Волчки Лагранжа, Эйлера и Ковалевской

Интегрируемые твердые тела в классической механике

Леонард Эйлер , Жозеф-Луи Лагранж и Софья Васильевна Ковалевская.

В классической механике вращение твердого тела , такого как волчок, под действием силы тяжести , в общем случае не является интегрируемой задачей . Однако существуют три известных случая, которые являются интегрируемыми: волчок Эйлера , волчок Лагранжа и волчок Ковалевской , которые на самом деле являются единственными интегрируемыми случаями, когда система подчиняется голономным связям . ^{[1] [2] [3]} Помимо энергии, каждый из этих волчков включает в себя две дополнительные константы движения , которые приводят к интегрируемости .

Волчок Эйлера описывает свободный волчок без какой-либо особой симметрии, движущийся в отсутствие какого-либо внешнего момента силы , и для которого неподвижной точкой является центр тяжести . Волчок Лагранжа является симметричным волчком, в котором два момента инерции одинаковы, а центр тяжести лежит на оси симметрии . Волчок Ковалевской ^{[4] [5]} является особым симметричным волчком с уникальным соотношением моментов инерции , которые удовлетворяют соотношению

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

То есть два момента инерции равны, третий вдвое меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости двух вырожденных главных осей).

Гамильтонова формулировка классических волчков

Конфигурация классического волчка ^[6] описывается во времени тремя главными осями , зависящими от времени , определяемыми тремя ортогональными векторами , и соответствующими моментами инерции , и и угловой скоростью относительно этих осей. В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами вектора углового момента вдоль главных осей ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

и z -компоненты трех главных осей,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Соотношения скобок Пуассона этих переменных определяются как

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Если положение центра масс задается как , то гамильтониан волчка задается как ${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

Уравнения движения тогда определяются как

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

Явно это и есть циклические перестановки индексов. $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$ $${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

Математическое описание фазового пространства

В математических терминах пространственная конфигурация тела описывается точкой на группе Ли , трехмерной группе вращения , которая является матрицей вращения из лабораторной системы отсчета в систему отсчета тела. Полное конфигурационное пространство или фазовое пространство — это кокасательное расслоение , с волокнами, параметризующими угловой момент в пространственной конфигурации . Гамильтониан — это функция на этом фазовом пространстве. ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle T^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle T_{R}^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle R}$

вершина Эйлера

Волчок Эйлера, названный в честь Леонарда Эйлера , представляет собой волчок без момента силы (например, волчок в свободном падении) с гамильтонианом

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Четыре константы движения — это энергия и три компонента момента импульса в лабораторной системе отсчета: ${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

вершина Лагранжа

Волчок Лагранжа, ^[7] названный в честь Жозефа-Луи Лагранжа , представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в точке, , с гамильтонианом ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Четыре константы движения - это энергия , составляющая момента импульса вдоль оси симметрии, момент импульса в направлении z . ${\displaystyle H_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

и величина n -вектора

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

Ковалевская топ

Волчок Ковалевской ^{[4] [5]} — симметричный волчок, в котором , а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии . Он был открыт Софьей Ковалевской в ​​1888 году и представлен в ее статье "Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixede", которая получила премию Бордена Французской академии наук в 1888 году. Гамильтониан равен ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$ ${\displaystyle I_{3}=I}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Четыре константы движения - энергия , инвариант Ковалевской ${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

где переменные определяются как ${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

компонент углового момента в направлении z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

и величина n -вектора

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Неголономные связи

Если ослабить ограничения, чтобы разрешить неголономные ограничения, то существуют и другие возможные интегрируемые волчки, помимо трех хорошо известных случаев. Неголономный волчок Горячева–Чаплыгина (введенный Д. Горячевым в 1900 г. ^[8] и проинтегрированный Сергеем Чаплыгиным в 1948 г. ^{[9] [10]} ) также интегрируем ( ). Его центр тяжести лежит в экваториальной плоскости . ^[11] ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

Смотрите также

• Физический портал

• Карданная подвеска

Ссылки

1. Оден, Мишель (1996), Волчки: курс по интегрируемым системам , Нью-Йорк: Cambridge University Press , ISBN 9780521779197.
2. Уиттекер, ET (1952). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел . Cambridge University Press. ISBN 9780521358835 . 
3. Строгац, Стивен (2019). Бесконечные силы. Нью-Йорк: Houghton Mifflin Harcourt. С. 287. ISBN 978-1786492968. Что еще важнее, она [Софья Васильевна Ковалевская] доказала, что никаких других разрешимых вершин не может существовать. Она нашла последнюю
4. Ковалевская, София (1889), «Sur le problème de la Rotary d'un Corps Solide autour d'un point fixe», Acta Mathematica (на французском языке), 12 : 177–232
5. Перелемов, AM (2002). Теорет. Мат. Физ. , Том 131, Номер 2, стр. 197–205. (на французском языке)
6. Герберт Голдштейн , Чарльз П. Пул и Джон Л. Сафко (2002). Классическая механика (3-е издание), Эддисон-Уэсли. ISBN 9780201657029 . 
7. Cushman, RH; Bates, LM (1997), "The Lagrange top", Global Aspects of Classical Integrable Systems , Базель: Birkhäuser, стр. 187–270, doi :10.1007/978-3-0348-8891-2_5, ISBN 978-3-0348-9817-1.
8. Горячев, Д. (1900). "О движении твердого материального тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = C", Матем. сб. , 21. (на русском языке) . Цитируется в Bechlivanidis & van Moerbek (1987) и Hazewinkel (2012).
9. Чаплыгин, СА (1948). «Новый случай вращения твердого тела, опертого в одной точке», Собрание сочинений , т. I, с. 118–124. М.: Гостехиздат. Цитируется в Bechlivanidis & van Moerbek (1987) и Hazewinkel (2012).
10. Bechlivanidis, C.; van Moerbek, P. (1987), «Волчок Горячева–Чаплыгина и решетка Тоды», Communications in Mathematical Physics , 110 (2): 317–324, Bibcode : 1987CMaPh.110..317B, doi : 10.1007/BF01207371, S2CID  119927045
11. Хазевинкель, Мишель; ред. (2012). Энциклопедия математики , стр. 271–2. Спрингер. ISBN 9789401512886 . 

Внешние ссылки

• Ковалевская Топ – из Мира Физики Эрика Вайсштейна
• Ковалевская Топ