Частица-в-ячейке

Математический метод, используемый для решения определенного класса уравнений в частных производных.

В физике плазмы метод частиц в ячейках ( PIC ) относится к технике, используемой для решения определенного класса уравнений в частных производных . В этом методе отдельные частицы (или элементы жидкости) в лагранжевой системе отслеживаются в непрерывном фазовом пространстве , тогда как моменты распределения, такие как плотности и токи, вычисляются одновременно в эйлеровых (стационарных) точках сетки .

Методы PIC использовались уже в 1955 году, ^[1] даже до того, как появились первые компиляторы Fortran . Метод приобрел популярность для моделирования плазмы в конце 1950-х и начале 1960-х годов благодаря Бунеману , Доусону , Хокни, Бердсоллу, Морзе и другим. В приложениях физики плазмы метод сводится к отслеживанию траекторий заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных (или электростатических) полях, вычисляемых на фиксированной сетке. ^[2]

Технические аспекты

Для многих типов проблем классический метод PIC, изобретенный Бунеманом, Доусоном, Хокни, Бердсоллом, Морзе и другими, относительно интуитивен и прост в реализации. Вероятно, это во многом объясняет его успех, особенно для моделирования плазмы, для которого метод обычно включает следующие процедуры:

• Интегрирование уравнений движения.
• Интерполяция заряда и источника тока в сетку поля.
• Расчет полей по узлам сетки.
• Интерполяция полей из сетки в местоположения частиц.

Модели, включающие взаимодействие частиц только через средние поля, называются PM (частица-сетка). Модели, включающие прямое бинарное взаимодействие, называются PP (частица-частица). Модели с обоими типами взаимодействия называются PP-PM или P ³ M .

С первых дней было признано, что метод PIC подвержен ошибкам из-за так называемого шума дискретных частиц . ^[3] Эта ошибка носит статистический характер, и на сегодняшний день она остается менее изученной, чем традиционные методы с фиксированной сеткой, такие как эйлеровы или полулагранжевы схемы.

Современные геометрические алгоритмы PIC основаны на совершенно иной теоретической структуре. Эти алгоритмы используют инструменты дискретного многообразия, интерполирующие дифференциальные формы и канонические или неканонические симплектические интеграторы для гарантии калибровочной инвариантности и сохранения заряда, энергии-импульса и, что более важно, бесконечномерной симплектической структуры системы частица-поле. ^{[4] [5]} Эти желаемые особенности приписываются тому факту, что геометрические алгоритмы PIC построены на более фундаментальной полевой теоретико-структурной структуре и напрямую связаны с идеальной формой, т. е. вариационным принципом физики.

Основы метода моделирования плазмы PIC

Внутри сообщества исследователей плазмы изучаются системы различных видов (электроны, ионы, нейтралы, молекулы, пылевые частицы и т. д.). Таким образом, набор уравнений, связанных с кодами PIC, представляет собой силу Лоренца как уравнение движения, решаемое в так называемом толкателе или движителе частиц кода, и уравнения Максвелла, определяющие электрические и магнитные поля, вычисляемые в решателе (поля) .

Суперчастицы

Реальные изучаемые системы часто чрезвычайно велики с точки зрения числа содержащихся в них частиц. Для того чтобы сделать моделирование эффективным или вообще возможным, используются так называемые суперчастицы . Суперчастица (или макрочастица ) — это вычислительная частица, которая представляет множество реальных частиц; это могут быть миллионы электронов или ионов в случае моделирования плазмы или, например, вихревой элемент в моделировании жидкости. Разрешается изменять масштаб числа частиц, поскольку ускорение от силы Лоренца зависит только от отношения заряда к массе, поэтому суперчастица будет следовать той же траектории, что и реальная частица.

Число реальных частиц, соответствующих суперчастице, должно быть выбрано таким образом, чтобы можно было собрать достаточную статистику о движении частицы. Если существует значительная разница между плотностью различных видов в системе (например, между ионами и нейтралами), для них можно использовать отдельные соотношения реальных и суперчастиц.

Движитель частиц

Даже в случае суперчастиц число моделируемых частиц обычно очень велико (> 10 ⁵ ), и часто движитель частиц является наиболее трудоемкой частью PIC, поскольку он должен быть сделан для каждой частицы отдельно. Таким образом, от толкателя требуется высокая точность и скорость, и много усилий тратится на оптимизацию различных схем.

Схемы, используемые для перемещения частиц, можно разделить на две категории: неявные и явные решатели. В то время как неявные решатели (например, неявная схема Эйлера) вычисляют скорость частиц из уже обновленных полей, явные решатели используют только старую силу из предыдущего временного шага, и поэтому они проще и быстрее, но требуют меньшего временного шага. В моделировании PIC используется метод leapfrog , явный метод второго порядка. ^[6] Также используется алгоритм Бориса , который отменяет магнитное поле в уравнении Ньютона-Лоренца. ^{[7] [8]}

Для плазменных приложений метод «чехарды» принимает следующую форму:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k}}{\Delta t}}=\mathbf {v} _{k+1/2},}$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}-\mathbf {v} _{k-1/2}}{\Delta t}}={\frac {q}{m}}\left(\mathbf {E} _{k}+{\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}+\mathbf {v} _{k-1/2}}{2}}\times \mathbf {B} _{k}\right),}$

где нижний индекс относится к «старым» величинам из предыдущего временного шага, к обновленным величинам из следующего временного шага (т.е. ), а скорости рассчитываются между обычными временными шагами . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t}$ ${\displaystyle t_{k}}$

Уравнения схемы Бориса, которые подставляются в приведенные выше уравнения, следующие:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {x} _{k}+{\Delta t}\mathbf {v} _{k+1/2},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k+1/2}=\mathbf {u} '+q'\mathbf {E} _{k},}$

с

${\displaystyle \mathbf {u} '=\mathbf {u} +(\mathbf {u} +(\mathbf {u} \times \mathbf {h} ))\times \mathbf {s} ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} _{k-1/2}+q'\mathbf {E} _{k},}$

${\displaystyle \mathbf {h} =q'\mathbf {B} _{k},}$

${\displaystyle \mathbf {s} =2\mathbf {h} /(1+h^{2})}$

и . ${\displaystyle q'=\Delta t\times (q/2m)}$

Благодаря своей превосходной долговременной точности алгоритм Бориса является фактическим стандартом для продвижения заряженной частицы. Было установлено, что превосходная долговременная точность нерелятивистского алгоритма Бориса обусловлена ​​тем фактом, что он сохраняет объем фазового пространства, хотя и не является симплектическим. Глобальная граница погрешности энергии, обычно связанная с симплектическими алгоритмами, по-прежнему сохраняется для алгоритма Бориса, что делает его эффективным алгоритмом для многомасштабной динамики плазмы. Также было показано ^[9] , что можно улучшить релятивистский толчок Бориса, чтобы сделать его как сохраняющим объем, так и имеющим решение с постоянной скоростью в скрещенных полях E и B.

Решатель поля

Наиболее часто используемые методы решения уравнений Максвелла (или, в более общем смысле, уравнений в частных производных (УЧП)) относятся к одной из следующих трех категорий:

• Методы конечных разностей (FDM)
• Методы конечных элементов (МКЭ)
• Спектральные методы

С помощью FDM непрерывная область заменяется дискретной сеткой точек, на которой вычисляются электрические и магнитные поля. Затем производные аппроксимируются с помощью разностей между соседними значениями в точках сетки, и, таким образом, уравнения в частных производных превращаются в алгебраические уравнения.

Используя FEM, непрерывная область делится на дискретную сетку элементов. PDE рассматриваются как задача на собственные значения , и первоначально пробное решение вычисляется с использованием базисных функций , локализованных в каждом элементе. Окончательное решение затем получается путем оптимизации до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Также спектральные методы, такие как быстрое преобразование Фурье (БПФ), преобразуют уравнения частных производных в задачу собственных значений, но на этот раз базисные функции имеют высокий порядок и определены глобально по всей области. Сама область в этом случае не дискретизируется, она остается непрерывной. Опять же, пробное решение находится путем вставки базисных функций в уравнение собственных значений, а затем оптимизируется для определения наилучших значений начальных пробных параметров.

Взвешивание частиц и полей

Название «частица в ячейке» происходит от способа, которым плазменные макровеличины ( плотность чисел , плотность тока и т. д.) назначаются частицам моделирования (т. е. взвешивание частиц ). Частицы могут располагаться в любом месте непрерывной области, но макровеличины вычисляются только в узлах сетки, как и поля. Чтобы получить макровеличины, предполагается, что частицы имеют заданную «форму», определяемую функцией формы

${\displaystyle S(\mathbf {x} -\mathbf {X} ),}$

где — координата частицы и точки наблюдения. Возможно, самым простым и наиболее используемым выбором для функции формы является так называемая схема «облако в ячейке » (CIC), которая является схемой взвешивания первого порядка (линейной). Какой бы ни была схема, функция формы должна удовлетворять следующим условиям: ^[10] изотропия пространства, сохранение заряда и возрастающая точность (сходимость) для членов более высокого порядка. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Поля, полученные с помощью решателя поля, определяются только в узлах сетки и не могут быть использованы непосредственно в движителе частиц для расчета силы, действующей на частицы, а должны быть интерполированы с помощью весового коэффициента поля :

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )=\sum _{i}\mathbf {E} _{i}S(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} ),}$

где нижний индекс обозначает точку сетки. Чтобы гарантировать, что силы, действующие на частицы, получены самосогласованно, способ вычисления макроколичеств из положений частиц в точках сетки и интерполяции полей из точек сетки в положения частиц также должны быть согласованными, поскольку они оба появляются в уравнениях Максвелла . Прежде всего, схема интерполяции поля должна сохранять импульс . Этого можно достичь, выбрав одну и ту же схему взвешивания для частиц и полей и обеспечив соответствующую пространственную симметрию (т. е. отсутствие самосилы и выполнение закона действия-противодействия ) решателя поля в то же время ^[10] ${\displaystyle i}$

Столкновения

Поскольку решатель поля должен быть свободен от собственных сил, внутри ячейки поле, создаваемое частицей, должно уменьшаться с уменьшением расстояния от частицы, и, следовательно, межчастичные силы внутри ячеек недооцениваются. Это можно уравновесить с помощью кулоновских столкновений между заряженными частицами. Моделирование взаимодействия для каждой пары большой системы было бы слишком затратным с точки зрения вычислений, поэтому вместо этого было разработано несколько методов Монте-Карло . Широко используемым методом является модель бинарных столкновений ^[11] , в которой частицы группируются в соответствии с их ячейкой, затем эти частицы случайным образом объединяются в пары, и, наконец, пары сталкиваются.

В реальной плазме могут играть роль многие другие реакции, начиная от упругих столкновений, таких как столкновения между заряженными и нейтральными частицами, и заканчивая неупругими столкновениями, такими как столкновение электрон-нейтральной ионизации, и заканчивая химическими реакциями; каждая из них требует отдельного рассмотрения. Большинство моделей столкновений, обрабатывающих столкновения заряженных и нейтральных частиц, используют либо прямую схему Монте-Карло , в которой все частицы несут информацию о вероятности их столкновения, либо схему нулевого столкновения ^{[12] [13]} , которая не анализирует все частицы, а вместо этого использует максимальную вероятность столкновения для каждого заряженного вида.

Условия точности и стабильности

Как и в каждом методе моделирования, в PIC также необходимо правильно выбрать временной шаг и размер сетки, чтобы интересующие нас явления масштаба времени и длины были правильно разрешены в задаче. Кроме того, временной шаг и размер сетки влияют на скорость и точность кода.

Для моделирования электростатической плазмы с использованием явной схемы временной интеграции (например, leapfrog, которая используется чаще всего) необходимо выполнить два важных условия относительно размера сетки и шага по времени , чтобы обеспечить устойчивость решения: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta x<3.4\lambda _{D},}$

${\displaystyle \Delta t\leq 2\omega _{pe}^{-1},}$

которое можно вывести, рассматривая гармонические колебания одномерной немагнитной плазмы. Последнее условие строго требуется, но практические соображения, связанные с сохранением энергии, предполагают использование гораздо более строгого ограничения, где множитель 2 заменяется числом на порядок меньшим. Типичным является использование . ^{[10] [14]} Неудивительно, что естественный масштаб времени в плазме задается обратной плазменной частотой , а масштаб длины — длиной Дебая . ${\displaystyle \Delta t\leq 0.1\omega _{pe}^{-1},}$ ${\displaystyle \omega _{pe}^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$

Для явного моделирования электромагнитной плазмы временной шаг также должен удовлетворять условию CFL :

${\displaystyle \Delta t<\Delta x/c,}$

где , а - скорость света. ${\displaystyle \Delta x\sim \lambda _{D}}$ ${\displaystyle c}$

Приложения

В физике плазмы PIC-моделирование успешно применялось для изучения лазерно-плазменных взаимодействий, ускорения электронов и нагрева ионов в авроральной ионосфере , магнитогидродинамики , магнитного пересоединения , а также градиента температуры ионов и других микронеустойчивостей в токамаках , а также вакуумных разрядах и пылевой плазме .

Гибридные модели могут использовать метод PIC для кинетической обработки некоторых видов, в то время как другие виды (которые являются максвелловскими ) моделируются с помощью жидкостной модели.

Моделирование методом PIC также применялось за пределами физики плазмы к проблемам механики твердого тела и жидкости . ^{[15] [16]}

Вычислительные приложения с использованием электромагнитных частиц в ячейках

Смотрите также

• Моделирование плазмы
• Многофазный метод частиц в ячейках

Ссылки

1. Харлоу, Фрэнсис Х. (1955). Метод машинного расчета для гидродинамических задач (отчет). Лос-Аламосская научная лаборатория Калифорнийского университета.
2. Доусон, Дж. М. (1983). «Моделирование частиц плазмы». Обзоры современной физики . 55 (2): 403–447. Bibcode : 1983RvMP...55..403D. doi : 10.1103/RevModPhys.55.403.
3. Хидео Окуда (1972). «Нефизические шумы и нестабильности в моделировании плазмы из-за пространственной сетки». Журнал вычислительной физики . 10 (3): 475–486. Bibcode :1972JCoPh..10..475O. doi :10.1016/0021-9991(72)90048-4.
4. Qin, H.; Liu, J.; Xiao, J.; et al. (2016). "Канонический симплектический метод частиц в ячейках для долгосрочного крупномасштабного моделирования системы Власова-Максвелла". Nuclear Fusion . 56 (1): 014001. arXiv : 1503.08334 . Bibcode : 2016NucFu..56a4001Q. doi : 10.1088/0029-5515/56/1/014001. S2CID  29190330.
5. Xiao, J.; Qin, H.; Liu, J.; et al. (2015). "Явные неканонические симплектические алгоритмы частиц в ячейках высокого порядка для систем Власова-Максвелла". Physics of Plasmas . 22 (11): 12504. arXiv : 1510.06972 . Bibcode : 2015PhPl...22k2504X. doi : 10.1063/1.4935904. S2CID  12893515.
6. Birdsall, Charles K.; A. Bruce Langdon (1985). Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования . McGraw-Hill. ISBN 0-07-005371-5.
7. Борис, Дж. П. (ноябрь 1970 г.). «Релятивистское моделирование плазмы — оптимизация гибридного кода». Труды 4-й конференции по численному моделированию плазмы, Военно-морская исследовательская лаборатория, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 3–67.
8. Qin, H.; et al. (2013). "Почему алгоритм Бориса так хорош?" (PDF) . Physics of Plasmas . 20 (5): 084503. Bibcode : 2013PhPl...20h4503Q. doi : 10.1063/1.4818428.
9. Higuera, Adam V.; John R. Cary (2017). «Интеграция второго порядка с сохранением структуры траекторий релятивистских заряженных частиц в электромагнитных полях». Physics of Plasmas . 24 (5): 052104. Bibcode : 2004JCoPh.196..448N. doi : 10.1016/j.jcp.2003.11.004.
10. Tskhakaya, David (2008). "Глава 6: Метод частиц в ячейках". В Fehske, Holger; Schneider, Ralf; Weiße, Alexander (ред.). Computational Many-Particle Physics . Lecture Notes in Physics 739. Vol. 739. Springer, Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-540-74686-7 (неактивен 2024-05-03). ISBN 978-3-540-74685-0.{{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на май 2024 г. ( ссылка )
11. Такизука, Томонор; Абэ, Хиротада (1977). «Модель бинарных столкновений для моделирования плазмы с помощью кода частиц». Журнал вычислительной физики . 25 (3): 205–219. Bibcode : 1977JCoPh..25..205T. doi : 10.1016/0021-9991(77)90099-7.
12. Birdsall, CK (1991). "Моделирование заряженных частиц в ячейках, плюс столкновения Монте-Карло с нейтральными атомами, PIC-MCC". IEEE Transactions on Plasma Science . 19 (2): 65–85. Bibcode : 1991ITPS...19...65B. doi : 10.1109/27.106800. ISSN  0093-3813.
13. Vahedi, V.; Surendra, M. (1995). "Модель столкновения Монте-Карло для метода частиц в ячейке: применение к разрядам аргона и кислорода". Computer Physics Communications . 87 (1–2): 179–198. Bibcode :1995CoPhC..87..179V. doi :10.1016/0010-4655(94)00171-W. ISSN  0010-4655.
14. Tskhakaya, D.; Matyash, K.; Schneider, R.; Taccogna, F. (2007). «Метод частиц в ячейках». Вклад в физику плазмы . 47 (8–9): 563–594. Bibcode :2007CoPP...47..563T. doi :10.1002/ctpp.200710072. S2CID  221030792.
15. Лю, GR; МБ Лю (2003). Гидродинамика сглаженных частиц: метод частиц без сеток . World Scientific. ISBN 981-238-456-1.
16. Бирн, Ф. Н.; Эллисон, МА; Рид, Дж. Х. (1964). «Метод вычисления частиц в ячейках для динамики жидкости». Methods Comput. Phys . 3 (3): 319–343. Bibcode : 1964SSRv....3..319B. doi : 10.1007/BF00230516 (неактивен 2024-05-03). S2CID  121512234.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на май 2024 г. ( ссылка )
17. Шалаби, Мохамад; Бродерик, Эвери Э.; Чанг, Филипп; Пфроммер, Кристоф; Ламбертс, Астрид; Пухвайн, Эвальд (23 мая 2017 г.). "SHARP: A Spatially Higher-order, Relativistic Particle-in-Cell Code". The Astrophysical Journal . 841 (1): 52. arXiv : 1702.04732 . Bibcode : 2017ApJ...841...52S. doi : 10.3847/1538-4357/aa6d13 . S2CID  119073489.
18. "ALaDyn". ALaDyn . Получено 1 декабря 2017 .
19. "ALaDyn: Высокоточный PIC-код для уравнений Максвелла-Власова". GitHub.com . 18 ноября 2017 г. . Получено 1 декабря 2017 г. .
20. "EPOCH". epochpic . Получено 14 марта 2024 г. .
21. "EPOCH". GitHub.com . Получено 14 марта 2024 г. .
22. "Документация FBPIC — Документация FBPIC 0.6.0". fbpic.github.io . Получено 1 декабря 2017 г. .
23. "fbpic: Спектральный, квази-3D код частиц в ячейках для CPU и GPU". GitHub.com . 8 ноября 2017 г. . Получено 1 декабря 2017 г. .
24. "Orbital ATK". Mrcwdc.com . Получено 1 декабря 2017 г. .
25. "Orbital ATK". Mrcwdc.com . Получено 1 декабря 2017 г. .
26. "OSIRIS с открытым исходным кодом - OSIRIS". osiris-code.github.io . Получено 13 декабря 2023 г. .
27. "osiris-code/osiris: OSIRIS Particle-In-Cell code". GitHub.com . Получено 13 декабря 2023 г. .
28. "PhotonPlasma с открытым исходным кодом". https://bitbucket.org/thaugboelle/ppcode/src/master/ . Получено 7 октября 2024 г. . {{cite web}}: Внешняя ссылка в |website=( помощь )
29. "PhotonPlasma с открытым исходным кодом". https://bitbucket.org/thaugboelle/ppcode/src/master/ . Получено 7 октября 2024 г. . {{cite web}}: Внешняя ссылка в |website=( помощь )
30. "Piccante". Aladyn.github.io . Получено 1 декабря 2017 г. .
31. "piccante: пряный массивно-параллельный полностью релятивистский электромагнитный 3D-код частиц в ячейках". GitHub.com . 14 ноября 2017 г. . Получено 1 декабря 2017 г. .
32. "ПИКЛас".
33. "piclas-framework/piclas". GitHub .
34. "Моделирование команды Fraunhofer IST" . ist.fraunhofer.de . Проверено 7 августа 2024 г.
35. "PIConGPU - Моделирование частиц в ячейках для экзафлопсной эры - Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf, HZDR" . picongpu.hzdr.de . Проверено 1 декабря 2017 г.
36. "ComputationalRadiationPhysics / PIConGPU — GitHub". GitHub.com . 28 ноября 2017 . Получено 1 декабря 2017 .
37. "Smilei — Код частиц в ячейках для моделирования плазмы". Maisondelasimulation.fr . Получено 1 декабря 2017 г. .
38. "SmileiPIC / Smilei — GitHub". GitHub.com . 29 октября 2019 . Получено 29 октября 2019 .
39. Маркидис, Стефано; Лапента, Джованни; Ризван-уддин (17 октября 2009 г.). «Многомасштабное моделирование плазмы с помощью iPIC3D». Математика и компьютеры в моделировании . 80 (7): 1509. doi :10.1016/j.matcom.2009.08.038.
40. "iPic3D — GitHub". GitHub.com . 31 января 2020 г. . Получено 31 января 2020 г. .
41. Дреер, Маттиас. "Релятивистская лазерная плазма". 2.mpq.mpg.de . Получено 1 декабря 2017 г. .
42. "Tristan v2 wiki | Tristan v2". princetonuniversity.github.io . Получено 2022-12-15 .
43. "Публичная страница Tristan v2 на GitHub". GitHub .
44. "QED Module | Tristan v2". princetonuniversity.github.io . Получено 2022-12-15 .
45. "Тристан v2: Citation.md" . Гитхаб .
46. "VizGrain". esgeetech.com . Получено 1 декабря 2017 г. .
47. "VPIC". github.com . Получено 1 июля 2019 г. .
48. "LANL / VPIC — GitHub". github.com . Получено 29 октября 2019 .
49. "Tech-X - VSim". Txcorp.com . Получено 1 декабря 2017 г. .
50. "Warp". warp.lbl.gov . Получено 1 декабря 2017 г. .
51. "berkeleylab / Warp — Bitbucket". bitbucket.org . Получено 1 декабря 2017 г. .
52. "WarpX Documentation". ecp-warpx.github.io . Получено 29 октября 2019 г. .
53. "ECP-WarpX / WarpX — GitHub". GitHub.org . Получено 29 октября 2019 .
54. "Набор кодов для образовательных частиц в ячейках". picksc.idre.ucla.edu . Получено 29 октября 2019 г. .
55. "ricardo-fonseca / ZPIC — GitHub". GitHub.org . Получено 29 октября 2019 г. .

Библиография

• Birdsall, Charles K.; A. Bruce Langdon (1985). Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования . McGraw-Hill. ISBN 0-07-005371-5.

• Хокни, Роджер В.; Джеймс В. Иствуд (1988). Компьютерное моделирование с использованием частиц . CRC Press. ISBN 0-85274-392-0.

Внешние ссылки

• Набор инструментов для моделирования пучка, плазмы и ускорителя (BLAST)
• Центр программного обеспечения для моделирования частиц в ячейках и кинетики (PICKSC), Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе.
• Открытый исходный код 3D Particle-In-Cell для взаимодействия плазмы космического аппарата (требуется обязательная регистрация пользователя).
• Простой код Particle-In-Cell в MATLAB
• Группа теории и моделирования плазмы (Беркли) Содержит ссылки на свободно распространяемое программное обеспечение.
• Введение в коды PIC (Техасский университет)
• open-pic - 3D гибридное моделирование динамики плазмы методом частиц в ячейках