Компактификация Стоуна-Чеха

В математической дисциплине общей топологии компактификация Стоуна–Чеха (или компактификация Чеха–Стоуна ^[1] ) — это метод построения универсального отображения из топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX . Компактификация Стоуна–Чеха βX топологического пространства X — это наибольшее, наиболее общее компактное хаусдорфово пространство, «порождённое» X , в том смысле, что любое непрерывное отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX (единственным образом). Если X — тихоновское пространство , то отображение из X в его образ в βX является гомеоморфизмом , поэтому X можно рассматривать как ( плотное ) подпространство βX ; любое другое компактное хаусдорфово пространство, плотно содержащее X, является фактором βX . Для общих топологических пространств X отображение из X в βX не обязательно должно быть инъективным .

Форма аксиомы выбора требуется для доказательства того, что каждое топологическое пространство имеет компактификацию Стоуна–Чеха. Даже для довольно простых пространств X доступное конкретное описание βX часто остается неуловимым. В частности, доказательства того, что βX \ X непусто , не дают явного описания какой-либо конкретной точки в βX \ X.

Компактификация Стоуна–Чеха неявно встречается в статье Андрея Николаевича Тихонова (1930) и была явно дана Маршаллом Стоуном (1937) и Эдуардом Чехом (1937).

История

Андрей Николаевич Тихонов ввел полностью регулярные пространства в 1930 году, чтобы избежать патологической ситуации хаусдорфовых пространств , единственными непрерывными вещественными функциями которых являются постоянные отображения. ^[2]

В той же статье 1930 года, где Тихонов определил полностью регулярные пространства, он также доказал, что каждое тихоновское пространство (т. е. полностью регулярное пространство Хаусдорфа ) имеет компактификацию Хаусдорфа (в этой же статье он также доказал теорему Тихонова ). В 1937 году Чех расширил технику Тихонова и ввел обозначение β X для этой компактификации. Стоун также построил β X в статье 1937 года, хотя и используя совершенно другой метод. Несмотря на то, что статья Тихонова была первой работой по теме компактификации Стоуна–Чеха, и несмотря на то, что на статью Тихонова ссылались и Стоун, и Чех, имя Тихонова редко ассоциируется с β X . ^[3]

Универсальное свойство и функториальность

Компактификация Стоуна–Чеха топологического пространства X — это компактное хаусдорфово пространство βX вместе с непрерывным отображением i _X : X → βX , которое обладает следующим универсальным свойством : любое непрерывное отображение f : X → K , где K — компактное хаусдорфово пространство, единственным образом продолжается до непрерывного отображения βf : βX → K , т. е. ( βf ) i _X = f . ^[4]

Как это обычно бывает с универсальными свойствами, это универсальное свойство характеризует βX с точностью до гомеоморфизма .

Как изложено в § Конструкции ниже, можно доказать (используя аксиому выбора), что такая компактификация Стоуна–Чеха i _X : X → βX существует для любого топологического пространства X. Более того, образ i _X ( X ) плотен в βX .

Некоторые авторы добавляют предположение, что исходное пространство X является тихоновским (или даже локально компактным хаусдорфовым), по следующим причинам:

Отображение из X в его образ в βX является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда X является тихоновским.
Отображение из X в его образ в βX является гомеоморфизмом открытого подпространства тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.

Конструкция Стоуна–Чеха может быть выполнена для более общих пространств X , но в этом случае отображение X → βX не обязательно должно быть гомеоморфизмом образу X (а иногда даже не является инъективным).

Как обычно для универсальных конструкций, подобных этой, свойство расширения делает β функтором из Top ( категория топологических пространств ) в CHaus (категория компактных хаусдорфовых пространств). Далее, если мы допустим, что U будет функтором включения из CHaus в Top , то отображения из βX в K (для K в CHaus ) взаимно однозначно соответствуют отображениям из X в UK (рассматривая их ограничение на X и используя универсальное свойство βX ). т.е.

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , UK ),

что означает, что β является левым сопряженным к U. Это подразумевает, что CHaus является рефлективной подкатегорией Top с рефлектором β .

Примеры

Если X — компактное хаусдорфово пространство, то оно совпадает со своей компактификацией Стоуна–Чеха. ^[5]

Компактификация Стоуна–Чеха первого несчетного ординала с топологией порядка является ординалом . Компактификация Стоуна–Чеха удаленной тихоновской планки является тихоновской планкой. ^[6] $\омега _{1}$ $\omega _{1}+1$

Конструкции

Строительство с использованием продукции

Одна из попыток построить компактификацию Стоуна–Чеха для X состоит в том, чтобы взять замыкание образа X в

\prod \nolimits _{f:X\to K}K

где произведение берется по всем отображениям из X в компактные хаусдорфовы пространства K (или, что эквивалентно, образу X с помощью правого расширения Кана тождественного функтора категории CHaus компактных хаусдорфовых пространств вдоль функтора включения CHaus в категорию Top общих топологических пространств). По теореме Тихонова это произведение компактных пространств компактно, и замыкание X в этом пространстве, следовательно, также компактно. Это работает интуитивно, но не работает по технической причине, что совокупность всех таких отображений является собственным классом , а не множеством. Есть несколько способов изменить эту идею, чтобы она работала; например, можно ограничить компактные хаусдорфовы пространства K так, чтобы они имели базовое множество P ( P ( X )) ( множество мощности множества мощности X ), которое достаточно велико, чтобы иметь мощность, по крайней мере равную мощности каждого компактного хаусдорфова пространства, в которое X может быть отображено с плотным образом.

Построение с использованием единичного интервала

Один из способов построения βX — это позволить C быть множеством всех непрерывных функций из X в [0, 1] и рассмотреть отображение , где $e:X\to [0,1]^{C}$

e(x):f\mapsto f(x)

Это можно рассматривать как непрерывное отображение на его образ, если [0, 1] ^C задана топология произведения . По теореме Тихонова мы имеем, что [0, 1] ^C компактно , поскольку [0, 1] компактно. Следовательно, замыкание X в [0, 1] ^C является компактификацией X.

Фактически, это замыкание является компактификацией Стоуна–Чеха. Чтобы проверить это, нам просто нужно проверить, что замыкание удовлетворяет соответствующему универсальному свойству. Сначала мы сделаем это для K = [0, 1], где желаемое расширение f : X → [0, 1] — это просто проекция на координату f в [0, 1] ^C . Чтобы затем получить это для общего компактного хаусдорфова K, мы используем вышеизложенное, чтобы заметить, что K можно вложить в некоторый куб, расширить каждую из координатных функций, а затем взять произведение этих расширений.

Специальное свойство единичного интервала, необходимое для работы этой конструкции, заключается в том, что он является когенератором категории компактных хаусдорфовых пространств: это означает, что если A и B являются компактными хаусдорфовыми пространствами, а f и g являются различными отображениями из A в B , то существует отображение h : B → [0, 1] такое, что hf и hg различны. Любой другой когенератор (или когенерирующий набор) может быть использован в этой конструкции.

Строительство с использованием ультрафильтров

В качестве альтернативы, если является дискретным , то можно построить как множество всех ультрафильтров на с элементами из соответствующих основным ультрафильтрам . Топология на множестве ультрафильтров, известная как $X$ $\бета X$ $X,$ $X$ Топология камня генерируется множествами видадляподмножества $\{F:U\in F\}$ $U$ $X.$

Снова проверяем универсальное свойство: для компактного Хаусдорфа и ультрафильтра на мы имеем ультрафильтр на основе прямого проталкивания Это имеет единственный предел , поскольку компактно Хаусдорфово, скажем , и мы определяем Это может быть проверено как непрерывное расширение $f:X\to K$ $К$ $F$ $X$ $f(F)$ $К,$ $Ф.$ $К$ $x,$ $\beta f(F)=x.$ $ф.$

Эквивалентно, можно взять пространство Стоуна полной булевой алгебры всех подмножеств в качестве компактификации Стоуна–Чеха. Это на самом деле та же самая конструкция, поскольку пространство Стоуна этой булевой алгебры является множеством ультрафильтров (или, что эквивалентно, простых идеалов , или гомоморфизмов в 2-элементную булеву алгебру) булевой алгебры, что совпадает с множеством ультрафильтров на $X$ $X.$

Эту конструкцию можно обобщить на произвольные тихоновские пространства, используя максимальные фильтры нулевых множеств вместо ультрафильтров. ^[7] (Фильтры замкнутых множеств достаточны, если пространство нормальное .)

Построение с использованием C*-алгебр

Компактификация Стоуна–Чеха естественно гомеоморфна спектру C b ₍ X ) . ^[8] Здесь C _b ( X ) обозначает C*-алгебру всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на X с sup-нормой . Обратите внимание, что C _b ( X ) канонически изоморфна алгебре множителей C ₀ ( X ).

Компактификация Стоуна–Чеха натуральных чисел

В случае, когда X локально компактно , например, N или R , образ X образует открытое подмножество βX или, по сути, любой компактификации (это также необходимое условие, поскольку открытое подмножество компактного хаусдорфова пространства локально компактно). В этом случае часто изучают остаток пространства βX \ X. Это замкнутое подмножество βX , и поэтому оно компактно. Мы рассматриваем N с его дискретной топологией и записываем β N \ N = N * (но это, по-видимому, не является стандартным обозначением для общего X ).

Как объяснялось выше, можно рассматривать β N как множество ультрафильтров на N , с топологией, генерируемой множествами вида для U, подмножества N. Множество N соответствует множеству главных ультрафильтров , а множество N * — множеству свободных ультрафильтров . $\{F:U\in F\}$

Изучение β N , и в частности N *, является важной областью современной теоретико-множественной топологии . Основными результатами, мотивирующими это, являются теоремы Паровиченко , по существу характеризующие его поведение при предположении континуум-гипотезы .

В них говорится:

Каждое компактное хаусдорфово пространство веса не более (см. число Алеф ) является непрерывным образом N * (для этого не требуется гипотеза континуума, но ее отсутствие менее интересно). $\алеф _{1}$
Если континуум-гипотеза верна, то N * является единственным пространством Паровиченко с точностью до изоморфизма.

Первоначально они были доказаны путем рассмотрения булевых алгебр и применения двойственности Стоуна .

Ян ван Милль описал β N как «трехголового монстра» — три головы представляют собой улыбающуюся и дружелюбную голову (поведение в предположении гипотезы континуума), уродливую голову независимости, которая постоянно пытается вас запутать (определяя, какое поведение возможно в различных моделях теории множеств), и третья голова — самая маленькая из всех (то, что вы можете доказать о ней в ZFC ). ^[9] Сравнительно недавно было замечено, что эта характеристика не совсем верна — на самом деле существует четвертая голова β N , в которой аксиомы принуждения и аксиомы типа Рамсея придают свойства β N почти диаметрально противоположные свойствам в гипотезе континуума, давая на самом деле очень мало отображений из N *. Примерами этих аксиом являются комбинация аксиомы Мартина и аксиомы открытой раскраски , которые, например, доказывают, что ( N *) ² ≠ N *, в то время как гипотеза континуума подразумевает противоположное.

Приложение: двойственное пространство пространства ограниченных последовательностей действительных чисел

Компактификацию Стоуна–Чеха β N можно использовать для характеристики ( банахова пространства всех ограниченных последовательностей в скалярном поле R или C с супремум-нормой ) и его сопряженного пространства . $\ell ^{\infty }(\mathbf {N})$

Для данной ограниченной последовательности существует замкнутый шар B в скалярном поле, содержащий образ . Тогда является функцией из N в B . Поскольку N дискретно, а B компактно и хаусдорфово, a непрерывно. Согласно универсальному свойству, существует единственное расширение βa : β N → B . Это расширение не зависит от рассматриваемого нами шара B. $а\in \ell ^{\infty }(\mathbf {N})$ $а$ $а$

Мы определили отображение расширения из пространства ограниченных скалярных последовательностей в пространство непрерывных функций над β N .

\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )\to C(\beta \mathbf {N} )

Это отображение является биективным, поскольку каждая функция в C ( β N ) должна быть ограниченной и тогда может быть ограничена ограниченной скалярной последовательностью.

Если мы далее рассмотрим оба пространства с нормой sup, то отображение расширения станет изометрией . Действительно, если в конструкции выше мы возьмем наименьший возможный шар B , то увидим, что норма sup расширенной последовательности не вырастет (хотя образ расширенной функции может быть больше).

Таким образом, можно отождествить с C ( β N ). Это позволяет нам использовать теорему о представлении Рисса и обнаружить, что двойственное пространство можно отождествить с пространством конечных борелевских мер на β N . $\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$ $\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$

Наконец, следует отметить, что эта техника обобщается на пространство L ^∞ произвольного мерного пространства X. Однако вместо того, чтобы просто рассматривать пространство βX ультрафильтров на X , правильный способ обобщить эту конструкцию — рассмотреть пространство Стоуна Y алгебры мер X : пространства C ( Y ) и L ^∞ ( X ) изоморфны как C*-алгебры, пока X удовлетворяет разумному условию конечности (что любое множество положительной меры содержит подмножество конечной положительной меры).

Моноидальная операция на компактификации Стоуна–Чеха натуральных чисел

Натуральные числа образуют моноид при сложении . Оказывается, эту операцию можно расширить (в общем случае более чем одним способом, но однозначно при дополнительном условии) до β N , превратив это пространство также в моноид, хотя, что довольно удивительно, некоммутативный.

Для любого подмножества A из N и положительного целого числа n из N мы определяем

A-n=\{k\in \mathbf {N} \mid k+n\in A\}.

Имея два ультрафильтра F и G на N , мы определяем их сумму как

F+G={\Big \{}A\subseteq \mathbf {N} \mid \{n\in \mathbf {N} \mid A-n\in F\}\in G{\Big \}};

можно проверить, что это снова ультрафильтр, и что операция + ассоциативна (но не коммутативна) на β N и расширяет сложение на N ; 0 служит нейтральным элементом для операции + на β N . Операция также непрерывна справа, в том смысле, что для каждого ультрафильтра F отображение

{\begin{cases}\beta \mathbf {N} \to \beta \mathbf {N} \\G\mapsto F+G\end{cases}}

является непрерывным.

В более общем случае, если S — полугруппа с дискретной топологией, то операцию S можно расширить до βS , получив непрерывную справа ассоциативную операцию. ^[10]

Смотрите также

Компактификация (математика) – вложение топологического пространства в компактное пространство в качестве плотного подмножества.
Фильтры в топологии – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Одноточечная компактификация – способ расширения некомпактного топологического пространства
Компактификация Уолмэна – Компактификация топологических пространств T ₁

Примечания

^ М. Хенриксен, «Кольца непрерывных функций в 1950-х годах», в Handbook of the History of General Topology , под редакцией CE Aull, R. Lowen, Springer Science & Business Media, 2013, стр. 246
^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 240.
^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
^ Манкрес 2000, стр. 239, Теорема 38.4.
^ Манкрес 2000, стр. 241.
^ Walker, RC (1974). Компактификация Стоуна-Чеха. Springer. стр. 95–97. ISBN 978-3-642-61935-9.
^ WW Comfort, S. Negrepontis, Теория ультрафильтров , Springer, 1974.
^ Это оригинальная конструкция Стоуна.
^ Ван Милл, Ян (1984), «Введение в βω», в Кюнен, Кеннет; Воган, Джерри Э. (ред.), Справочник по теоретико-множественной топологии , Северная Голландия, стр. 503–560, ISBN 978-0-444-86580-9
^ Хиндман, Нил; Штраус, Дона (21 января 2011 г.). Алгебра в стоун-чеховской компактификации . Берлин, Бостон: ДЕ ГРУЙТЕР. дои : 10.1515/9783110258356. ISBN 978-3-11-025835-6.

Ссылки

Чех, Эдуард (1937), «О бикомпактных пространствах», Annals of Mathematics , 38 (4): 823–844, doi : 10.2307/1968839, hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR 1968839
Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы , т. I:общая теория (ред. Wiley Classics). John Wiley & Sons. стр. 276.
Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998), Algebra in the Stone–Cech compactification. Теория и приложения , de Gruyter Expositions in Mathematics, т. 27 (2-е пересмотренное и расширенное издание 2012 г.), Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. xiv+485 стр., doi :10.1515/9783110809220, ISBN 978-3-11-015420-7, г-н 1642231
Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Кошевникова, И.Г. (2001) [1994], "Компактификация Стоуна-Чеха", Энциклопедия математики , Издательство EMS
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шилдс, Аллен (1987), «Много лет назад», Mathematical Intelligencer , 9 (2): 61–63, doi :10.1007/BF03025901, S2CID 189886579
Стоун, Маршалл Х. (1937), «Применение теории булевых колец к общей топологии», Труды Американского математического общества , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788
Тихонов, Андрей (1930), «Über die topologische Erweiterung von Räumen», Mathematische Annalen , 102 : 544–561, doi : 10.1007/BF01782364, ISSN 0025-5831, S2CID 124737286

Внешние ссылки

Компактификация Стоуна-Чеха в Planet Math
Дрор Бар-Натан, ультрафильтры, компактность и компактификация Стоуна–Чеха