Ричард Дагоберт Брауэр (10 февраля 1901 — 17 апреля 1977) — ведущий немецкий и американский математик . Он работал в основном в области абстрактной алгебры , но внёс важный вклад в теорию чисел . Он был основателем теории модульных представлений .
Альфред Брауэр был братом Рихарда и был на семь лет старше. Они родились в еврейской семье. Оба интересовались наукой и математикой, но Альфред был ранен в бою во время Первой мировой войны. В детстве Рихард мечтал стать изобретателем и в феврале 1919 года поступил в Техническую высшую школу Берлин-Шарлоттенбург . Вскоре он перевелся в Берлинский университет . За исключением лета 1920 года, когда он учился в Университете Фрайбурга , он учился в Берлине, получив докторскую степень 16 марта 1926 года. Иссай Шур провел семинар и сформулировал задачу в 1921 году, над которой Альфред и Рихард работали вместе, и опубликовал результат. Задача также была решена Хайнцем Хопфом в то же время. Рихард написал свою диссертацию под руководством Шура, предложив алгебраический подход к неприводимым, непрерывным, конечномерным представлениям действительных ортогональных (вращательных) групп.
Ильза Каргер также изучала математику в Берлинском университете; она и Брауэр поженились 17 сентября 1925 года. Их сыновья Георг Ульрих (родился в 1927 году) и Фред Гюнтер (родился в 1932 году) также стали математиками. Брауэр начал свою преподавательскую карьеру в Кёнигсберге (ныне Калининград), работая помощником Конрада Кноппа . Брауэр изложил центральные алгебры с делением над совершенным полем, находясь в Кёнигсберге; классы изоморфизма таких алгебр образуют элементы введенной им группы Брауэра .
Когда в 1933 году к власти пришла нацистская партия , Чрезвычайный комитет по оказанию помощи перемещенным иностранным ученым принял меры, чтобы помочь Брауэру и другим еврейским ученым. [1] Брауэру предложили должность доцента в Университете Кентукки . Брауэр принял предложение и к концу 1933 года он уже был в Лексингтоне, штат Кентукки , преподавая на английском языке. [1] Ильза последовала за ним на следующий год с Джорджем и Фредом; брат Альфред добрался до Соединенных Штатов в 1939 году, но их сестра Элис погибла во время Холокоста . [1]
Герман Вейль пригласил Брауэра помочь ему в Институте перспективных исследований Принстона в 1934 году. Брауэр и Натан Якобсон отредактировали лекции Вейля «Структура и представление непрерывных групп» . Благодаря влиянию Эмми Нётер Брауэр был приглашен в Университет Торонто на должность преподавателя. Вместе со своим аспирантом Сесилом Дж. Несбиттом он разработал модульную теорию представлений , опубликованную в 1937 году. Роберт Стейнберг , Стивен Артур Дженнингс и Ральф Стэнтон также были учениками Брауэра в Торонто. Брауэр также проводил международные исследования с Тадаси Накаямой по представлениям алгебр. В 1941 году Висконсинский университет принимал приглашенного профессора Брауэра. В следующем году он посетил Институт перспективных исследований и Блумингтон, штат Индиана , где преподавал Эмиль Артин .
В 1948 году Брауэр переехал в Энн-Арбор, штат Мичиган , где он и Роберт М. Тралл внесли свой вклад в программу по современной алгебре в Мичиганском университете .
В 1952 году Брауэр поступил на работу в Гарвардский университет и вышел на пенсию в 1971 году. Среди его учеников были Дональд Джон Льюис , Дональд Пассман и И. Мартин Айзекс . Брауэр был избран в Американскую академию искусств и наук в 1954 году, [2] в Национальную академию наук США в 1955 году, [3] и Американское философское общество в 1974 году. [4] Брауэры часто путешествовали, чтобы увидеть своих друзей, таких как Рейнхольд Бэр , Вернер Вольфганг Рогозинский и Карл Людвиг Зигель .
Его имя носят несколько теорем, включая теорему индукции Брауэра , которая имеет приложения как в теории чисел, так и в теории конечных групп , и ее следствие — характеристика характеров Брауэра , которая является центральной в теории групповых характеров.
Теорема Брауэра –Фаулера , опубликованная в 1956 году, позднее дала значительный импульс классификации конечных простых групп , поскольку она подразумевала, что может существовать лишь конечное число конечных простых групп, для которых централизатор инволюции (элемент порядка 2) имеет определенную структуру.
Брауэр применил теорию модульных представлений для получения тонкой информации о групповых характерах, в частности, с помощью своих трех основных теорем . Эти методы были особенно полезны при классификации конечных простых групп с низкоранговыми силовскими 2-подгруппами . Теорема Брауэра–Судзуки показала, что никакая конечная простая группа не может иметь обобщенную кватернионную силовскую 2-подгруппу, а теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицировала конечные группы со сплетенными или квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами. Методы, разработанные Брауэром, также сыграли важную роль в вкладах других в программу классификации: например, теорема Горенштейна–Вальтера , классифицирующая конечные группы с диэдральной силовской 2-подгруппой, и теорема Глаубермана Z* . Теория блока с циклической дефектной группой , впервые разработанная Брауэром в случае, когда главный блок имеет дефектную группу порядка p , а затем разработанная в полной общности EC Dade , также имела несколько приложений к теории групп, например, к конечным группам матриц над комплексными числами в малой размерности. Дерево Брауэра — это комбинаторный объект, связанный с блоком с циклической дефектной группой, который кодирует много информации о структуре блока.
В 1970 году он был награжден Национальной медалью науки . [5]
Эдуард Штуд написал статью о гиперкомплексных числах для энциклопедии Клейна в 1898 году. Эта статья была расширена для французского издания Анри Картаном в 1908 году. К 1930-м годам возникла очевидная необходимость обновить статью Штуда, и Брауэру было поручено написать по теме проекта. Как оказалось, когда Брауэр подготовил свою рукопись в Торонто в 1936 году, хотя она была принята к публикации, вмешались политика и война. Тем не менее, Брауэр хранил свою рукопись в течение 1940-х, 1950-х и 1960-х годов, а в 1979 году она была опубликована [6] Университетом Окаямы в Японии . Она также появилась посмертно как статья № 22 в первом томе его Сборника статей . Его название было «Algebra der hyperkomplexen Zahlensysteme (Algebren)». В отличие от статей Study и Cartan, которые были исследовательскими, статья Brauer читается как современный абстрактный алгебраический текст с его универсальным охватом. Рассмотрим его введение:
Еще находясь в Кенигсберге в 1929 году, Брауэр опубликовал в Mathematische Zeitschrift статью «Über Systeme Hyperkomplexer Zahlen» [7], в которой основное внимание уделялось интегральным областям (Nullteilerfrei systeme) и теории поля , которую он использовал позже в Торонто.