График полюс-ноль

Диаграмма, показывающая особенности передаточной функции данной системы управления

В математике , обработке сигналов и теории управления график полюсов и нулей представляет собой графическое представление рациональной передаточной функции в комплексной плоскости , которое помогает передать определенные свойства системы, такие как:

• Стабильность
• Причинно-следственная система / антипричинно-следственная система
• Регион конвергенции (РОК)
• Минимальная фаза /неминимальная фаза

График полюсов и нулей показывает расположение полюсов и нулей передаточной функции динамической системы , такой как контроллер, компенсатор, датчик, эквалайзер, фильтр или канал связи, на комплексной плоскости. По соглашению полюса системы обозначаются на графике знаком X, а нули — кружком или знаком O.

График полюсов и нулей строится на плоскости комплексной частотной области , которая может представлять как непрерывную, так и дискретную во времени систему:

• Системы с непрерывным временем используют преобразование Лапласа и отображаются в s-плоскости : ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$
  • Действительные частотные компоненты расположены вдоль его вертикальной оси (воображаемая линия , где ) ${\displaystyle s{=}j\omega }$ ${\displaystyle \sigma {=}0}$
• Дискретные системы используют Z-преобразование и отображаются в z-плоскости : ${\displaystyle z=Ae^{j\phi }}$
  • Действительные компоненты частоты находятся вдоль единичной окружности

Системы непрерывного действия

В общем случае рациональная передаточная функция для непрерывной во времени системы LTI имеет вид:

$${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}$$

где

• ${\displaystyle B}$и являются полиномами по , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle M}$- порядок полинома числителя,
• ${\displaystyle b_{m}}$- ^-й коэффициент полинома числителя, ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$— порядок полинома знаменателя, а
• ${\displaystyle a_{n}}$- ^-й коэффициент полинома знаменателя. ${\displaystyle n}$

Один из них или оба могут быть равны нулю, но в реальных системах должно быть так, что ; в противном случае усиление было бы неограниченным на высоких частотах. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\leq N}$

Полюса и нули

• нули системы являются корнями полинома числителя: такие, что $${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}}$$ $${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}$$
• полюса системы являются корнями полинома знаменателя: такие, что $${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}}$$ $${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}$$

Регион конвергенции

Область сходимости (ROC) для данной функции непрерывного преобразования представляет собой полуплоскость или вертикальную полосу, каждая из которых не содержит полюсов. В общем случае ROC не является уникальной, и конкретная ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система каузальной или антикаузальной.

• Если ROC включает мнимую ось , то система является устойчивой по принципу ограниченного входа и ограниченного выхода (BIBO) .
• Если ROC простирается вправо от полюса с наибольшей действительной частью (но не на бесконечность), то система является причинной.
• Если ROC простирается влево от полюса с наименьшей действительной частью (но не до отрицательной бесконечности), то система является антикаузальной.

ROC обычно выбирается с учетом мнимой оси, поскольку для большинства практических систем важно иметь устойчивость BIBO .

Пример

$${\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}}$$

Эта система не имеет (конечных) нулей и два полюса: и $${\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j}$$ $${\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j}$$

График полюс-ноль будет следующим:

Обратите внимание, что эти два полюса являются комплексно сопряженными , что является необходимым и достаточным условием для наличия действительных коэффициентов в дифференциальном уравнении, представляющем систему.

Системы с дискретным временем

В общем случае рациональная передаточная функция для дискретной системы LTI имеет вид:

$${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$$

где

• ${\displaystyle M}$- порядок полинома числителя,
• ${\displaystyle b_{m}}$- ^-й коэффициент полинома числителя, ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$— порядок полинома знаменателя, а
• ${\displaystyle a_{n}}$- ^-й коэффициент полинома знаменателя. ${\displaystyle n}$

Один из них или оба могут быть равны нулю. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Полюса и нули

• ${\displaystyle z=\beta _{m}}$такие, что являются нулями системы ${\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0}$
• ${\displaystyle z=\alpha _{n}}$такие, что являются полюсами системы. ${\displaystyle Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0}$

Регион конвергенции

Область сходимости (ROC) для данной функции передачи в дискретном времени представляет собой диск или кольцо , не содержащее неотмененных полюсов. В общем случае ROC не является уникальной, и конкретная ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система каузальной или антикаузальной.

• Если ROC включает единичную окружность , то система является устойчивой с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) .
• Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей (но не бесконечной) величиной, то система имеет правостороннюю импульсную характеристику. Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей величиной и нет полюса на бесконечности, то система является причинной.
• Если ROC простирается внутрь от полюса с наименьшей (ненулевой) величиной, то система является антикаузальной.

ROC обычно выбирается с учетом единичной окружности, поскольку для большинства практических систем важно иметь устойчивость BIBO .

Пример

Если и полностью факторизованы, их решение можно легко построить в z-плоскости . Например, если задана следующая передаточная функция: ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle Q(z)}$ $${\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}$$

Единственный (конечный) ноль расположен в точке: , а два полюса расположены в точке: , где — мнимая единица . ${\displaystyle z=-2}$ ${\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2}}}$ ${\displaystyle j}$

График полюс-ноль будет выглядеть следующим образом:

Смотрите также

• Корневой локус
• Преобразование Лапласа
• Z-преобразование
• Рациональная функция

Библиография

• Хааг, Майкл (22 июня 2005 г.). «Понимание графиков полюса/нуля на Z-плоскости». OpenStax CNX . Проверено 9 июня 2018 г.^{[ мертвая ссылка ]}
• Эрик В. Вайсштейн . "Z-преобразование". MathWorld . Получено 24 января 2010 г.