Альфа-шкала

Гамма $α$ ( альфа ) — это неоктавная повторяющаяся музыкальная гамма, изобретенная Венди Карлос и впервые использованная в ее альбоме Beauty in the Beast (1986). Она получена путем аппроксимации только интервалов с использованием кратных одного интервала, но без требования (как это обычно делают темперации ) октавы (2:1). Она может быть аппроксимирована путем деления чистой квинты (3:2) на девять равных шагов с соотношением частот ^[1] или путем деления малой терции (6:5) на четыре шага с соотношением частот ^[1]^[2]^[3] $\ \left({\tfrac {\ 3\ }{2}}\right)^{\tfrac {1}{9}}\ ,$ $\ \left({\tfrac {\ 6\ }{5}}\right)^{\tfrac {1}{4}}~.$

Размер этого шага шкалы также может быть точно выведен из использования 9:5 ( B ♭ , 1017,60 центов, Play ^ⓘ ) для аппроксимации интервала $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 3:2 / 5:4 ⁠ = 6:5$   (E ♭ , 315,64 центов, Play ^ⓘ ).^[4]

Альфа

-шкала Карлоса (альфа) возникает из... взятия значения для ступени шкалы таким образом, чтобы девять из них приближались к чистой квинте 3:2, пять из них приближались к большой терции 5:4, а четыре из них приближались к малой терции 6:5. Чтобы сделать приближение как можно лучше, мы минимизируем среднеквадратичное отклонение . ^[4]

Приведенная ниже формула находит минимум, устанавливая производную среднеквадратического отклонения относительно размера шага шкалы равной 0.

\ {\frac {\ 9\ \log _{2}\left({\frac {\ 3\ }{2}}\right)+5\log _{2}\left({\frac {\ 5\ }{4}}\right)+4\ \log _{2}\left({\frac {\ 6\ }{5}}\right)\ }{\ 9^{2}+5^{2}+4^{2}\ }}\приблизительно 0,06497082462\

и ( Воспроизвести ^ⓘ ) $\ 0,06497082462\times 1200=77,964989544\$

При 78 центах на шаг это составляет приблизительно 15,385 шагов на октаву , однако, если быть более точным, шаг альфа-шкалы составляет 77,965 центов, а на октаву приходится 15,3915 шагов. ^[4]^[5]

Хотя у него нет идеальной октавы , альфа-гамма производит «замечательные трезвучия » ( играйте мажорное ^ⓘ и минорное трезвучие ^ⓘ ), а бета-гамма имеет схожие свойства, но септаккорды более гармоничны. ^[2] Однако альфа-гамма имеет

"превосходные гармонические септаккорды ... с использованием [октавной] инверсии ⁠ 7 4⁠ , т.е. ⁠8/7⁠ [ Play ]"^[1]

Смотрите также

Ссылки

^ abc Карлос, Венди (1989–1996). Три асимметричных деления октавы (Отчет). Архивировано из оригинала 2017-07-12 . Получено 2010-06-13 – через WendyCarlos.com. 9 шагов к идеальной (без шуток) квинте. Альфа-гамма «делит малую терцию ровно пополам (также на четверти).
^ ab Milano, Dominic (ноябрь 1986). "Разноцветные джунгли экзотических строев" (PDF) . Клавиатура . Архивировано (PDF) из оригинала 2010-12-02 . Получено 2010-06-13 – через wendycarlos.com. Идея состояла в том, чтобы разделить малую терцию на две равные части. Затем это было разделено снова.
^ Карлос, Венди (2000) [1986]. Красавица и чудовище (аннотация к пластинке). ESD 81552.
^ abc Бенсон, Дэйв (2006). Музыка: Математическое предложение . Cambridge University Press. С. 232–233. ISBN 0-521-85387-7. Это на самом деле очень немного отличается от цифры Карлоса в 15,385 $α$ -градусов гаммы в октаве. Это получается путем приближения гаммы к 78,0 центам.
^ Sethares, W. (2004). Настройка, тембр, спектр, шкала . Springer. стр. 60. ISBN 1-85233-797-4. ... шаг шкалы 78 центов.