Аль-Джабр ( арабский : الجبر ), также известный как Сборник расчетов путем завершения и балансировки ( арабский : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , аль-Китаб аль-Мухтасар фи Хисаб аль-Джабр валь-Мукабала ; [б] или Латынь : Liber Algebræ et Almucabola ), — арабский математический трактат по алгебре , написанный в Багдаде около 820 года персидским эрудитом Аль-Хорезми . Это была знаковая работа в истории математики , ее название представляло собой окончательную этимологию самого слова «алгебра», позже заимствованного в средневековую латынь как algebrāica .
Аль-Джабр предоставил исчерпывающий отчет о решении положительных корней полиномиальных уравнений до второй степени. [1] : 228 [c] Это был первый учебник, обучающий элементарной алгебре , и первый учебник, обучающий алгебре ради самой алгебры. [d] Он также ввел фундаментальную концепцию «сокращения» и «балансировки» (которую первоначально называл термин аль-джабр ), переноса вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмены подобных членов на противоположных сторонах. стороны уравнения. [e] Историк математики Виктор Дж. Кац считает Аль-Джабра первым настоящим текстом по алгебре, который до сих пор существует. [f] Переведенный на латынь Робертом Честерским в 1145 году, он использовался до шестнадцатого века в качестве основного математического учебника европейских университетов. [4] [г] [6] [7]
Несколько авторов также опубликовали тексты под этим именем, в том числе Абу Ханифа Динавари , Абу Камиль , Абу Мухаммад аль-Адли, Абу Юсуф аль-Мишиши, Абд аль-Хамид ибн Турк , Синд ибн Али, Сахл ибн Бишр и Шарафаддин аль- Туси .
Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:
Можно заметить, что текст Аль-Хорезми отличается не только от вавилонских табличек , но и от «Арифметики » Диофанта . Речь идет уже не о ряде проблем , которые необходимо решить, а об изложении , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны дать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования. С другой стороны, идея уравнения сама по себе возникает изначально и, можно сказать, в общем виде, поскольку она не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призвана к ее решению. определить бесконечный класс задач. [8]
Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон написали в архиве MacTutor History of Mathematics :
Возможно, одно из наиболее значительных достижений арабской математики началось в это время с работы аль-Хорезми, а именно с зарождения алгебры. Важно понять, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный отход от греческой концепции математики, которая по сути была геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа , иррациональные числа , геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты». Это дало математике совершенно новый путь развития, гораздо более широкий по своей концепции по сравнению с тем, что существовало раньше, и предоставило средство для будущего развития этого предмета. Другим важным аспектом введения алгебраических идей было то, что оно позволило применить математику к самой себе так, как раньше не случалось. [9]
Книга представляла собой компиляцию и расширение известных правил решения квадратных уравнений и некоторых других задач и считалась основой алгебры, сделав ее независимой дисциплиной. Слово «алгебра» произошло от названия одной из основных операций с уравнениями, описанных в этой книге, после ее латинского перевода Роберта Честера . [10]
В книге квадратные уравнения отнесены к одному из шести основных типов и представлены алгебраические и геометрические методы решения основных из них. Историк Карл Бойер отмечает следующее относительно отсутствия в книге современных абстрактных обозначений: [11]
... алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, без каких-либо синкоп (см. Историю алгебры ), встречающихся в греческой арифметике или в работах Брахмагупты . Даже цифры были написаны словами, а не символами!
- Карл Б. Бойер, История математики.
Таким образом, уравнения устно описываются в терминах «квадратов» (сегодня это было бы « x 2 »), «корней» (то, что сегодня было бы « x ») и «числ» («констант»: обычных прописанных чисел, например 'сорок два'). Шесть типов в современных обозначениях:
Исламские математики, в отличие от индусов, вообще не имели дела с отрицательными числами; следовательно, уравнение типа bx + c = 0 не фигурирует в классификации, поскольку оно не имеет положительных решений, если все коэффициенты положительны. Аналогичным образом были выделены типы уравнений 4, 5 и 6, которые выглядят эквивалентно современному глазу, поскольку все коэффициенты должны быть положительными. [3] [ нужна страница ]
Операция Аль-Джабра («принуждение», «восстановление») заключается в перемещении недостающего количества из одной части уравнения в другую. В примере аль-Хорезми (в современных обозначениях) « x 2 = 40 x − 4 x 2 » преобразуется аль-Джабром в «5 x 2 = 40 x ». Повторное применение этого правила исключает из расчетов отрицательные величины.
Аль-Мукабала ( المقابله , «балансирующий» или «соответствующий») означает вычитание одной и той же положительной величины с обеих сторон: « х 2 + 5 = 40 х + 4 х 2 » превращается в «5 = 40 х + 3 х 2». ". Повторное применение этого правила приводит к тому, что величины каждого типа («квадрат»/«корень»/«число») появляются в уравнении не более одного раза, что помогает увидеть, что существует только 6 основных решаемых типов задачи, если ограничиться положительные коэффициенты и решения.
Последующие части книги не основаны на решении квадратных уравнений.
Во второй главе книги каталогизированы методы нахождения площади и объема . К ним относятся аппроксимации числа пи (π), заданные тремя способами: 3 1/7, √10 и 62832/20000. Это последнее приближение, равное 3,1416, ранее появилось в индийской Арьябхатия (499 г. н.э.). [12]
Аль-Хорезми объясняет еврейский календарь и 19-летний цикл , описываемый сближением лунных месяцев и солнечных лет. [12]
Около половины книги посвящено исламским правилам наследования , которые сложны и требуют навыков решения алгебраических уравнений первого порядка. [13]
