, построенный из 10 пентагональных антипризм , 10 пентаграммных скрещенных антипризм и 50 тетраэдров, известный как большая дуоантипризма (гудап). [2] [3]
Также родственны дитетраголтриаты или октаголтриаты, образованные взятием восьмиугольника ( считающегося дитетрагоном или усеченным квадратом) в p-угольник. Восьмиугольник p-угольника можно четко определить, если предположить, что восьмиугольник является выпуклой оболочкой двух перпендикулярных прямоугольников ; тогда p-угольный дитетраголтриат является выпуклой оболочкой двух pp дуопризм (где p-угольники подобны, но не конгруэнтны, имея разные размеры) в перпендикулярных ориентациях. Полученный полихор является изогональным и имеет 2p p-угольных призм и p 2 прямоугольных трапеций ( куб с симметрией D 2d ), но не может быть сделан однородным. Вершинная фигура представляет собой треугольную бипирамиду .
Подобно дуоантипризмам как чередующимся дуопризмам, существует набор p-угольных двойных антипризмоидов, созданных чередованием 2p-угольных дитетраголтриатов, создающих p-угольные антипризмы и тетраэдры, при этом переосмысливая некореальмические треугольные бипирамидальные пространства как два тетраэдра. Полученная фигура, как правило, не является однородной, за исключением двух случаев: большой антипризмы и ее сопряженного пентаграммического двойного антипризмоида (с p = 5 и 5/3 соответственно), представленного как чередование декагонального или декаграммического дитетраголтриата. Вершинная фигура является вариантом сфенокороны .
Дуопризма 3-3 , -1 22 , является первой в размерной серии однородных многогранников, выраженной Коксетером как серия k 22 . Дуопризма 3-3 является вершинной фигурой для второй, двойного выпрямленного 5-симплекса . Четвертая фигура является евклидовыми сотами, 2 22 , а последняя - паракомпактными гиперболическими сотами, 3 22 , с группой Коксетера [3 2,2,3 ], . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершинной фигуры .
