σ-алгебра

Алгебраическая структура алгебры множеств

В математическом анализе и теории вероятностей σ -алгебра («сигма-алгебра»; также σ-поле ) на множестве X — это непустая совокупность Σ подмножеств X , замкнутая относительно дополнений , счетных объединений и счетных пересечений . Упорядоченная пара называется измеримым пространством . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

σ-алгебра подмножеств — это алгебра множеств подмножеств; элементы последней должны быть замкнуты только относительно объединения или пересечения конечного числа подмножеств, что является более слабым условием. ^[1]

Основное применение σ-алгебр заключается в определении мер ; в частности, совокупность тех подмножеств, для которых задана данная мера, обязательно является σ-алгеброй. Эта концепция важна в математическом анализе как основа для интегрирования Лебега и в теории вероятностей , где она интерпретируется как совокупность событий, которым можно присвоить вероятности. Кроме того, в вероятности σ-алгебры играют ключевую роль в определении условного ожидания .

В статистике (суб)σ-алгебры необходимы для формального математического определения достаточной статистики ^[2] , особенно когда статистика является функцией или случайным процессом и понятие условной плотности неприменимо.

Если одна из возможных σ-алгебр на есть , где — пустое множество . В общем случае конечная алгебра всегда является σ-алгеброй. ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Если — счетное разбиение , то совокупность всех объединений множеств в разбиении (включая пустое множество) является σ-алгеброй. ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},}$ ${\displaystyle X}$

Более полезным примером является множество подмножеств действительной прямой, образованное путем начала со всех открытых интервалов и добавления всех счетных объединений, счетных пересечений и относительных дополнений, и продолжения этого процесса (путем трансфинитной итерации по всем счетным ординалам ) до тех пор, пока не будут достигнуты соответствующие свойства замыкания (конструкция, известная как иерархия Бореля ).

Мотивация

Существует по крайней мере три ключевых мотиватора для σ-алгебр: определение мер, манипулирование пределами множеств и управление частичной информацией, характеризуемой множествами.

Мера

Мера на — это функция , которая присваивает неотрицательное действительное число подмножествам этого можно рассматривать как уточнение понятия «размер» или «объем» для множеств. Мы хотим, чтобы размер объединения непересекающихся множеств был суммой их индивидуальных размеров, даже для бесконечной последовательности непересекающихся множеств . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$

Хотелось бы присвоить размер каждому подмножеству , но во многих естественных ситуациях это невозможно. Например, аксиома выбора подразумевает, что когда рассматриваемый размер является обычным понятием длины для подмножеств действительной прямой, то существуют множества, для которых не существует размера, например, множества Витали . По этой причине вместо этого рассматривается меньший набор привилегированных подмножеств Эти подмножества будут называться измеримыми множествами. Они замкнуты относительно операций, которые можно было бы ожидать для измеримых множеств, то есть дополнение измеримого множества является измеримым множеством, а счетное объединение измеримых множеств является измеримым множеством. Непустые наборы множеств с этими свойствами называются σ-алгебрами. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Пределы множеств

Многие применения меры, такие как вероятностная концепция почти наверняка сходимости , включают пределы последовательностей множеств . Для этого замыкание относительно счетных объединений и пересечений имеет первостепенное значение. Пределы множеств определяются следующим образом на σ-алгебрах.

• Предельный супремум или внешний предел последовательности подмножеств равен Он состоит из всех точек , которые находятся в бесконечном числе этих множеств (или, что эквивалентно, которые находятся в конфинальном числе из них). То есть, тогда и только тогда, когда существует бесконечная подпоследовательность (где ) множеств, которые все содержат , то есть, такая, что ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• Предельная нижняя грань или внутренний предел последовательности подмножеств — это Он состоит из всех точек, которые находятся во всех, кроме конечного числа этих множеств (или, что эквивалентно, которые в конечном итоге находятся во всех из них). То есть, тогда и только тогда, когда существует индекс такой, что все содержат , то есть такой, что ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$ ${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

Внутренний предел всегда является подмножеством внешнего предела: если эти два множества равны, то их предел существует и равен этому общему множеству: $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

Под-σ-алгебры

В большей части вероятности, особенно когда задействовано условное ожидание , речь идет о множествах, которые представляют только часть всей возможной информации, которую можно наблюдать. Эту частичную информацию можно охарактеризовать с помощью меньшей σ-алгебры, которая является подмножеством главной σ-алгебры; она состоит из набора подмножеств, относящихся только к частичной информации и определяемых только ею. Достаточно простого примера, чтобы проиллюстрировать эту идею.

Представьте, что вы и другой человек делаете ставки в игре, которая заключается в многократном подбрасывании монеты и наблюдении за тем, выпадет ли орел ( ) или решка ( ). Поскольку вы и ваш противник каждый бесконечно богаты, нет предела тому, как долго может длиться игра. Это означает, что выборочное пространство Ω должно состоять из всех возможных бесконечных последовательностей или ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:}$ $${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

Однако после подбрасывания монеты вы можете захотеть определить или пересмотреть свою стратегию ставок перед следующим подбрасыванием. Наблюдаемая информация в этот момент может быть описана в терминах 2 ⁿ возможностей для первых подбрасываний. Формально, поскольку вам нужно использовать подмножества Ω, это кодифицируется как σ-алгебра ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}.}$$

Заметим, что тогда где — наименьшая σ-алгебра, содержащая все остальные. $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {G}}_{3}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty },}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Определение и свойства

Определение

Пусть будет некоторым множеством, и пусть представляет его множество мощности . Тогда подмножество называется σ-алгеброй тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам: ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$

1. ${\displaystyle X}$находится в . ${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle \Sigma }$замкнуто относительно дополнения : если некоторое множество входит в , то входит и его дополнение , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$замкнуто относительно счетных союзов : если есть , то есть и ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

Из этих свойств следует, что σ-алгебра также замкнута относительно счетных пересечений (применяя законы Де Моргана ).

Отсюда также следует, что пустое множество принадлежит , поскольку по (1) принадлежит , а (2) утверждает, что его дополнение, пустое множество, также принадлежит Более того, поскольку удовлетворяет также условию (3) , отсюда следует, что является наименьшей возможной σ-алгеброй на Наибольшая возможная σ-алгебра на является ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X).}$

Элементы σ-алгебры называются измеримыми множествами . Упорядоченная пара , где — множество, а — σ-алгебра над , называется измеримым пространством . Функция между двумя измеримыми пространствами называется измеримой функцией , если прообраз каждого измеримого множества измерим. Совокупность измеримых пространств образует категорию , в которой измеримые функции являются морфизмами . Меры определяются как определенные типы функций из σ-алгебры в ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$

σ-алгебра является одновременно π-системой и системой Дынкина (λ-системой). Обратное также верно по теореме Дынкина (см. ниже).

Теорема Дынкина π-λ

Эта теорема (или связанная с ней теорема о монотонном классе ) является важным инструментом для доказательства многих результатов о свойствах конкретных σ-алгебр. Она использует природу двух более простых классов множеств, а именно следующих.

• π -система — это совокупность подмножеств , замкнутая относительно конечного числа пересечений, и ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$
• Система Дынкина (или λ-система) — это совокупность подмножеств , которая содержит и замкнута относительно дополнения и счетных объединений непересекающихся подмножеств. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Дынкина π-λ гласит, что если является π-системой и является системой Дынкина, которая содержит , то σ-алгебра, порожденная ею, содержится в Поскольку некоторые π-системы являются относительно простыми классами, может быть несложно проверить, что все множества в обладают рассматриваемым свойством, в то время как, с другой стороны, показать, что совокупность всех подмножеств со свойством является системой Дынкина, также может быть просто. Теорема Дынкина π-λ тогда подразумевает, что все множества в обладают свойством, избегая задачи проверки его для произвольного множества в ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P).}$

Одно из самых фундаментальных применений теоремы π-λ — показать эквивалентность отдельно определенных мер или интегралов. Например, она используется для приравнивания вероятности для случайной величины к интегралу Лебега-Стилтьеса, обычно связанному с вычислением вероятности: для всех в σ-алгебре Бореля на , где — кумулятивная функция распределения для , определенная на , а — вероятностная мера , определенная на σ-алгебре подмножеств некоторого выборочного пространства ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Объединение σ-алгебр

Предположим, что есть набор σ-алгебр на пространстве ${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Встретиться

Пересечение набора σ-алгебр является σ-алгеброй. Чтобы подчеркнуть ее характер как σ-алгебры, ее часто обозначают так: $${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

Набросок доказательства: Пусть обозначает пересечение. Так как находится в каждом, то непусто. Замкнутость относительно дополнения и счетных объединений для каждого подразумевает, что то же самое должно быть верно для Следовательно, является σ-алгеброй. ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Присоединиться

Объединение набора σ-алгебр, как правило, не является σ-алгеброй или даже алгеброй, но оно порождает σ-алгебру, известную как соединение, которое обычно обозначается π-системой, которая порождает соединение, является Набросок доказательства: По данному случаю видно, что каждый так Это подразумевает по определению σ-алгебры, порожденной набором подмножеств. С другой стороны, что, по теореме Дынкина о π-λ, подразумевает $${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},}$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$ $${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$ $${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

σ-алгебры для подпространств

Предположим , что является подмножеством и пусть будет измеримым пространством. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• Коллекция представляет собой σ-алгебру подмножеств ${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$ ${\displaystyle Y.}$
• Предположим, что — измеримое пространство. Совокупность — это σ-алгебра подмножеств ${\displaystyle (Y,\Lambda )}$ ${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$ ${\displaystyle X.}$

Отношение к σ-кольцу

σ -алгебра — это просто σ -кольцо , содержащее универсальное множество ^[4] σ -кольцо не обязательно должно быть σ -алгеброй, например, измеримые подмножества нулевой меры Лебега в вещественной прямой являются σ -кольцом , но не σ -алгеброй, поскольку вещественная прямая имеет бесконечную меру и, таким образом, не может быть получена их счетным объединением. Если вместо нулевой меры взять измеримые подмножества конечной меры Лебега, то они будут кольцом, но не σ -кольцом, поскольку вещественная прямая может быть получена их счетным объединением, но ее мера не конечна. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$

Типографская заметка

σ -алгебры иногда обозначаются каллиграфическими заглавными буквами или шрифтом Fraktur . Таким образом, их можно обозначить как или ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

Частные случаи и примеры

Отделимые σ-алгебры

Сепарабельная -алгебра (или сепарабельное -поле ) - это -алгебра , которая является сепарабельным пространством , если ${\displaystyle \sigma }$ рассматривать ее как метрическое пространство с метрикой для и заданной конечной мерой (и с оператором симметричной разности ). ^[5] Любая -алгебра, порождённая счётным набором множеств , является сепарабельной, но обратное не обязательно. Например, -алгебра Лебега является сепарабельной (поскольку каждое измеримое по Лебегу множество эквивалентно некоторому борелевскому множеству), но не счётно порождённой (поскольку её мощность больше континуума). ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Разделимое пространство меры имеет естественную псевдометрику , которая делает его разделимым как псевдометрическое пространство . Расстояние между двумя множествами определяется как мера симметричной разности двух множеств. Симметричная разность двух различных множеств может иметь меру ноль; следовательно, псевдометрика, как определено выше, не обязательно должна быть истинной метрикой. Однако, если множества, симметричная разность которых имеет меру ноль, идентифицируются в один класс эквивалентности , полученный фактор-множество может быть правильно метризовано с помощью индуцированной метрики. Если пространство меры разделимо, можно показать, что соответствующее метрическое пространство также является таковым.

Простые примеры на основе множеств

Пусть будет любым множеством. ${\displaystyle X}$

• Семейство, состоящее только из пустого множества и множества, называемого минимальной или тривиальной σ-алгеброй над ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• Множество степеней называется дискретной σ-алгеброй . ${\displaystyle X,}$
• Коллекция представляет собой простую σ-алгебру, порожденную подмножеством ${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$ ${\displaystyle A.}$
• Совокупность подмножеств, которые являются счетными или чьи дополнения являются счетными, является σ-алгеброй (которая отличается от множества степеней тогда и только тогда, когда является несчетной). Это σ-алгебра, порожденная синглтонами Примечание : «счетная» включает конечные или пустые. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Совокупность всех объединений множеств счетного разбиения является σ-алгеброй. ${\displaystyle X}$

Остановка времени сигма-алгебры

Время остановки может определять -алгебру, так называемую сигма-алгебру времени остановки , которая в отфильтрованном вероятностном пространстве описывает информацию вплоть до случайного времени в том смысле, что если отфильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, то максимальная информация, которую можно узнать об эксперименте, произвольно часто повторяя его до момента времени, равна ^[6] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

σ-алгебры, порожденные семействами множеств

σ-алгебра, порожденная произвольным семейством

Пусть будет произвольным семейством подмножеств Тогда существует единственная наименьшая σ-алгебра, которая содержит каждое множество из (хотя сама может быть или не быть σ-алгеброй). Это, по сути, пересечение всех σ-алгебр, содержащих (См. пересечения σ-алгебр выше.) Эта σ-алгебра обозначается и называется σ-алгеброй, порожденной ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle F.}$

Если пусто, то в противном случае состоит из всех подмножеств, которые можно составить из элементов с помощью счетного числа операций дополнения, объединения и пересечения. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

В качестве простого примера рассмотрим множество Тогда σ-алгебра, порожденная единственным подмножеством , имеет вид Из- за злоупотребления обозначениями , когда совокупность подмножеств содержит только один элемент, можно записать вместо в предыдущем примере вместо Действительно, использование для обозначения также довольно распространено. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (\{A\});}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})}$ ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$ ${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

Существует множество семейств подмножеств, которые генерируют полезные σ-алгебры. Некоторые из них представлены здесь.

σ-алгебра, порожденная функцией

Если — функция из множества в множество и — -алгебра подмножеств, то -алгебра, порожденная функцией, обозначенной как , является совокупностью всех прообразов множеств из То есть, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \sigma (f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B.}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

Функция из множества в множество измерима относительно σ-алгебры подмножеств тогда и только тогда, когда является подмножеством ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Одна из распространенных ситуаций, которая понимается по умолчанию, если явно не указано иное, — это когда — метрическое или топологическое пространство , а — совокупность борелевских множеств на ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$

Если — функция от до , то порождается семейством подмножеств, которые являются обратными образами интервалов/прямоугольников в ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Полезным свойством является следующее. Предположим, что является измеримым отображением из в и является измеримым отображением из в Если существует измеримое отображение из в такое, что для всех то Если является конечным или счетно бесконечным или, в более общем случае, является стандартным борелевским пространством (например, сепарабельным полным метрическим пространством со своими связанными борелевскими множествами), то обратное также верно. ^[7] Примерами стандартных борелевских пространств являются с его борелевскими множествами и с цилиндрической σ-алгеброй, описанной ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

σ-алгебры Бореля и Лебега.

Важным примером является алгебра Бореля над любым топологическим пространством : σ-алгебра, порожденная открытыми множествами (или, что эквивалентно, замкнутыми множествами ). Эта σ-алгебра, в общем случае, не является всем множеством мощности. Для нетривиального примера, который не является множеством Бореля, см. множество Витали или неборелевские множества .

На евклидовом пространстве важна другая σ-алгебра: всех измеримых по Лебегу множеств. Эта σ-алгебра содержит больше множеств, чем σ-алгебра Бореля на и является предпочтительной в теории интегрирования , поскольку она дает полное пространство меры . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Произведение σ-алгебры

Пусть и — два измеримых пространства. σ-алгебра для соответствующего пространства-произведения называется σ-алгеброй-произведением и определяется как ${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ $${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

Обратите внимание, что это π-система. ${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

Борелевская σ-алгебра для порождается полубесконечными прямоугольниками и конечными прямоугольниками. Например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

Для каждого из этих двух примеров порождающее семейство представляет собой π-систему.

σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами

Предполагать $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

— это набор функций с действительными значениями. Пусть обозначает борелевские подмножества Цилиндрическое подмножество — это конечно ограниченное множество, определяемое как ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

Каждая из них является π-системой, которая порождает σ-алгебру. Тогда семейство подмножеств является алгеброй, которая порождает цилиндрическую σ-алгебру для. Эта σ-алгебра является подалгеброй борелевской σ-алгебры, определяемой топологией произведения ограниченных на $${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$ ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle X.}$

Важный частный случай — это когда — множество натуральных чисел, а — множество последовательностей действительных чисел. В этом случае достаточно рассмотреть цилиндрические множества, для которых — неубывающая последовательность σ-алгебр. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$ $${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$

Шаровая σ-алгебра

Шаровая σ-алгебра — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые (и/или закрытые) шары. Она никогда не больше борелевской σ-алгебры . Обратите внимание, что две σ-алгебры равны для сепарабельных пространств. Для некоторых несепарабельных пространств некоторые отображения являются шароизмеримыми, даже если они не измеримы по Борелю, что делает использование шаровой σ-алгебры полезным при анализе таких отображений. ^[8]

σ-алгебра, генерируемая случайной величиной или вектором

Предположим, что является вероятностным пространством . Если измеримо относительно борелевской σ-алгебры на , то называется случайной величиной ( ) или случайным вектором ( ). σ-алгебра, порожденная , является ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

σ-алгебра, порожденная стохастическим процессом

Предположим, что является вероятностным пространством и является множеством вещественных функций на Если измеримо относительно цилиндрической σ-алгебры (см. выше) для то называется стохастическим процессом или случайным процессом . σ-алгебра, порожденная является σ-алгеброй, порожденной обратными образами цилиндрических множеств. ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$

Смотрите также

• Измеримая функция  – Функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Пространство выборки  – набор всех возможных результатов или исходов статистического испытания или эксперимента.
• Сигма-аддитивная функция множества  – Функция отображения
• Сигма-кольцо  – семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений

Ссылки

1. "11. Measurable Spaces". Случайные: Вероятность, Математическая Статистика, Стохастические Процессы . Университет Алабамы в Хантсвилле, Кафедра Математических Наук . Получено 30 марта 2016 г. Очевидно , что σ-алгебра подмножеств также является алгеброй подмножеств, поэтому основные результаты для алгебр в по-прежнему остаются в силе.
2. Биллингсли, Патрик (2012). Вероятность и мера (юбилейное издание). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.
3. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054234-1.
4. Веструп, Эрик М. (2009). Теория мер и интеграции . John Wiley & Sons. стр. 12. ISBN 978-0-470-31795-2.
5. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Properties of the class of measure separable compact spaces" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. Если является борелевской мерой на алгебре мер , является булевой алгеброй всех борелевских множеств по модулю -null множеств. Если является конечным, то такая алгебра мер также является метрическим пространством, причем расстояние между двумя множествами является мерой их симметрической разности. Тогда мы говорим, что является сепарабельным тогда и только тогда, когда это метрическое пространство сепарабельно как топологическое пространство. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
6. Фишер, Том (2013). «О простых представлениях моментов остановки и сигма-алгебрах моментов остановки». Statistics and Probability Letters . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016/j.spl.2012.09.024.
7. Калленберг, Олав (2001). Основы современной теории вероятностей (2-е изд.). Springer . стр. 7. ISBN 0-387-95313-2.
8. Ван дер Ваарт, AW, и Веллнер, JA (1996). Слабая сходимость и эмпирические процессы. В серии Springer по статистике. Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2

Внешние ссылки

• «Алгебра множеств», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Сигма-алгебра от PlanetMath.