Джулия сет

Фрактальные множества в сложной динамике математики

Набор Джулии

Увеличьте изображение множества Жюлиа в комплексной z-плоскости с комплексной полиномиальной функцией второй степени и параметрами c _re = c _im = -0,5251993
${\displaystyle p(z)=z^{2}+c}$

Трехмерные сечения через (четырехмерное) множество Жюлиа функции на кватернионах

В сложной динамике множество Жюлиа и множество Фату — это два дополнительных множества («кружева» Жюлиа и «пыль» Фату), определяемых из функции . Неформально множество Фату функции состоит из значений, обладающих тем свойством, что все близлежащие значения ведут себя одинаково при повторной итерации функции, а множество Жюлиа состоит из значений, таких, что произвольно малое возмущение может вызвать резкие изменения в последовательности итерированных значений функции. Таким образом, поведение функции на множестве Фату является «регулярным», в то время как на множестве Жюлиа ее поведение является « хаотическим ».

Множество Жюлиа функции   f   обычно обозначается , а множество Фату обозначается ^[a]. Эти множества названы в честь французских математиков Гастона Жюлиа ^[1] и Пьера Фату ^[2], чьи работы положили начало изучению сложной динамики в начале 20 века. ${\displaystyle \operatorname {J} (f),}$ ${\displaystyle \operatorname {F} (f).}$

Формальное определение

Пусть будет непостоянной голоморфной функцией из сферы Римана на себя. Такие функции являются в точности непостоянными комплексными рациональными функциями , то есть, где и являются комплексными многочленами . Предположим, что p и q не имеют общих корней , и по крайней мере один имеет степень больше 1. Тогда существует конечное число открытых множеств , которые остаются инвариантными относительно и таковы, что: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$ ${\displaystyle p(z)}$ ${\displaystyle q(z)}$ ${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$ ${\displaystyle f(z)}$

1. Объединение множеств плотно на плоскости и ${\displaystyle F_{i}}$
2. ${\displaystyle f(z)}$ведет себя регулярно и одинаково на каждом из множеств . ${\displaystyle F_{i}}$

Последнее утверждение означает, что концы последовательностей итераций, порожденных точками , либо являются точно тем же самым множеством, которое тогда является конечным циклом, либо они являются конечными циклами круговых или кольцевых множеств, которые лежат концентрически. В первом случае цикл является притягивающим , во втором случае он нейтрален . ${\displaystyle F_{i}}$

Эти множества являются областями Фату для , а их объединение является множеством Фату для . Каждая из областей Фату содержит по крайней мере одну критическую точку для , то есть (конечную) точку z, удовлетворяющую , или если степень числителя по крайней мере на два больше степени знаменателя , или если для некоторого c и рациональной функции, удовлетворяющей этому условию. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f'(z)=0}$ ${\displaystyle f(z)=\infty }$ ${\displaystyle p(z)}$ ${\displaystyle q(z)}$ ${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$ ${\displaystyle g(z)}$

Дополнением к является множество Жюлиа . Если все критические точки являются предпериодическими, то есть они не являются периодическими, но в конечном итоге попадают на периодический цикл, то является всей сферой. В противном случае является нигде не плотным множеством (без внутренних точек) и несчетным множеством (той же мощности, что и действительные числа). Подобно , остается инвариантным при , и на этом множестве итерация является отталкивающей, что означает, что для всех w в окрестности z (в пределах ). Это означает, что ведет себя хаотически на множестве Жюлиа. Хотя в множестве Жюлиа есть точки, последовательность итераций которых конечна, существует только счетное число таких точек (и они составляют бесконечно малую часть множества Жюлиа). Последовательности, генерируемые точками вне этого множества, ведут себя хаотически, явление, называемое детерминированным хаосом . ${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|z-w|}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Было проведено обширное исследование множества Фату и множества Жюлиа итерированных рациональных функций , известных как рациональные карты. Например, известно, что множество Фату рациональной карты имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечно много компонентов . ^[3] Каждый компонент множества Фату рациональной карты можно отнести к одному из четырех различных классов . ^[4]

Эквивалентные описания множества Жюлиа

• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$— наименьшее замкнутое множество, содержащее не менее трех точек, которое полностью инвариантно относительно f .
• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$является замыканием множества отталкивающихся периодических точек .
• Для всех точек, кроме двух, множество Жюлиа является множеством предельных точек полной обратной орбиты (это предполагает простой алгоритм построения множеств Жюлиа, см. ниже). ${\displaystyle \;z\in X\;,}$ ${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z).}$
• Если f — целая функция , то — граница множества точек, которые сходятся к бесконечности при итерации. ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$
• Если f — многочлен, то — граница заполненного множества Жюлиа ; то есть тех точек, орбиты которых при итерациях f остаются ограниченными. ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$

Свойства множеств Жюлиа и Фату

Множество Жюлиа и множество Фату функции f полностью инвариантны относительно итераций голоморфной функции f : ^[5]

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).}$

Примеры

Для множества Жюлиа это единичная окружность и на ней итерация задается удвоением углов (операция, которая является хаотичной для точек, аргумент которых не является рациональной дробью ). Есть две области Фату: внутренняя и внешняя часть окружности, с итерацией к 0 и ∞ соответственно. ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Для множества Жюлиа это отрезок прямой между −2 и 2. Существует одна область Фату : точки, не лежащие на отрезке прямой, итерируются в направлении ∞. (За исключением сдвига и масштабирования области, эта итерация эквивалентна на единичном интервале, который обычно используется в качестве примера хаотической системы.) ${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$ ${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$

Функции f и g имеют вид , где c — комплексное число. Для такой итерации множество Жюлиа в общем случае не является простой кривой, а является фракталом, и для некоторых значений c оно может принимать удивительные формы. Смотрите рисунки ниже. ${\displaystyle z^{2}+c}$

Множество Жюлиа (белого цвета) для рациональной функции, связанной с методом Ньютона для f  : z → z ³ −1. Раскраска множества Фату в красные, зеленые и синие тона в соответствии с тремя аттракторами (тремя корнями f ).

Для некоторых функций f ( z ) мы можем заранее сказать, что множество Жюлиа является фракталом, а не простой кривой. Это происходит из-за следующего результата об итерациях рациональной функции:

Теорема  —  Каждая из областей Фату имеет одну и ту же границу, которая, следовательно, является множеством Жюлиа. ^{[ необходима цитата ]}

Это означает, что каждая точка множества Жюлиа является точкой накопления для каждой из областей Фату. Поэтому, если имеется более двух областей Фату, каждая точка множества Жюлиа должна иметь точки более чем двух различных открытых множеств, бесконечно близких, и это означает, что множество Жюлиа не может быть простой кривой. Это явление происходит, например, когда f ( z ) является итерацией Ньютона для решения уравнения : ${\displaystyle \;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;}$

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.}$

На изображении справа показан случай n = 3.

Квадратичные многочлены

Очень популярная сложная динамическая система задается семейством комплексных квадратичных многочленов , частным случаем рациональных отображений . Такие квадратичные многочлены могут быть выражены как

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}$

где c — комплексный параметр. Зафиксируем некоторое достаточно большое значение, чтобы (например, если c находится в множестве Мандельброта , то мы можем просто позволить ) Тогда заполненное множество Жюлиа для этой системы является подмножеством комплексной плоскости, заданной формулой ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|.}$ ${\displaystyle |c|\leq 2,}$ ${\displaystyle R=2~.}$

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C} :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,}$

где — n -я итерация функции . Множество Жюлиа этой функции является границей . ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$ ${\displaystyle f_{c}(z).}$ ${\displaystyle J(f_{c})}$ ${\displaystyle K(f_{c})}$

• 
  Джулия устанавливает , где a находится в диапазоне от 0 до ${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia},}$ ${\displaystyle 2\pi }$
• Видео Джулии, как слева
• 
  Заполненное множество Жюлиа для f _c , c = 1 − φ , где φ — золотое сечение
• 
  Множество Жюлиа для f _c , c = ( φ − 2) + ( φ − 1) i = −0,4 + 0,6 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,285 + 0 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,285 + 0,01 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,45 + 0,1428 i
• 
  Множество Жюлиа для f _c , c = −0,70176 − 0,3842 i
• 
  Набор Жюлиа для f _c , c = −0,835 − 0,2321 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = −0,8 + 0,156 i
• 
  Набор Жюлиа для f _c , v c = −0,7269 + 0,1889 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,8 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,35 + 0,35 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,4 + 0,4 i
• 
  Коллекция множеств Жюлиа, разложенных в сетке 100 × 100 таким образом, что центр каждого изображения соответствует той же позиции в комплексной плоскости, что и значение множества. При такой разметке общее изображение напоминает фотографическую мозаику, изображающую множество Мандельброта .

Параметрическая плоскость квадратичных многочленов, то есть плоскость возможных значений c , порождает знаменитое множество Мандельброта . Действительно, множество Мандельброта определяется как множество всех c, таких что является связным . Для параметров вне множества Мандельброта множество Жюлиа является пространством Кантора : в этом случае его иногда называют пылью Фату . ${\displaystyle J(f_{c})}$

Во многих случаях множество Жюлиа для c выглядит как множество Мандельброта в достаточно малых окрестностях c . Это справедливо, в частности, для так называемых параметров Мисюревича , т.е. параметров c , для которых критическая точка является предпериодической. Например:

• При c = i , более коротком переднем пальце передней части стопы, набор Джулии выглядит как разветвленная молния.
• При c = −2, кончике длинного остроконечного хвоста, множество Жюлиа представляет собой отрезок прямой линии.

Другими словами, множества Жюлиа локально подобны вокруг точек Мисюревича . ^[6] ${\displaystyle J(f_{c})}$

Обобщения

Определение множеств Жюлиа и Фату легко переносится на случай некоторых отображений, образ которых содержит их область определения; в частности, трансцендентных мероморфных функций и отображений конечного типа Адама Эпштейна .

Множества Жюлиа также часто определяются при изучении динамики нескольких комплексных переменных.

Псевдокод

Нижеприведенные реализации псевдокода жестко кодируют функции для каждого фрактала. Рассмотрите возможность реализации операций с комплексными числами , чтобы обеспечить более динамичный и повторно используемый код.

Псевдокод для обычных множеств Жюлиа

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

R = радиус выхода # выбираем R > 0 так, чтобы R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)    для каждого пикселя ( x , y ) на экране выполните : { zx = масштабированная x - координата пикселя ; # (масштаб должен быть между -R и R) # zx представляет действительную часть z. zy = масштабированная y - координата пикселя ; # ( масштаб должен быть между -R и R) # zy представляет мнимую часть z.                            итерация = 0 ; макс_итерация = 1000 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 И итерация < макс_итерация ) { xtemp = zx * zx - zy * zy ; zy = 2 * zx * zy + cy ; zx = xtemp + cx ; итерация = итерация + 1 ; } if ( итерация == макс_итерация ) вернуть черный ; иначе вернуть итерацию ; }                                                              

Псевдокод для многоэлементных наборов Julia

${\displaystyle f(z)=z^{n}+c}$

R = радиус выхода # выбираем R > 0 так, чтобы R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)    для каждого пикселя ( x , y ) на экране , выполните : { zx = масштабированная x - координата пикселя ; # (масштаб должен быть между -R и R) zy = масштабированная y - координата пикселя ; # ( масштаб должен быть между -R и R) iteration = 0 ; max_iteration = 1000 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND iteration < max_iteration ) { xtmp = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * cos ( n * atan2 ( zy , zx )) + cx ; zy = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * sin ( n * atan2 ( zy , zx )) + cy ; zx = xtmp ; iteration = iteration + 1 ; } если ( итерация == max_iteration ) вернуть черный цвет ; иначе вернуть итерацию ; }                                                                                                            

Другим рекомендуемым вариантом является уменьшение цветовых полос между итерациями с помощью формулы перенормировки для итерации. ^[7]

Такая формула дается как,

${\displaystyle mu=k+1-{\frac {\log {\log {|z_{k}|}}}{\log {n}}}}$

${\displaystyle \forall f_{c,n}(z)=z^{n}+{\text{lower power terms}}+c}$

где — итерация выхода, ограниченная некоторым таким, что и , а — величина последней итерации перед выходом. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\leq k<K}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |z_{k}|}$

Это можно реализовать очень просто, вот так:

# просто замените последние 4 строки кода из последнего примера на эти строки кода:если ( итерация == max_iteration ) вернуть черный цвет ; иначе abs_z = zx * zx + zy * zy ; вернуть итерацию + 1 - log ( log ( abs_z )) / log ( n );                    

Разница показана ниже с помощью множества Жюлиа, определенного как . ${\displaystyle f_{c,2}(z)}$ ${\displaystyle c=-0.835-0.321i}$

Комплект Джулия с цветной полосой и без

• 
  С цветной полосой
• 
  Без цветной маркировки

Потенциальная функция и действительное число итераций

Множество Жюлиа для представляет собой единичную окружность, а на внешней области Фату потенциальная функция φ ( z ) определяется как φ ( z ) = log| z |. Эквипотенциальные линии для этой функции представляют собой концентрические окружности. Как мы имеем ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

где — последовательность итераций, порожденная z . Для более общей итерации было доказано, что если множество Жюлиа связно (то есть, если c принадлежит (обычному) множеству Мандельброта), то существует биголоморфное отображение ψ между внешней областью Фату и внешней частью единичной окружности, такое что . ^[8] Это означает, что потенциальная функция на внешней области Фату, определяемая этим соответствием, задается как: ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

Эта формула имеет смысл также, если множество Жюлиа не связно, так что мы для всех c можем определить потенциальную функцию на области Фату, содержащей ∞, с помощью этой формулы. Для общей рациональной функции f ( z ) такой, что ∞ является критической точкой и неподвижной точкой, то есть такой, что степень m числителя по крайней мере на два больше степени n знаменателя, мы определяем потенциальную функцию на области Фату, содержащей ∞, следующим образом:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

где d = m − n — степень рациональной функции. ^[9]

Если N — очень большое число (например, 10 ¹⁰⁰ ), а k — первый номер итерации, такой что , то имеем: ${\displaystyle |z_{k}|>N}$

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

для некоторого действительного числа , которое следует рассматривать как действительное число итераций , и мы имеем, что: ${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

где последнее число находится в интервале [0, 1).

Для итерации к конечному притягивающему циклу порядка r имеем, что если - точка цикла, то ( r -кратная композиция), а число ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

есть притяжение цикла. Если w — точка очень близкая и w ′ — это w, повторяемое r раз, то мы имеем, что ${\displaystyle z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

Следовательно, число почти не зависит от k . Определим потенциальную функцию на области Фату следующим образом: ${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

Если ε — очень малое число, а k — первый номер итерации, такой что , то имеем: ${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

для некоторого действительного числа , которое следует рассматривать как действительное число итераций, и мы имеем, что: ${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

Если притяжение равно ∞, что означает, что цикл является сверхпритягивающим , что снова означает, что одна из точек цикла является критической точкой, мы должны заменить α на

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

где w ′ — это w, повторенное r раз, а формула для φ ( z ) выглядит следующим образом:

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

И теперь реальное число итераций определяется по формуле:

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

Для раскрашивания нам необходимо иметь циклическую шкалу цветов (построенную математически, например) и содержащую H цветов, пронумерованных от 0 до H −1 ( например, H = 500). Мы умножаем действительное число на фиксированное действительное число, определяющее плотность цветов на картинке, и берем целую часть этого числа по модулю H. ${\displaystyle \nu (z)}$

Определение потенциальной функции и наш способ раскраски предполагают, что цикл является притягивающим, то есть не нейтральным. Если цикл нейтрален, мы не можем раскрасить область Фату естественным образом. Поскольку конечная точка итерации — это вращательное движение, мы можем, например, раскрасить минимальное расстояние от цикла, оставшееся фиксированным итерацией.

Линии поля

Эквипотенциальные линии для итерации к бесконечности

Линии поля для итерации формы ${\displaystyle {\frac {(1-z^{3}/6)}{(z-z^{2}/2)^{2}}}+c}$

В каждой области Фату (которая не является нейтральной) имеются две системы линий, ортогональных друг другу: эквипотенциальные линии (для потенциальной функции или действительного числа итераций) и линии поля .

Если мы раскрасим область Фату в соответствии с номером итерации (а не реальным номером итерации , как определено в предыдущем разделе), полосы итерации покажут ход эквипотенциальных линий. Если итерация направлена ​​к ∞ (как в случае с внешней областью Фату для обычной итерации ), мы можем легко показать ход линий поля, а именно, изменяя цвет в зависимости от того, находится ли последняя точка в последовательности итераций выше или ниже оси x (первая картинка), но в этом случае (точнее: когда область Фату является сверхпритягивающей) мы не можем нарисовать линии поля когерентно - по крайней мере, не тем методом, который мы здесь описываем. В этом случае линия поля также называется внешним лучом . ${\displaystyle \nu (z)}$ ${\displaystyle z^{2}+c}$

Пусть z будет точкой в ​​притягивающей области Фату. Если мы итерируем z большое количество раз, конечная точка последовательности итераций будет конечным циклом C , а область Фату (по определению) является множеством точек, последовательность итераций которых сходится к C . Линии поля выходят из точек C и из (бесконечного числа) точек, которые итерируются в точку C . И они заканчиваются на множестве Жюлиа в точках, которые не являются хаотическими (то есть порождают конечный цикл). Пусть r будет порядком цикла C (его числом точек), и пусть будет точкой в ​​C . Мы имеем (r-кратную композицию), и мы определяем комплексное число α как ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

Если точки C равны , α — произведение чисел r . Действительное число 1/|α| — это притяжение цикла, и наше предположение о том, что цикл не является ни нейтральным, ни сверхпритягивающим, означает, что 1 < ⁠ ${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$ ${\displaystyle f'(z_{i})}$1/| α |⁠ < ∞ . Точкаявляется неподвижной точкой для, и вблизи этой точки отображениеимеет (в связи с линиями поля) характер вращения с аргументом β от α (то есть). ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$ ${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$ ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$

Чтобы раскрасить область Фату, мы выбрали малое число ε и остановили последовательности итераций , когда , и мы раскрасили точку z в соответствии с числом k (или действительным числом итераций, если мы предпочитаем плавную раскраску). Если мы выберем направление из , заданное углом θ , то линия поля, выходящая из в этом направлении, состоит из точек z таких, что аргумент ψ числа удовлетворяет условию, что ${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$ ${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

Ведь если мы пройдем полосу итерации в направлении линий поля (и от цикла), то число итераций k увеличится на 1, а число ψ увеличится на β, поэтому число будет постоянным вдоль линии поля. ${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$

Картины в линиях поля для итерации формы ${\displaystyle z^{2}+c}$

Раскраска линий поля области Фату означает, что мы раскрашиваем пространства между парами линий поля: мы выбираем ряд регулярно расположенных направлений, исходящих из , и в каждом из этих направлений мы выбираем два направления вокруг этого направления. Поскольку может случиться, что две линии поля пары не заканчиваются в одной и той же точке множества Жюлиа, наши раскрашенные линии поля могут разветвляться (бесконечно) по пути к множеству Жюлиа. Мы можем раскрашивать на основе расстояния до центральной линии линии поля, и мы можем смешивать эту раскраску с обычной раскраской. Такие картинки могут быть очень декоративными (вторая картинка). ${\displaystyle z^{*}}$

Цветная линия поля (область между двумя линиями поля) делится полосами итерации, и такую ​​часть можно поставить в однозначное соответствие с единичным квадратом: одна координата (вычисляется из) расстояния от одной из ограничивающих линий поля, другая (вычисляется из) расстояния от внутренней из ограничивающих полос итерации (это число является нецелой частью действительного числа итераций). Таким образом, мы можем поместить картинки в линии поля (третья картинка).

Построение множества Жюлиа

Бинарное разложение интерьера в случае внутреннего угла 0

Методы:

• Метод оценки расстояния для множества Жюлиа (DEM/J)
• Метод обратной итерации (МИ)

Использование обратной итерации (ИИ)

График множества Жюлиа, сгенерированный с использованием случайного IIM

График множества Жюлиа, созданный с помощью MIIM

Как упоминалось выше, множество Жюлиа можно найти как множество предельных точек множества прообразов (по сути) любой заданной точки. Поэтому мы можем попытаться построить множество Жюлиа заданной функции следующим образом. Начнем с любой точки z, которая , как мы знаем, находится в множестве Жюлиа, например, отталкивающей периодической точки, и вычислим все прообразы z при некоторой высокой итерации f . ${\displaystyle f^{n}}$

К сожалению, поскольку число итерированных прообразов растет экспоненциально, это невыполнимо с вычислительной точки зрения. Однако мы можем настроить этот метод, аналогично методу "случайной игры" для итерированных систем функций . То есть, на каждом шаге мы выбираем случайным образом один из обратных образов f .

Например, для квадратного многочлена f _c обратная итерация описывается следующим образом:

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

На каждом этапе случайным образом выбирается один из двух квадратных корней.

Обратите внимание, что некоторые части множества Жюлиа довольно труднодоступны с помощью обратного алгоритма Жюлиа. По этой причине необходимо модифицировать IIM/J (он называется MIIM/J) или использовать другие методы для получения лучших изображений.

Использование ЦМР/J

• Изображения наборов Julia для ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$
• 
  ⁠ ⁠ ${\displaystyle c=-0.74543+0.11301*i}$
• 
  ⁠ ⁠ ${\displaystyle c=-0.75+0.11*i}$
• 
  ⁠ ⁠ ${\displaystyle c=-0.1+0.651*i}$
• 
  Множество Жюлиа, составленное путем оценки расстояния, итерация имеет вид ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-z^{2}+z^{5}/(2+4z)+c}$
• 
  Трехмерная визуализация множества Жюлиа с использованием оценки расстояния

Поскольку множество Жюлиа бесконечно тонкое, мы не можем эффективно рисовать его с помощью обратной итерации от пикселей. Оно будет выглядеть фрагментированным из-за непрактичности изучения бесконечного количества начальных точек. Поскольку количество итераций резко меняется вблизи множества Жюлиа, частичным решением является подразумевание контура множества из ближайших цветовых контуров, но множество будет выглядеть грязным.

Лучший способ нарисовать множество Жюлиа в черно-белом цвете — оценить расстояние пикселей (ЦМР) от множества и раскрасить каждый пиксель, центр которого близок к множеству. Формула для оценки расстояния выводится из формулы для потенциальной функции φ ( z ). Когда эквипотенциальные линии для φ ( z ) лежат близко, число велико, и наоборот, поэтому эквипотенциальные линии для функции должны лежать приблизительно регулярно. Доказано, что значение, найденное по этой формуле (с точностью до постоянного множителя), сходится к истинному расстоянию для z, сходясь к множеству Жюлиа. ^[9] ${\displaystyle |\varphi '(z)|}$ ${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|}$

Мы предполагаем, что f ( z ) является рациональным, то есть, где p ( z ) и q ( z ) являются комплексными многочленами степеней m и n соответственно, и мы должны найти производную приведенных выше выражений для φ ( z ). И поскольку это только то, что меняется, мы должны вычислить производную по z . Но так как ( k -кратная композиция), является произведением чисел , и эта последовательность может быть вычислена рекурсивно с помощью , начиная с ( до вычисления следующей итерации ). ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z'_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}=f(f(\cdots f(z)))}$ ${\displaystyle z'_{k}}$ ${\displaystyle f'(z_{k})}$ ${\displaystyle z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}}$ ${\displaystyle z'_{0}=1}$ ${\displaystyle z_{k+1}=f(z_{k})}$

Для итерации к ∞ (точнее, когда m ≥ n + 2 , так что ∞ является сверхпритягивающей неподвижной точкой), мы имеем

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }{\frac {|z'_{k}|}{|z_{k}|d^{k}}},}$

( d = m − n ) и, следовательно:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }\log |z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|.\,}$

Для итерации к конечному притягивающему циклу (который не является сверхпритягивающим), содержащему точку ⁠ ⁠ ${\displaystyle z^{*}}$ и имеющему порядок r , имеем

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z'_{kr}|/(|z_{kr}-z^{*}|^{2}\alpha ^{k}),\,}$

и, следовательно:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z_{kr}-z^{*}|/|z'_{kr}|.\,}$

Для сверхпритягивающего цикла формула такова:

${\displaystyle \delta (z)=\lim _{k\to \infty }\log |z_{kr}-z^{*}|^{2}/|z'_{kr}|.\,}$

Мы вычисляем это число, когда итерация останавливается. Обратите внимание, что оценка расстояния не зависит от притяжения цикла. Это означает, что она имеет смысл для трансцендентных функций "степени бесконечности" (например, sin( z ) и tan( z )).

Помимо рисования границы, можно ввести функцию расстояния как третье измерение для создания сплошного фрактального ландшафта.

Смотрите также

• Кролик Дуади
• Установлен предел
• Стабильные и нестабильные множества
• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теория хаоса

Примечания

1. Относительно обозначений: Для других разделов математики обозначения также могут представлять матрицу Якоби действительного отображения f между гладкими многообразиями . ${\displaystyle \operatorname {J} (f),}$

Ссылки

1. Гастон Джулия (1918) «Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , vol. 8, страницы 47–245.
2. Пьер Фату (1917) «Sur les substitutions rationnelles», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , vol. 164, стр. 806–808 и том. 165, страницы 992–995.
3. Бирдон, Итерация рациональных функций , Теорема 5.6.2.
4. Бирдон, Итерация рациональных функций , Теорема 7.1.1.
5. Бирдон, Итерация рациональных функций , Теорема 3.2.4.
6. Тан Лэй , «Сходство между множеством Мандельброта и множествами Жюлиа», Communications in Mathematical Physics 134 (1990), стр. 587–617.
7. Вепстас, Линас. «Перенормировка побега Мандельброта». linas.org . Creative Commons . Получено 5 ноября 2023 г. .
8. Дуади, Адриан; Хаббард, Джон Х. (1984). «Динамический этюд комплексов полиномов». Математические публикации Орсе . 2 ;   «[ указ.цит. ]». Математические публикации Орсе . 4 . 1985.
9. Peitgen, Heinz-Otto; Richter Peter (1986). Красота фракталов . Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.

Библиография

• Карлесон, Леннарт ; Гамелин, Теодор В. (1993). Комплексная динамика . Springer.
• Дуади, Адриан; Хаббард, Джон Х. (1984). «Динамический этюд комплексов полиномов». Математические публикации Орсе . 2 ;   «[ указ.цит. ]». Математические публикации Орсе . 4 . 1985.
• Милнор, Дж. В. (2006) [1990]. Динамика в одной комплексной переменной . Анналы математических исследований. Т. 160 (Третье изд.). Princeton University Press;
  Впервые опубликовано в "Stony Brook IMS Preprint". Архивировано из оригинала 24-04-2006.доступно как Милнор, Джон В. (1990). «Динамика в одной комплексной переменной: Вводные лекции». arXiv : math.DS/9201272 .
• Богомольный, Александр . "Множество Мандельброта и индексация множеств Жюлиа". cut-the-knot . Программа по алгебре.
• Демидов, Евгений (2003). «Анатомия множеств Мандельброта и Жюлиа».
• Бирдон, Алан Ф. (1991). Итерация рациональных функций . Springer. ISBN 0-387-95151-2.

Внешние ссылки

• «Набор Джулии», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Джулия Сет». Математический мир .
• Бурк, Пол. «Фрактал множества Джулии (2D)» (персональный сайт).
• Сойер, Джейми (6 апреля 2007 г.). «Джулия устанавливает» (блог).
• Макгудвин, Майкл. «Драгоценности Джулии: исследование множеств Джулии» (персональный сайт).
• Прингл, Люси. «Круги на полях Джулия Сет» (персональный сайт).
• Грейг, Джош. "Интерактивный апплет Julia Set". Архивировано из оригинала 2012-03-26.
• Джойс, Дэвид Э. «Джулия и исследователь множеств Мандельброта» (академический персональный сайт). Университет Кларка.
• "Простая программа для генерации множеств Жюлиа". liazardie.com . Архивировано из оригинала 2011-03-17.– Windows, 370 кБ
• "Коллекция апплетов". SourceForge .– один из апплетов может отображать множества Жюлиа с помощью систем итерированных функций.
• "Julia встречает HTML5". Google Labs. Архивировано из оригинала 2011-02-18. Генератор фракталов HTML5 для вашего браузера
• "Julia". r-project.org . Пакет GNU R. 25 ноября 2014 г. генерация множеств Джулии или Мандельброта в заданной области и разрешении
• «Джулия устанавливает».– Визуальное объяснение Julia Sets.
• "FractalTS". github.io .– Мандельброт, Пылающий корабль и соответствующий генератор множеств Жюлиа.
• «Изображения набора Джулии, онлайн-рендеринг». finengin.net .
• «Понимание множеств Жюлиа и Мандельброта».- Наглядное объяснение.