Численные методы для уравнений с частными производными — это раздел численного анализа , который изучает численное решение уравнений с частными производными (УЧП). [1] [2]
В принципе существуют специализированные методы для гиперболических , [3] параболических [4] или эллиптических уравнений в частных производных [5] . [6] [7]
В этом методе функции представлены своими значениями в определенных точках сетки, а производные аппроксимируются посредством разностей этих значений.
Метод прямых (MOL, NMOL, NUMOL [8] [9] [10] ) — это метод решения уравнений в частных производных (УЧД), в котором все измерения, кроме одного, дискретизированы. MOL позволяет использовать стандартные методы и программное обеспечение общего назначения, разработанные для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). За эти годы было разработано большое количество процедур интегрирования на многих языках программирования, и некоторые из них были опубликованы как ресурсы с открытым исходным кодом . [11]
Метод прямых чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений с частными производными, которые сначала дискретизируют только пространственные производные и оставляют временную переменную непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой может быть применен численный метод для обыкновенных уравнений с начальным значением. Метод прямых в этом контексте восходит по крайней мере к началу 1960-х годов. [12]
Метод конечных элементов (МКЭ) — это численный метод поиска приближенных решений граничных задач для дифференциальных уравнений . Он использует вариационные методы ( вариационное исчисление ) для минимизации функции ошибки и получения устойчивого решения. Аналогично идее о том, что соединение множества крошечных прямых линий может аппроксимировать большую окружность, МКЭ охватывает все методы соединения множества простых элементарных уравнений во многих небольших подобластях, называемых конечными элементами, для аппроксимации более сложного уравнения в большей области .
Метод градиентной дискретизации (GDM) — это численная техника , которая охватывает несколько стандартных или недавних методов. Она основана на раздельной аппроксимации функции и ее градиента. Основные свойства допускают сходимость метода для ряда линейных и нелинейных задач, и поэтому все методы, которые входят в структуру GDM (конформный и неконформный конечный элемент, смешанный конечный элемент, миметическая конечная разность...), наследуют эти свойства сходимости.
Метод конечных объемов — это численный метод представления и оценки уравнений с частными производными в форме алгебраических уравнений [LeVeque, 2002; Toro, 1999]. Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов , значения вычисляются в дискретных местах на сетчатой геометрии. «Конечный объем» относится к малому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке. В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении с частными производными, которые содержат член расхождения , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о расхождении . Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в заданный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одним преимуществом метода конечных объемов является то, что его легко сформулировать для учета неструктурированных сеток. Этот метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики .
Спектральные методы — это методы, используемые в прикладной математике и научных вычислениях для численного решения некоторых дифференциальных уравнений , часто с использованием быстрого преобразования Фурье . Идея состоит в том, чтобы записать решение дифференциального уравнения в виде суммы определенных «базисных функций» (например, в виде ряда Фурье , который является суммой синусоид ), а затем выбрать коэффициенты в сумме, которые наилучшим образом удовлетворяют дифференциальному уравнению.
Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и построены на одних и тех же идеях; основное различие между ними заключается в том, что спектральные методы используют базисные функции, которые отличны от нуля во всей области, в то время как методы конечных элементов используют базисные функции, которые отличны от нуля только в небольших подобластях. Другими словами, спектральные методы используют глобальный подход , в то время как методы конечных элементов используют локальный подход . Частично по этой причине спектральные методы обладают превосходными свойствами погрешности, причем так называемая «экспоненциальная сходимость» является максимально быстрой, когда решение является гладким . Однако нет известных результатов трехмерного спектрального захвата ударных волн в одной области. [13] В сообществе конечных элементов метод, в котором степень элементов очень высока или увеличивается по мере уменьшения параметра сетки h до нуля, иногда называют методом спектральных элементов .
Методы Meshfree не требуют сетки, соединяющей точки данных области моделирования. [14] Методы Meshfree позволяют моделировать некоторые сложные типы задач, но за счет дополнительного времени вычислений и усилий по программированию.
Методы декомпозиции домена решают граничную задачу , разбивая ее на более мелкие граничные задачи в подобластях и итерируя для координации решения между соседними подобластями. Грубая задача с одним или несколькими неизвестными на подобласть используется для дальнейшей глобальной координации решения между подобластями. Задачи в подобластях независимы, что делает методы декомпозиции домена подходящими для параллельных вычислений . Методы декомпозиции домена обычно используются в качестве предобуславливателей для итерационных методов пространства Крылова , таких как метод сопряженных градиентов или GMRES .
В методах декомпозиции перекрывающихся доменов поддомены перекрываются больше, чем на интерфейс. Методы декомпозиции перекрывающихся доменов включают метод чередования Шварца и аддитивный метод Шварца . Многие методы декомпозиции доменов могут быть записаны и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца .
В неперекрывающихся методах поддомены пересекаются только на своем интерфейсе. В первичных методах, таких как Balancing domain decomp и BDDC , непрерывность решения через интерфейс поддомена обеспечивается путем представления значения решения на всех соседних поддоменах тем же неизвестным. В двойственных методах, таких как FETI , непрерывность решения через интерфейс поддомена обеспечивается множителями Лагранжа . Метод FETI-DP является гибридом двойственного и первичного метода.
Методы декомпозиции неперекрывающихся доменов также называются методами итеративного субструктурирования .
Методы Mortar — это методы дискретизации для дифференциальных уравнений с частными производными, которые используют раздельную дискретизацию на неперекрывающихся подобластях. Сетки на подобластях не совпадают на интерфейсе, и равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, разумно выбранными для сохранения точности решения. В инженерной практике метода конечных элементов непрерывность решений между несовпадающими подобластями реализуется с помощью многоточечных ограничений.
Конечно-элементное моделирование моделей среднего размера требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на временной шаг — это среднее последовательное время выполнения, поэтому параллельные вычисления являются необходимостью. Методы декомпозиции доменов воплощают большой потенциал для распараллеливания методов конечных элементов и служат основой для распределенных параллельных вычислений.
Методы многосеточного (МГ) анализа в численном анализе представляют собой группу алгоритмов для решения дифференциальных уравнений с использованием иерархии дискретизаций . Они являются примером класса методов, называемых методами многоразрешения , очень полезных в (но не ограничивающихся) задачах, демонстрирующих множественные масштабы поведения. Например, многие базовые методы релаксации демонстрируют разные скорости сходимости для коротко- и длинноволновых компонентов, что предполагает, что эти разные масштабы следует обрабатывать по-разному, как в подходе анализа Фурье к многосеточному анализу. [15] Методы МГ могут использоваться как решатели, так и предобуславливатели .
Основная идея многосеточного метода заключается в ускорении сходимости базового итерационного метода путем глобальной коррекции время от времени, достигаемой путем решения грубой задачи . Этот принцип аналогичен интерполяции между более грубыми и более мелкими сетками. Типичное применение многосеточного метода — численное решение эллиптических уравнений в частных производных в двух или более измерениях. [16]
Многосеточные методы могут применяться в сочетании с любым из распространенных методов дискретизации. Например, метод конечных элементов может быть преобразован в многосеточный метод. [17] В этих случаях многосеточные методы являются одними из самых быстрых методов решения, известных сегодня. В отличие от других методов, многосеточные методы являются общими в том, что они могут обрабатывать произвольные области и граничные условия . Они не зависят от разделимости уравнений или других специальных свойств уравнения. Они также широко использовались для более сложных несимметричных и нелинейных систем уравнений, таких как система упругости Ламе или уравнения Навье–Стокса . [18]
Метод конечных разностей часто считается самым простым для изучения и использования. Методы конечных элементов и конечных объемов широко используются в инженерии и вычислительной гидродинамике и хорошо подходят для задач со сложной геометрией. Спектральные методы, как правило, наиболее точны, при условии, что решения достаточно гладкие.
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )