Закон Ампера о круговой проводимости

Концепция классического электромагнетизма

В классическом электромагнетизме закон Ампера (не путать с законом силы Ампера ) ^[1] связывает циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру с электрическим током , проходящим через контур.

Джеймс Клерк Максвелл вывел его с помощью гидродинамики в своей опубликованной в 1861 году статье « О физических силовых линиях ». ^[2] В 1865 году он обобщил уравнение для применения к изменяющимся во времени токам, добавив член тока смещения , что привело к современной форме закона, иногда называемого законом Ампера–Максвелла , ^{[3] [4] [5]} который является одним из уравнений Максвелла , формирующих основу классического электромагнетизма .

Оригинальный закон Ампера о цепи

В 1820 году датский физик Ганс Христиан Эрстед открыл, что электрический ток создает вокруг себя магнитное поле, когда он заметил, что стрелка компаса, находящаяся рядом с проводом, по которому течет ток, повернулась так, что стрелка стала перпендикулярна проводу. ^{[6] [7]} Он исследовал и открыл правила, которые управляют полем вокруг прямого провода с током: ^[8]

• Линии магнитного поля охватывают провод с током.
• Линии магнитного поля лежат в плоскости, перпендикулярной проводу.
• Если направление тока изменить на противоположное, направление магнитного поля изменится на противоположное.
• Напряженность поля прямо пропорциональна величине тока.
• Напряженность поля в любой точке обратно пропорциональна расстоянию этой точки от провода.

Это вызвало множество исследований связи между электричеством и магнетизмом. Андре-Мари Ампер исследовал магнитную силу между двумя проводами с током, открыв закон силы Ампера . В 1850-х годах шотландский математик-физик Джеймс Клерк Максвелл обобщил эти и другие результаты в один математический закон. Первоначальная форма закона Максвелла, которую он вывел еще в 1855 году в своей статье «О силовых линиях Фарадея» ^[9] на основе аналогии с гидродинамикой, связывает магнитные поля с электрическими токами , которые их производят. Он определяет магнитное поле, связанное с данным током, или ток, связанный с данным магнитным полем.

Исходный закон цепи применим только к магнитостатической ситуации, к постоянным постоянным токам, текущим в замкнутой цепи. Для систем с электрическими полями, которые меняются со временем, исходный закон (как указано в этом разделе) должен быть изменен, чтобы включить термин, известный как поправка Максвелла (см. ниже).

Эквивалентные формы

Исходный закон цепи можно записать в нескольких различных формах, все из которых в конечном итоге эквивалентны:

• «Интегральная форма» и «дифференциальная форма». Формы полностью эквивалентны и связаны теоремой Кельвина–Стокса (см. раздел «доказательство» ниже).
• Формы, использующие единицы СИ , и те, которые используют единицы СГС . Другие единицы возможны, но редки. В этом разделе будут использоваться единицы СИ, а единицы СГС будут обсуждаться позже.
• Формы, использующие магнитные поля B или H. Эти две формы используют полную плотность тока и плотность свободного тока соответственно. Поля B и H связаны уравнением состояния : B = μ ₀ H в немагнитных материалах, где μ ₀ — магнитная постоянная .

Объяснение

Интегральная форма исходного закона цепи — это линейный интеграл магнитного поля вокруг некоторой замкнутой кривой C (произвольной, но обязательно замкнутой). Кривая C, в свою очередь, ограничивает как поверхность S , через которую проходит электрический ток (снова произвольную, но не замкнутую — поскольку S не охватывает трехмерный объем ), так и заключает в себе ток. Математическое выражение закона — это соотношение между циркуляцией магнитного поля вокруг некоторого пути (линейный интеграл) из-за тока, который проходит через этот замкнутый путь (поверхностный интеграл). ^{[10] [11]}

В терминах полного тока (который является суммой свободного тока и связанного тока) линейный интеграл магнитного поля B ( в теслах , Тл) вокруг замкнутой кривой C пропорционален полному току I _enc, проходящему через поверхность S (замкнутую C ). В терминах свободного тока линейный интеграл магнитного поля H (в амперах на метр , А·м − ¹ ) вокруг замкнутой кривой C равен свободному току I _f,enc через поверхность S. ^{[ необходимо разъяснение ]}

• J — полная плотность тока (в амперах на квадратный метр , А·м ⁻² ),
• J _f — только плотность свободного тока,
• ∮ _C — замкнутый линейный интеграл вокруг замкнутой кривой C ,
• ∬ _S обозначает поверхностный интеграл по поверхности S, ограниченной кривой C ,
• · — векторное скалярное произведение ,
• d l — бесконечно малый элемент ( дифференциал ) кривой C (т.е. вектор с величиной, равной длине бесконечно малого элемента линии, и направлением, заданным касательной к кривой C ).
• d S — векторная площадь бесконечно малого элемента поверхности S (то есть вектор с величиной, равной площади бесконечно малого элемента поверхности, и направлением, нормальным к поверхности S. Направление нормали должно соответствовать ориентации C по правилу правой руки), см. ниже дальнейшее объяснение кривой C и поверхности S.
• ∇ × — оператор скручивания .

Неоднозначности и соглашения о знаках

В приведенных выше определениях имеется ряд неясностей, которые требуют разъяснения и выбора соглашения.

1. Во-первых, три из этих терминов связаны с неоднозначностями знаков: линейный интеграл ∮ _C может идти по контуру в любом направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки); векторная площадь d S может указывать в любом из двух направлений, нормальных к поверхности; и I _enc — это чистый ток, проходящий через поверхность S , то есть ток, проходящий в одном направлении, за вычетом тока в другом направлении, но любое направление может быть выбрано как положительное. Эти неоднозначности разрешаются правилом правой руки : с ладонью правой руки по направлению к области интегрирования и указательным пальцем, указывающим вдоль направления линейного интегрирования, вытянутый большой палец указывает в направлении, которое должно быть выбрано для векторной площади d S . Также ток, проходящий в том же направлении, что и d S , должен считаться положительным. Правило захвата правой руки также можно использовать для определения знаков.
2. Во-вторых, существует бесконечно много возможных поверхностей S , имеющих кривую C в качестве своей границы. (Представьте себе мыльную пленку на проволочной петле, которую можно деформировать, дуя на пленку). Какую из этих поверхностей следует выбрать? Если, например, петля не лежит в одной плоскости, то очевидного выбора нет. Ответ заключается в том, что это не имеет значения: в магнитостатическом случае плотность тока является соленоидальной (см. следующий раздел), поэтому теорема о дивергенции и уравнение непрерывности подразумевают, что поток через любую поверхность с границей C , с тем же соглашением о знаках, одинаков. На практике обычно выбирают наиболее удобную поверхность (с заданной границей) для интегрирования.

Свободный ток против связанного тока

Электрический ток, возникающий в простейших ситуациях из учебника, можно классифицировать как «свободный ток» — например, ток, проходящий через провод или батарею . Напротив, «связанный ток» возникает в контексте объемных материалов, которые могут быть намагничены и/или поляризованы . (Все материалы могут в некоторой степени.)

Когда материал намагничивается (например, помещая его во внешнее магнитное поле), электроны остаются связанными со своими соответствующими атомами, но ведут себя так, как будто они вращаются вокруг ядра в определенном направлении, создавая микроскопический ток. Когда токи от всех этих атомов объединяются, они создают тот же эффект, что и макроскопический ток, постоянно циркулирующий вокруг намагниченного объекта. Этот ток намагничивания J _M является одним из вкладов в «связанный ток».

Другим источником связанного тока является связанный заряд . При приложении электрического поля положительные и отрицательные связанные заряды могут разделяться на атомные расстояния в поляризуемых материалах , и когда связанные заряды перемещаются, поляризация изменяется, создавая другой вклад в «связанный ток», ток поляризации J _P .

Тогда общая плотность тока J, обусловленная свободными и связанными зарядами, равна:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,}$

где J _{f —}   плотность «свободного» или «проводимого» тока.

Все токи в своей основе одинаковы, микроскопически. Тем не менее, часто существуют практические причины для желания рассматривать связанный ток иначе, чем свободный ток. Например, связанный ток обычно возникает в атомных измерениях, и можно захотеть воспользоваться более простой теорией, предназначенной для больших измерений. Результатом является то, что более микроскопический закон Ампера, выраженный в терминах B и микроскопического тока (который включает свободный, намагничивающий и поляризационный токи), иногда приводится к эквивалентной форме ниже в терминах H и только свободного тока. Подробное определение свободного тока и связанного тока, а также доказательство того, что эти две формулировки эквивалентны, см. в разделе «доказательство» ниже.

Недостатки первоначальной формулировки закона о кругообороте

Есть два важных вопроса, касающихся закона цепи, которые требуют более пристального внимания. Во-первых, есть вопрос, касающийся уравнения непрерывности электрического заряда. В векторном исчислении тождество для дивергенции ротора гласит, что дивергенция ротора векторного поля всегда должна быть равна нулю. Следовательно

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,}$

и поэтому исходный закон Ампера подразумевает, что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0\,,}$

т.е. что плотность тока является соленоидальной .

Но в целом реальность следует уравнению непрерывности электрического заряда :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,}$

что не равно нулю для изменяющейся во времени плотности заряда. Примером может служить схема конденсатора, где на пластинах существуют изменяющиеся во времени плотности заряда. ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

Во-вторых, есть проблема, связанная с распространением электромагнитных волн. Например, в свободном пространстве , где

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {0} \,,}$

закон цепи подразумевает, что

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,}$

т.е. магнитное поле является безвихревым , но для сохранения согласованности с уравнением непрерывности электрического заряда мы должны иметь

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Для обработки таких ситуаций необходимо добавить вклад тока смещения к текущему члену в законе цепи.

Джеймс Клерк Максвелл рассматривал ток смещения как ток поляризации в диэлектрическом вихревом море, который он использовал для моделирования магнитного поля гидродинамически и механически. ^[17] Он добавил этот ток смещения к закону Ампера в уравнении 112 в своей статье 1861 года « О физических силовых линиях ». ^[18]

Ток смещения

В свободном пространстве ток смещения связан со скоростью изменения электрического поля во времени.

В диэлектрике указанный выше вклад в ток смещения также присутствует, но основной вклад в ток смещения связан с поляризацией отдельных молекул диэлектрического материала. Несмотря на то, что заряды не могут свободно течь в диэлектрике, заряды в молекулах могут немного перемещаться под воздействием электрического поля. Положительные и отрицательные заряды в молекулах разделяются под действием приложенного поля, вызывая увеличение состояния поляризации, выражаемого как плотность поляризации P. Изменение состояния поляризации эквивалентно току.

Оба вклада в ток смещения объединяются путем определения тока смещения как: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,}$

где электрическое поле смещения определяется как:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,}$

где ε ₀ — электрическая постоянная , ε _{r —} относительная статическая диэлектрическая проницаемость , а P — плотность поляризации . Подставляя эту форму вместо D в выражение для тока смещения, получаем две компоненты:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}$

Первый член в правой части присутствует везде, даже в вакууме. Он не включает в себя никакого фактического движения заряда, но тем не менее имеет связанное магнитное поле, как если бы это был фактический ток. Некоторые авторы применяют название ток смещения только к этому вкладу. ^[19]

Второй член в правой части — это ток смещения, первоначально задуманный Максвеллом, связанный с поляризацией отдельных молекул диэлектрического материала.

Первоначальное объяснение Максвелла для тока смещения было сосредоточено на ситуации, которая происходит в диэлектрических средах. В современную постэфирную эпоху эта концепция была расширена для применения к ситуациям, в которых отсутствуют материальные среды, например, к вакууму между пластинами заряжающегося вакуумного конденсатора . Ток смещения сегодня оправдан, поскольку он удовлетворяет нескольким требованиям электромагнитной теории: правильное предсказание магнитных полей в областях, где нет свободного тока; предсказание распространения волн электромагнитных полей; и сохранение электрического заряда в случаях, когда плотность заряда изменяется во времени. Для более подробного обсуждения см. Ток смещения .

Расширение исходного закона: уравнение Ампера–Максвелла

Затем уравнение цепи расширяется путем включения в него тока поляризации, тем самым устраняя ограниченную применимость исходного закона цепи.

Рассматривая свободные заряды отдельно от связанных зарядов, уравнение, включающее поправку Максвелла в терминах поля H, выглядит следующим образом ( поле H используется, поскольку оно включает в себя токи намагничивания, поэтому J _M не появляется явно, см. поле H , а также примечание): ^[20]

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

(интегральная форма), где H — магнитное поле H (также называемое «вспомогательным магнитным полем», «напряженностью магнитного поля» или просто «магнитным полем»), D — электрическое поле смещения , а J _f — замкнутый ток проводимости или плотность свободного тока . В дифференциальной форме,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.}$

С другой стороны, если рассматривать все заряды на одинаковой основе (независимо от того, являются ли они связанными или свободными зарядами), обобщенное уравнение Ампера, также называемое уравнением Максвелла–Ампера, имеет интегральную форму (см. раздел «Доказательство» ниже):

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

В дифференциальной форме,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

В обеих формах J включает плотность тока намагничивания ^[21], а также плотности тока проводимости и поляризации. То есть, плотность тока в правой части уравнения Ампера–Максвелла равна:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,}$

где плотность тока J _D — ток смещения , а J — вклад плотности тока, фактически обусловленный движением зарядов, как свободных, так и связанных. Поскольку ∇ ⋅  D = ρ , проблема непрерывности заряда в исходной формулировке Ампера больше не является проблемой. ^[22] Из-за члена в ε ₀ ⁠∂ E/∂ т⁠ , распространение волн в свободном пространстве теперь возможно.

Добавив ток смещения, Максвелл смог выдвинуть гипотезу (правильную), что свет является формой электромагнитной волны . См. уравнение электромагнитной волны для обсуждения этого важного открытия.

Доказательство эквивалентности

Доказательство того, что формулировки закона цепи в терминах свободного тока эквивалентны формулировкам, включающим полный ток

В этом доказательстве мы покажем, что уравнение

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

эквивалентно уравнению

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Обратите внимание, что мы имеем дело только с дифференциальными формами, а не с интегральными, но этого достаточно, поскольку дифференциальные и интегральные формы в каждом случае эквивалентны по теореме Кельвина–Стокса .

Введем плотность поляризации P , которая имеет следующую связь с E и D :

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,.}$

Далее введем плотность намагниченности M , которая имеет следующую связь с B и H :

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M} }$

и следующее соотношение к связанному току:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} },\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} ,}$

называется плотностью тока намагничивания , а

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}},}$

- плотность тока поляризации. Берем уравнение для B :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {\nabla } \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\\&=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }.\end{aligned}}}$

Следовательно, ссылаясь на определение связанного тока:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\end{aligned}}}$

как и должно было быть показано.

Закон Ампера в единицах СГС

В единицах СГС интегральная форма уравнения, включая поправку Максвелла, имеет вид

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$

где с — скорость света .

Дифференциальная форма уравнения (опять же, включая поправку Максвелла) имеет вид

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).}$

Смотрите также

• Закон Био–Савара
• Ток смещения
• Емкость
• Модель магнитного диполя Ампера
• Уравнение электромагнитной волны
• Уравнения Максвелла
• Закон индукции Фарадея
• Плотность поляризации
• Электрический ток
• Векторные исчисления
• Теорема Стокса

Примечания

1. Ампер никогда не использовал концепцию поля ни в одной из своих работ; см. Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Электродинамика Ампера: анализ значения и эволюции силы Ампера между элементами тока, вместе с полным переводом его шедевра: Теория электродинамических явлений, однозначно выведенная из опыта (PDF) . Монреаль, Квебек: Apeiron. гл. 15 стр. 221. ISBN 978-1-987980-03-5.«Закон Ампера для цепи» поэтому правильнее называть «законом Ампера–Максвелла». Он назван в честь Ампера из-за его вклада в понимание электрического тока. Максвелл не берет закон силы Ампера в качестве отправной точки при выводе любого из своих уравнений, хотя он упоминает закон силы Ампера в своем «Трактате об электричестве и магнетизме» т. 2, часть 4, гл. 2 (§§502–527) и 23 (§§845–866).
2. Клерк Максвелл, Джеймс (1890). «О физических силовых линиях». Нью-Йорк, Dover Publications.
3. Флейш, Дэниел (2008). Руководство для студентов по уравнениям Максвелла. Cambridge University Press. стр. 83. ISBN 9781139468473.
4. Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах. Princeton University Press. стр. 125. ISBN 9780691130187.
5. Кац, Дебора М. (2016). Физика для ученых и инженеров: основы и связи, расширенная версия. Cengage Learning. стр. 1093. ISBN 9781337364300.
6. Эрстед, ХК (1820). «Эксперименты по воздействию тока электричества на магнитные стрелки». Анналы философии . 16. Лондон: Болдуин, Краддок, Джой: 273.
7. HAM Snelders, "Открытие Эрстедом электромагнетизма" в Cunningham, Andrew Cunningham; Nicholas Jardine (1990). Романтизм и науки. Архив CUP. стр. 228. ISBN 0521356857.
8. Dhogal (1986). Основы электротехники, т. 1. Tata McGraw-Hill. стр. 96. ISBN 0074515861.
9. Клерк Максвелл, Джеймс (1890). «О силовых линиях Фарадея». Нью-Йорк, Dover Publications.
10. Knoepfel, Heinz E. (2000). Магнитные поля: всеобъемлющий теоретический трактат для практического использования. Wiley. стр. 4. ISBN 0-471-32205-9.
11. Оуэн, Джордж Э. (2003). Электромагнитная теория (переиздание издания 1963 года). Courier-Dover Publications. стр. 213. ISBN 0-486-42830-3.
12. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. стр. 238. ISBN 0-471-30932-X.
13. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson/Addison-Wesley. стр. 322–323. ISBN 0-13-805326-X.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
14. Оуэн, Джордж Э. (2003). Электромагнитная теория. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 285. ISBN 0-486-42830-3.
15. Биллингем, Дж.; Кинг, А.С. (2006). Волновое движение. Cambridge University Press. стр. 179. ISBN 0-521-63450-4.
16. Слейтер, Дж. К.; Фрэнк, Н. Х. (1969). Электромагнетизм (Переиздание издания 1947 г.). Courier Dover Publications. стр. 83. ISBN 0-486-62263-0.
17. Siegel, Daniel M. (2003). Инновации в электромагнитной теории Максвелла: молекулярные вихри, ток смещения и свет. Cambridge University Press. С. 96–98. ISBN 0-521-53329-5.
18. Клерк Максвелл, Джеймс (1861). "О физических силовых линиях" (PDF) . Философский журнал и научный журнал .
19. Например, см. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику. Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. 323. ISBN 0-13-805326-X.и Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию. Джонс и Бартлетт. стр. 204. ISBN 0-7637-3827-1.
20. Рогальский, Мирча С.; Палмер, Стюарт Б. (2006). Advanced University Physics. CRC Press. стр. 267. ISBN 1-58488-511-4.
21. Рогальский, Мирча С.; Палмер, Стюарт Б. (2006). Advanced University Physics. CRC Press. стр. 251. ISBN 1-58488-511-4.
22. Ток намагничивания можно выразить как ротор намагничивания, поэтому его дивергенция равна нулю и он не вносит вклад в уравнение непрерывности. См. ток намагничивания .

Дальнейшее чтение

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с законом Ампера на Wikimedia Commons
• MISN-0-138 Закон Ампера ( файл PDF ) Кирби Моргана для проекта PHYSNET.
• MISN-0-145 Уравнение Ампера–Максвелла; ток смещения (файл PDF) Дж. С. Ковача для проекта PHYSNET.
• Динамическая теория электромагнитного поля. Статья Максвелла 1864 года.