Длинная линия (топология)

Топологическое пространство в математике

В топологии длинная линия ( или линия Александрова ) — это топологическое пространство, несколько похожее на действительную линию , но в определенном смысле «длиннее». Она ведет себя локально так же, как и действительная линия, но имеет другие крупномасштабные свойства (например, она не является ни линделефовой , ни отделимой ). Поэтому она служит важным контрпримером в топологии. ^[1] Интуитивно, обычная действительная линия состоит из счетного числа отрезков, уложенных конец в конец, тогда как длинная линия состоит из несчетного числа таких отрезков. ${\displaystyle [0,1)}$

Определение

Замкнутый длинный луч определяется как декартово произведение первого несчетного ординала с полуоткрытым интервалом, снабженным топологией порядка , которая возникает из лексикографического порядка на . Открытый длинный луч получается из замкнутого длинного луча путем удаления наименьшего элемента ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

Длинная линия получается путем «склеивания» двух длинных лучей, одного в положительном направлении, а другого в отрицательном направлении. Более строго ее можно определить как топологию порядка на несвязном объединении обращенного открытого длинного луча («обратный» означает, что порядок обращен) (это отрицательная половина) и (не обращенного) закрытого длинного луча (положительная половина), полностью упорядоченного путем позволения точкам последнего быть больше точек первого. В качестве альтернативы, возьмите две копии открытого длинного луча и отождествите открытый интервал одного с тем же интервалом другого, но перевернув интервал, то есть отождествите точку (где — действительное число, такое что ) одного с точкой другого, и определите длинную линию как топологическое пространство, полученное путем склеивания двух открытых длинных лучей вдоль открытого интервала, отождествленного между ними двумя. (Первая конструкция лучше в том смысле, что она определяет порядок на длинной линии и показывает, что топология является топологией порядка; последняя лучше в том смысле, что она использует склеивание вдоль открытого множества, что более понятно с топологической точки зрения.) ${\displaystyle \{0\}\times (0,1)}$ ${\displaystyle (0,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle (0,1-t)}$

Интуитивно, закрытый длинный луч похож на настоящую (закрытую) полупрямую, за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и закрытый на другом. Открытый длинный луч похож на настоящую прямую (или, что эквивалентно, открытую полупрямую), за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и короткий (открытый) на другом. Длинная линия длиннее настоящих линий в обоих направлениях: мы говорим, что он длиннее в обоих направлениях.

Однако многие авторы говорят о «длинной линии» там, где мы говорили о (закрытом или открытом) длинном луче, и существует большая путаница между различными длинными пространствами. Во многих случаях использования или контрпримерах, однако, различие несущественно, потому что важной частью является «длинный» конец линии, и неважно, что происходит на другом конце (длинный, короткий или закрытый).

Связанное пространство, (замкнутый) расширенный длинный луч , получается как одноточечная компактификация путем присоединения дополнительного элемента к правому концу Аналогичным образом можно определить расширенную длинную линию , добавив к длинной линии два элемента, по одному на каждом конце. ${\displaystyle L^{*},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L.}$

Характеристики

Замкнутый длинный луч состоит из несчетного числа копий , «склеенных» конец к концу. Сравните это с тем фактом, что для любого счетного ординала склеивание копий дает пространство, которое все еще гомеоморфно (и порядково-изоморфно) (И если бы мы попытались склеить больше копий полученного пространства, оно уже не было бы локально гомеоморфно ) ${\displaystyle L=\omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Каждая возрастающая последовательность в сходится к пределу в ; это следствие того, что (1) элементы из являются счетными ординалами, (2) супремум каждого счетного семейства счетных ординалов является счетным ординалом, и (3) каждая возрастающая и ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Следовательно, не может быть строго возрастающей функции. Фактически, каждая непрерывная функция в конечном счете постоянна. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} }$

Как топологии порядка, (возможно, расширенные) длинные лучи и прямые являются нормальными хаусдорфовыми пространствами . Все они имеют ту же мощность , что и действительная прямая, но они «гораздо длиннее». Все они локально компактны . Ни одно из них не метризуемо ; это можно увидеть, поскольку длинный луч является последовательно компактным , но не компактным или даже линделёфовым .

(Нерасширенная) длинная линия или луч не является паракомпактной . Она линейно связна , локально линейно связна и односвязна , но не стягиваема . Это одномерное топологическое многообразие с границей в случае замкнутого луча. Она является первой счетной, но не второй счетной и не сепарабельной , поэтому авторы, которым требуются последние свойства в их многообразиях, не называют длинную линию многообразием. ^[2]

Имеет смысл рассматривать все длинные пространства сразу, поскольку каждое связное (непустое) одномерное (не обязательно сепарабельное ) топологическое многообразие, возможно с границей, гомеоморфно либо окружности, либо замкнутому интервалу, либо открытому интервалу (действительной прямой), либо полуоткрытому интервалу, либо замкнутому длинному лучу, либо открытому длинному лучу, либо длинной прямой. ^[3]

Длинная линия или луч могут быть снабжены структурой (неразделимого) дифференцируемого многообразия (с границей в случае замкнутого луча). Однако, в отличие от топологической структуры, которая является единственной (топологически существует только один способ сделать действительную линию «длиннее» на каждом конце), дифференцируемая структура не является единственной: на самом деле, на ней существует несчетное множество ( если быть точным) попарно недиффеоморфных гладких структур. ^[4] Это резко контрастирует с действительной линией, где также существуют различные гладкие структуры, но все они диффеоморфны стандартной. ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

Длинная линия или луч могут быть даже снабжены структурой (реального) аналитического многообразия (с границей в случае замкнутого луча). Однако это гораздо сложнее, чем для дифференцируемого случая (это зависит от классификации (сепарабельных) одномерных аналитических многообразий, которая сложнее, чем для дифференцируемых многообразий). Опять же, любая заданная структура может быть расширена бесконечным числом способов до различных (=аналитических) структур (которые попарно недиффеоморфны как аналитические многообразия). ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$

Длинная линия или луч не могут быть снабжены римановой метрикой , которая индуцирует ее топологию. Причина в том, что римановы многообразия , даже без предположения о паракомпактности, могут быть метризуемы. ^[6]

Расширенный длинный луч компактен . Это одноточечная компактификация замкнутого длинного луча , но это также его компактификация Стоуна -Чеха , поскольку любая непрерывная функция от (замкнутого или открытого) длинного луча до действительной прямой в конечном итоге постоянна. ^[7] также связен , но не линейно-связен, поскольку длинная прямая «слишком длинна», чтобы быть покрытой путем, который является непрерывным образом интервала. не является многообразием и не поддается первой аксиоме счетности. ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L^{*}}$

п-адический аналог

Существует p -адический аналог длинной линии, созданный Джорджем Бергманом . ^[8]

Это пространство строится как возрастающее объединение несчетного направленного множества копий кольца p -адических целых чисел, индексированных счетным ординалом. Определим отображение из в всякий раз следующим образом: ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$

• Если является преемником , то отображение из в представляет собой просто умножение на Для других отображение из в представляет собой композицию отображения из в и отображения из в ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon +1}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }.}$
• Если — предельный ординал, то прямой предел множеств для — счетное объединение p -адических шаров, поэтому может быть вложен в так как с удаленной точкой — также счетное объединение p -адических шаров. Это определяет совместимые вложения в для всех ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$ ${\displaystyle X_{\gamma },}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma .}$

Это пространство не является компактным, но объединение любого счетного множества компактных подпространств имеет компактное замыкание.

Более высокие измерения

Некоторые примеры непаракомпактных многообразий в более высоких размерностях включают многообразие Прюфера , произведения любого непаракомпактного многообразия с любым непустым многообразием, шар большого радиуса и т. д. Теорема о волынке показывает, что существуют классы изоморфизма непаракомпактных поверхностей, даже если предполагается обобщение паракомпактности, ω-ограниченность . ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

Комплексных аналогов длинной линии не существует, поскольку каждая риманова поверхность паракомпактна, но Калаби и Розенлихт привели пример непаракомпактного комплексного многообразия комплексной размерности 2. ^[9]

Смотрите также

• Топология лексикографического порядка на единичном квадрате
• Список топологий

Ссылки

1. Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 71–72. ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446. Zbl  1245.54001.
2. Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии, CRC Press, стр. 122, ISBN 9781439831632.
3. Кунен, К.; Воган, Дж. (2014), Справочник по теоретико-множественной топологии, Elsevier, стр. 643, ISBN 9781483295152.
4. Nyikos, Peter J. (1992). «Различные сглаживания длинной линии и их касательных расслоений». Advances in Mathematics . 93 (2): 129–213. doi : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR  1164707.
5. Кнезер, Хельмут; Кнезер, Мартин (1960). «Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden». Архив математики . 11 : 104–106. дои : 10.1007/BF01236917.
6. С. Кобаяши и К. Номидзу (1963). Основы дифференциальной геометрии . Т. I. Interscience. С. 166.
7. Джоши, КД (1983). "Глава 15 Раздел 3". Введение в общую топологию . Jon Wiley and Sons. ISBN 0-470-27556-1. МР  0709260.
8. Серр, Жан-Пьер (1992). "IV ("Аналитические многообразия"), приложение 3 ("Трансфинитная p -адическая прямая")". Алгебры Ли и группы Ли (1964 Лекции, прочитанные в Гарвардском университете) . Заметки лекций по математике, часть II ("Группы Ли"). Springer-Verlag . ISBN 3-540-55008-9.
9. Калаби, Эудженио; Розенлихт, Максвелл (1953). «Комплексные аналитические многообразия без счетной базы». Труды Американского математического общества . 4 (3): 335–340. doi : 10.1090/s0002-9939-1953-0058293-x . MR  0058293.