Генератор Ван дер Поля

Колебательная динамическая система с нелинейным затуханием

В исследовании динамических систем осциллятор Ван дер Поля (названный в честь голландского физика Бальтазара ван дер Поля ) представляет собой неконсервативную колебательную систему с нелинейным затуханием . Она развивается во времени в соответствии с дифференциальным уравнением второго порядка , где x — координата положения , которая является функцией времени t , а μ — скалярный параметр, указывающий нелинейность и силу затухания. $${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0,}$$

Фазовый график осциллятора Ван дер Поля , где μ варьируется от 0,1 до 3,0. Зеленые линии — это x - нульклины .

Тот же график фазы осциллятора, но с преобразованием Льенара .

Осциллятор Ван дер Поля, смоделированный с помощью Brain Dynamics Toolbox ^[1]

Эволюция предельного цикла в фазовой плоскости . Предельный цикл начинается как окружность и с изменением μ становится все более острым. Пример релаксационного осциллятора .

История

Генератор Ван дер Поля был первоначально предложен голландским инженером-электриком и физиком Бальтазаром ван дер Полем , когда он работал в Philips . ^[2] Ван дер Поль обнаружил стабильные колебания, ^[3] которые он впоследствии назвал релаксационными колебаниями ^[4] и которые теперь известны как тип предельного цикла , в электрических цепях, использующих вакуумные лампы . Когда эти цепи приводятся в действие вблизи предельного цикла , они становятся увлекаемыми , т. е. управляющий сигнал тянет за собой ток. Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили в выпуске Nature за сентябрь 1927 года , что на определенных частотах привода был слышен нерегулярный шум , ^[5] который, как позже выяснилось, был результатом детерминированного хаоса . ^[6]

Уравнение Ван дер Поля имеет долгую историю использования как в физических , так и в биологических науках . Например, в биологии Фицхью ^[7] и Нагумо ^[8] расширили уравнение в плоском поле как модель для потенциалов действия нейронов . Уравнение также использовалось в сейсмологии для моделирования двух пластин в геологическом разломе , ^[9] и в исследованиях фонации для моделирования осцилляторов правой и левой голосовых связок . ^[10]

Двумерная форма

Теорема Льенара может быть использована для доказательства того, что система имеет предельный цикл. Применяя преобразование Льенара , где точка указывает на производную по времени, осциллятор Ван дер Поля можно записать в его двумерной форме: ^[11] ${\displaystyle y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x}$.

Другая часто используемая форма, основанная на преобразовании, приводит к: ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=y}$

${\displaystyle {\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x}$.

Результаты для нефорсированного осциллятора

Релаксационное колебание в осцилляторе Ван дер Поля без внешнего воздействия. Параметр нелинейного затухания равен μ = 5 .

^[12]

• Когда μ = 0 , т.е. нет функции затухания, уравнение принимает вид Это форма простого гармонического осциллятора , и всегда имеет место сохранение энергии . $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0.}$$

• При μ > 0 все начальные условия сходятся к глобально уникальному предельному циклу. Вблизи начала координат система неустойчива, а вдали от начала координат система затухает. ${\displaystyle x={\tfrac {dx}{dt}}=0,}$
• Осциллятор Ван дер Поля не имеет точного аналитического решения. ^[13] Однако такое решение существует для предельного цикла, если f ( x ) в уравнении Льенара является постоянной кусочно-линейной функцией.
• Период при малых μ имеет последовательное расширение. См. метод Пуанкаре–Линдстедта для вывода до порядка 2. См. главу 10 ^[14] для вывода до порядка 3 и ^[15] для численного вывода до порядка 164. $${\displaystyle T={\frac {2\pi }{1-\mu ^{2}/16+17\mu ^{4}/3072+O(\mu ^{6})}}.}$$
• При больших μ поведение осциллятора имеет цикл медленного нарастания и быстрого освобождения (цикл нарастания напряжения и освобождения напряжения, таким образом, релаксационное колебание ). Это легче всего увидеть в форме В этой форме осциллятор завершает один цикл следующим образом: $${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\!,\quad {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$$
  • Медленно поднимаемся по правой ветви кубической кривой от (2, –2/3) до (1, 2/3) . ${\displaystyle y=x-{\tfrac {x^{3}}{3}},}$
  • Быстро двигаемся к левой ветви кубической кривой, от (1, 2/3) до (–2, 2/3) .
  • Повторите два шага на левой ветке.
• Главный член в периоде цикла обусловлен медленным подъемом и нисходящим движением, которое можно вычислить как: Более высокие порядки периода цикла равны, где α ≈ 2,338 — наименьший корень Ai(– α ) = 0 , где Ai — функция Эйри . (Раздел 9.7 ^[16] ) ( ^[17] содержит вывод, но имеет опечатку 3 α на 2 α .) Это было выведено Анатолием Дородницыным . ^{[18] [19]} $${\displaystyle T=2\int dt=2\int \mu {\frac {dy}{x}}=2\mu \int _{2}^{1}{\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{x}}=(3-2\ln 2)\mu }$$ $${\displaystyle T=(3-2\ln 2)\mu +3\alpha \mu ^{-1/3}-{\frac {22}{9\mu }}\ln \mu +{\frac {0.0087\cdots }{\mu }}+O(\mu ^{-4/3}).}$$
• Амплитуда цикла равна ^[20] $${\displaystyle 2+{\frac {\alpha }{3}}\mu ^{-4/3}-{\frac {16}{27}}\mu ^{-2}\ln \mu +O(\mu ^{-2})}$$

Бифуркация Хопфа

По мере того, как μ движется от менее нуля к более нулю, спиральный сток в начале координат становится спиральным источником, и предельный цикл появляется «из ниоткуда» с радиусом два. Это происходит потому, что переход не является общим: когда ε = 0 , и дифференциальное уравнение становится линейным, и начало координат становится круговым узлом.

Зная, что в бифуркации Хопфа предельный цикл должен иметь размер, мы можем попытаться преобразовать это в бифуркацию Хопфа, используя замену переменных , которая дает Это действительно бифуркация Хопфа. ^[21] ${\displaystyle \propto \varepsilon ^{1/2},}$ ${\displaystyle u=\varepsilon ^{1/2}x,}$ $${\displaystyle {\ddot {u}}+u+u^{2}{\dot {u}}-\varepsilon {\dot {u}}=0}$$

Гамильтониан для осциллятора Ван дер Поля

Случайно выбранные начальные условия притягиваются к устойчивой орбите.

Можно также записать независимый от времени гамильтонов формализм для осциллятора Ван дер Поля, дополнив его четырехмерной автономной динамической системой с использованием вспомогательного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка следующим образом:

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0,}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\mu (1-x^{2}){\dot {y}}+y=0.}$

Обратите внимание, что динамика исходного осциллятора Ван дер Поля не затронута из-за односторонней связи между временными эволюциями переменных x и y . Можно показать, что гамильтониан H для этой системы уравнений имеет вид ^[22]

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})=p_{x}p_{y}+xy-\mu (1-x^{2})yp_{y},}$

где и — сопряженные импульсы, соответствующие x и y соответственно. Это может, в принципе, привести к квантованию осциллятора Ван дер Поля. Такой гамильтониан также связывает ^[23] геометрическую фазу системы предельного цикла, имеющей зависящие от времени параметры, с углом Ханнея соответствующей гамильтоновой системы. ${\displaystyle p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y}$ ${\displaystyle p_{y}={\dot {x}}}$

Квантовый осциллятор

Квантовый осциллятор Ван дер Поля, который является квантово-механической версией классического осциллятора Ван дер Поля, был предложен с использованием уравнения Линдблада для изучения его квантовой динамики и квантовой синхронизации. ^[24] Обратите внимание, что приведенный выше гамильтонов подход со вспомогательным уравнением второго порядка создает неограниченные траектории фазового пространства и, следовательно, не может быть использован для квантования осциллятора Ван дер Поля. В пределе слабой нелинейности (т. е. μ→ 0) осциллятор Ван дер Поля сводится к уравнению Стюарта–Ландау . Уравнение Стюарта–Ландау фактически описывает целый класс осцилляторов предельного цикла в слабонелинейном пределе. Форма классического уравнения Стюарта–Ландау намного проще, и, возможно, неудивительно, что его можно квантовать с помощью уравнения Линдблада, которое также проще, чем уравнение Линдблада для осциллятора Ван дер Поля. Квантовая модель Стюарта–Ландау сыграла важную роль в изучении квантовой синхронизации ^{[25] [26]} (где ее часто называли осциллятором Ван дер Поля, хотя ее нельзя однозначно связать с осциллятором Ван дер Поля). Связь между классической моделью Стюарта–Ландау ( μ→ 0) и более общими осцилляторами предельного цикла (произвольное μ ) также была продемонстрирована численно в соответствующих квантовых моделях. ^[24]

Вынужденный осциллятор Ван дер Поля

Хаотическое поведение в осцилляторе Ван дер Поля с синусоидальным воздействием. Параметр нелинейного затухания равен μ = 8,53 , а воздействие имеет амплитуду A = 1,2 и угловую частоту ω = 2π/10 .

Вынужденный, или управляемый, осциллятор Ван дер Поля берет «исходную» функцию и добавляет управляющую функцию A sin( ωt ), чтобы получить дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

где A — амплитуда или смещение волновой функции , а ω — ее угловая скорость .

Популярная культура

Электрическая цепь , включающая триод , в результате чего получается вынужденный генератор Ван дер Поля. ^[27] Цепь содержит: триод, резистор R , конденсатор C , связанный индуктор -набор с самоиндукцией L и взаимной индуктивностью M. В последовательной цепи RLC есть ток i , а в направлении анода триода («пластины») ток i _a , в то время как на управляющей сетке триода _есть напряжение ug . Генератор Ван дер Поля вынужден источником переменного напряжения E _s .

Автор Джеймс Глейк описал ламповый генератор Ван дер Поля в своей книге 1987 года «Хаос: создание новой науки» . ^[28] Согласно статье в New York Times , ^[29] Глейк получил современный электронный генератор Ван дер Поля от читателя в 1988 году.

Смотрите также

• Мэри Картрайт , британский математик, одна из первых, кто изучал теорию детерминированного хаоса, особенно применительно к данному осциллятору. ^[30]

Ссылки

1. Хайтманн, С., Брейкспир, М (2017–2022) Brain Dynamics Toolbox. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923
2. Картрайт, ML (1960). «Бальтазар Ван дер Поль». Журнал Лондонского математического общества . s1-35 (3). Wiley: 367–376. doi :10.1112/jlms/s1-35.3.367. ISSN  0024-6107.
3. Б. ван дер Пол: «Теория амплитуды свободных и вынужденных колебаний триода», Radio Review (позже Wireless World) 1 701–710 (1920)
4. Ван дер Поль, Балт. (1926). "О "релаксационных колебаниях"". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 2 (11). Informa UK Limited: 978–992. doi : 10.1080/14786442608564127. ISSN  1941-5982.
5. VAN DER POL, BALTH; VAN DER MARK, J. (1927). «Демножение частот». Nature . 120 (3019). Springer Science and Business Media LLC: 363–364. Bibcode :1927Natur.120..363V. doi :10.1038/120363a0. ISSN  0028-0836. S2CID  186244992.
6. Канамару, Т., «Осциллятор Ван дер Поля», Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
7. Фицхью, Ричард (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны». Biophysical Journal . 1 (6). Elsevier BV: 445–466. Bibcode : 1961BpJ.....1..445F. doi : 10.1016/s0006-3495(61)86902-6. ISSN  0006-3495. PMC 1366333. PMID 19431309  . 
8. Нагумо, Дж.; Аримото, С.; Ёсидзава, С. (1962). «Активная линия передачи импульсов, имитирующая нервный аксон». Труды IRE . 50 (10). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 2061–2070. doi :10.1109/jrproc.1962.288235. ISSN  0096-8390. S2CID  51648050.
9. Картрайт, Джулиан HE ; Эгилуз, Виктор М.; Эрнандес-Гарсия, Эмилио; Пиро, Оресте (1999). «Динамика упругих возбудимых сред». Международный журнал бифуркации и хаоса . 09 (11): 2197–2202. arXiv : чао-дин/9905035 . Бибкод : 1999IJBC....9.2197C. дои : 10.1142/s0218127499001620. ISSN  0218-1274. S2CID  9120223.
10. Лусеро, Хорхе К.; Шентген, Жан (2013). Моделирование асимметрии голосовых складок с помощью связанных осцилляторов Ван дер Поля. Труды совещаний по акустике. Т. 19. стр. 060165. doi :10.1121/1.4798467. ISSN  1939-800X.
11. Каплан, Д. и Гласс, Л., Понимание нелинейной динамики , Springer, 240–244, (1995).
12. Гримшоу, Р., Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения , CRC Press , 153–163, (1993), ISBN 0-8493-8607-1 . 
13. Панайотунакос, DE; Панайотунаку, ND; Вакакис, AF (2003-09-01). «Об отсутствии аналитических решений осциллятора Ван дер Поля». ZAMM . 83 (9). Wiley: 611–615. Bibcode : 2003ZaMM...83..611P. doi : 10.1002/zamm.200310040. ISSN  0044-2267. S2CID  120504403.
14. Ферхюльст, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы. Universitext. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-61453-8. ISBN 978-3-540-60934-6.
15. Андерсен, CM; Гир, Джеймс Ф. (июнь 1982 г.). «Разложения в степенные ряды для частоты и периода предельного цикла уравнения Ван дер Поля». Журнал SIAM по прикладной математике . 42 (3): 678–693. doi :10.1137/0142047. ISSN  0036-1399.
16. Бендер, Карл М. (1999). Расширенные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений. Стивен А. Орсзаг. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-3069-2. OCLC  851704808.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
17. Гримшоу, Р. (1993). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 161–163. ISBN 0-8493-8607-1. OCLC  28275539.
18. А, Дородницын А. (1947). «Асимптотическое решение уравнения Ван дер Поля». Прикл. мат. механика . 11 : 313–328.
19. Дородницын, А. А. Асимптотическое решение уравнения Ван дер Поля. Научная библиотека NIST. Национальное бюро стандартов.
20. Зонневельд, JA (1966). «Периодические решения уравнения Ван дер Поля». Indagationes Mathematicae (Труды) . 69 : 620–622. дои : 10.1016/s1385-7258(69)50068-x . ISSN  1385-7258.
21. Строгац, Стивен (2019). "Пример 8.4.1". Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (2-е изд.). Бока-Ратон. ISBN 978-0-367-09206-1. OCLC  1112373147.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
22. Шах, Тирт; Чаттопадхай, Рохиташва; Вайдья, Кедар; Чакраборти, Сагар (2015). «Консервативная теория возмущений для неконсервативных систем». Physical Review E. 92 ( 6): 062927. arXiv : 1512.06758 . Bibcode : 2015PhRvE..92f2927S. doi : 10.1103/physreve.92.062927. PMID  26764794. S2CID  14930486.
23. Чаттопадхай, Рохиташва; Шах, Тирт; Чакраборти, Сагар (2018). «Нахождение угла Ханнея в диссипативных колебательных системах с помощью консервативной теории возмущений». Physical Review E. 97 ( 6): 062209. arXiv : 1610.05218 . Bibcode : 2018PhRvE..97f2209C. doi : 10.1103/PhysRevE.97.062209. PMID  30011548. S2CID  51635019.
24. Chia, A.; Kwek, LC; Noh, C. (2020-10-16). "Релаксационные колебания и увлечение частот в квантовой механике". Physical Review E. 102 ( 4): 042213. arXiv : 1711.07376 . Bibcode : 2020PhRvE.102d2213C. doi : 10.1103/physreve.102.042213. ISSN  2470-0045. PMID  33212685. S2CID  224801468.
25. Вальтер, Стефан; Нанненкомп, Андреас; Брудер, Кристоф (2014-03-06). "Квантовая синхронизация управляемого самоподдерживающегося осциллятора". Physical Review Letters . 112 (9): 094102. arXiv : 1307.7044 . Bibcode : 2014PhRvL.112i4102W. doi : 10.1103/physrevlett.112.094102. ISSN  0031-9007. PMID  24655255. S2CID  7950471.
26. Ли, Тони Э.; Садегпур, ХР (2013-12-04). «Квантовая синхронизация квантовых осцилляторов Ван дер Поля с захваченными ионами». Physical Review Letters . 111 (23): 234101. arXiv : 1306.6359 . Bibcode : 2013PhRvL.111w4101L. doi : 10.1103/physrevlett.111.234101. ISSN  0031-9007. PMID  24476274. S2CID  33622111.
27. K. Tomita (1986): "Периодически вынужденные нелинейные осцилляторы". В: Хаос , под ред. Аруна В. Холдена. Manchester University Press, ISBN 0719018110 , стр. 213–214. 
28. Глейк, Джеймс (1987). Хаос: Создание новой науки . Нью-Йорк: Penguin Books. С. 41–43. ISBN 0-14-009250-1.
29. Колман, Дэвид (11 июля 2011 г.). «Нет тишины без шума». New York Times . Получено 11 июля 2011 г.
30. Картрайт, М. Л .; Литтлвуд, Дж. Э. (1945). «О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка: I. Уравнение y¨ − k (1-y 2 )y˙ + y = b λk cos(λl + α), k Large». Журнал Лондонского математического общества . s1-20 (3). Wiley: 180–189. doi :10.1112/jlms/s1-20.3.180. ISSN  0024-6107.

Внешние ссылки

• «Уравнение Ван дер Поля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Генератор Ван дер Поля на Scholarpedia
• Интерактивные демонстрации осциллятора Ван дер Поля, архив 2017-02-14 на Wayback Machine