Момент (физика)

Произведение расстояния и физической величины

Момент — это математическое выражение, включающее произведение расстояния и физической величины, такой как сила или электрический заряд. Моменты обычно определяются относительно фиксированной точки отсчета и относятся к физическим величинам, расположенным на некотором расстоянии от точки отсчета. Например, момент силы, часто называемый крутящим моментом , является произведением силы, действующей на объект, и расстояния от точки отсчета до объекта. В принципе, любую физическую величину можно умножить на расстояние, чтобы получить момент. Обычно используемые величины включают силы, массы и распределения электрических зарядов ; список примеров приведен ниже.

Разработка

В своей самой простой форме момент — это произведение расстояния до точки, возведенного в степень, и физической величины (например, силы или электрического заряда) в этой точке:

${\displaystyle \mu _{n}=r^{n}\,Q,}$

где — физическая величина, например, сила, приложенная к точке, или точечный заряд, или точечная масса и т. д. Если величина не сосредоточена исключительно в одной точке, момент равен интегралу плотности этой величины по пространству: ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr}$

где — распределение плотности заряда, массы или любой другой рассматриваемой величины. ${\displaystyle \rho }$

Более сложные формы учитывают угловые соотношения между расстоянием и физической величиной, но приведенные выше уравнения охватывают существенную особенность момента, а именно существование базового или эквивалентного термина. Это подразумевает, что существует несколько моментов (по одному для каждого значения n ) и что момент в целом зависит от точки отсчета, от которой измеряется расстояние , хотя для определенных моментов (технически, наименьшего ненулевого момента) эта зависимость исчезает, и момент становится независимым от точки отсчета. ${\displaystyle r^{n}\rho (r)}$ ${\displaystyle r}$

Каждое значение n соответствует разному моменту: 1-й момент соответствует n  = 1; 2-й момент соответствует n  = 2 и т. д. Нулевой момент ( n  = 0) иногда называют монопольным моментом ; 1-й момент ( n  = 1) иногда называют дипольным моментом , а 2-й момент ( n  = 2) иногда называют квадрупольным моментом , особенно в контексте распределения электрического заряда.

Примеры

• Момент силы , или крутящий момент , является первым моментом: , или, в более общем смысле, . ${\displaystyle \mathbf {\tau } =rF}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} }$
• Аналогично, момент импульса — это первый момент импульса : . Сам импульс не является моментом. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$
• Электрический дипольный момент также является первым моментом: для двух противоположных точечных зарядов или для распределенного заряда с плотностью заряда . ${\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {d} }$ ${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

Моменты масс:

• Полная масса — это нулевой момент массы .
• Центр масс — это первый момент массы, нормализованный по полной массе: для совокупности точечных масс или для объекта с распределенной массой . ${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$ ${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$
• Момент инерции — это второй момент массы: для точечной массы, для совокупности точечных масс или для объекта с распределенной массой . Центр масс часто (но не всегда) принимается за точку отсчета. ${\displaystyle I=r^{2}m}$ ${\textstyle \sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$ ${\textstyle \int r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

Мультипольные моменты

Предполагая, что функция плотности конечна и локализована в определенной области, за пределами этой области потенциал 1/ r может быть выражен как ряд сферических гармоник :

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,d^{3}r'=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)q_{\ell m}\,{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$

Коэффициенты известны как мультипольные моменты и имеют вид: ${\displaystyle q_{\ell m}}$

${\displaystyle q_{\ell m}=\int (r')^{\ell }\,\rho (\mathbf {r'} )\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,d^{3}r'}$

где выражено в сферических координатах — переменная интегрирования. Более полное рассмотрение можно найти на страницах, описывающих мультипольное расширение или сферические мультипольные моменты . (Условные обозначения в приведенных выше уравнениях были взяты из Jackson ^[1] — условные обозначения, используемые на указанных страницах, могут немного отличаться.) ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \left(r',\varphi ',\theta '\right)}$

Когда представляет собой плотность электрического заряда, то являются, в некотором смысле, проекциями моментов электрического заряда: — монопольный момент; — проекции дипольного момента, — проекции квадрупольного момента и т. д. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle q_{lm}}$ ${\displaystyle q_{00}}$ ${\displaystyle q_{1m}}$ ${\displaystyle q_{2m}}$

Применение мультипольных моментов

Мультипольное разложение применяется к скалярным потенциалам 1/ r , примерами которых являются электрический потенциал и гравитационный потенциал . Для этих потенциалов выражение может быть использовано для аппроксимации силы поля, создаваемого локализованным распределением зарядов (или массы), путем вычисления первых нескольких моментов. Для достаточно больших r разумное приближение может быть получено только из монопольных и дипольных моментов. Более высокой точности можно достичь путем вычисления моментов более высокого порядка. Расширения техники могут быть использованы для вычисления энергий взаимодействия и межмолекулярных сил.

Этот метод также может быть использован для определения свойств неизвестного распределения . Измерения, относящиеся к мультипольным моментам, могут быть выполнены и использованы для вывода свойств базового распределения. Этот метод применим к малым объектам, таким как молекулы, ^{[2] [3]} , но также был применен к самой Вселенной, ^[4] например, метод, используемый в экспериментах WMAP и Planck для анализа космического микроволнового фонового излучения. ${\displaystyle \rho }$

История

Рычаг в равновесии

В работах, которые, как полагают, происходят из Древней Греции , понятие момента упоминается с помощью слова ῥοπή ( rhopḗ , букв. «наклон») и составных слов, таких как ἰσόρροπα ( isorropa , букв. «равных наклонов»). ^{[5] [6] [7]} Контекст этих работ — механика и геометрия, связанные с рычагом . ^[8] В частности, в сохранившихся работах, приписываемых Архимеду , момент указывается в таких фразах:

« Соизмеримые величины ( σύμμετρα μεγέθεα ) [А и В] одинаково уравновешены ( ἰσορροπέοντι ) ^[а] , если их расстояния [до центра Г, т. е. ΑΓ и ΓB] обратно пропорциональны ( ἀντιπεπονθότως ) их весам ( β άρεσιν ).» ^{[6] [9]}

Более того, в сохранившихся текстах, таких как «Метод механических теорем» , моменты используются для определения центра тяжести , площади и объема геометрических фигур.

В 1269 году Вильгельм фон Мёрбеке переводит на латынь различные труды Архимеда и Эвтоция . Термин ῥοπή транслитерируется как ropen . ^[6]

Около 1450 года Якоб Кремонский переводит ῥοπή в похожих текстах на латинский термин momentum ( букв. «движение» ^[10] ). ^{[11] [6] : 331} Тот же термин сохранился в переводе 1501 года Джорджо Валлы , а затем Франческо Мауролико , Федерико Коммандино , Гвидобальдо дель Монте , Адриана ван Роомена , Флоренс Риво , Франческо Буонамичи , Марина Мерсенна ^[5] и Галилео Галилея . Тем не менее, почему для перевода было выбрано слово momentum ? Согласно Треккани , одна подсказка заключается в том, что momento в средневековой Италии, где жили первые переводчики, в переносном смысле означало как «момент времени», так и «момент веса» (небольшое количество веса, которое поворачивает чашу весов ). ^[b]

В 1554 году Франческо Мавролико разъясняет латинский термин momentum в работе Prologi sive sermones . Вот перевод с латинского на английский, сделанный Маршаллом Клэгеттом : ^[6]

«[...] равные веса на неравных расстояниях не весят одинаково, но неравные веса [на этих неравных расстояниях могут] весить одинаково. Ибо вес, подвешенный на большем расстоянии, тяжелее, как это очевидно на весах . Следовательно, существует некий третий вид силы или третье различие величины — тот, который отличается как от тела, так и от веса, — и это они называют моментом . ^[c] Следовательно, тело приобретает вес как от количества [т. е. размера], так и от качества [т. е. материала], но вес получает свой момент от расстояния, на котором он подвешен. Следовательно, когда расстояния обратно пропорциональны весам, моменты [весов] равны, как показал Архимед в «Книге о равных моментах» . ^[d] Следовательно, веса или [скорее] моменты, как и другие непрерывные величины, соединены в некоторой общей точке, то есть в чем-то общем для них обоих, например в центре веса или в точке равновесия. Теперь центр тяжести в любом весе — это та точка, которая, независимо от того, как часто или когда тело подвешено, всегда наклонено перпендикулярно к универсальному центру.

В дополнение к телу, весу и моменту, существует некая четвертая сила, которую можно назвать импульсом или силой. ^[e] Аристотель исследует ее в «О механических вопросах» , и она совершенно отлична от [этих] трех вышеупомянутых [сил или величин]. [...]»

В 1586 году Симон Стевин в своей работе «De Beghinselen Der Weeghconst» использовал голландский термин staltwicht («припаркованный груз») для обозначения импульса .

В 1632 году Галилео Галилей публикует «Диалог о двух главнейших системах мира» и использует итальянское слово momento во многих значениях, включая значение его предшественников. ^[12]

В 1643 году Томас Солсбери переводит некоторые работы Галилея на английский язык . Солсбери переводит латинское momentum и итальянское momento на английский термин moment . ^[f]

В 1765 году латинский термин momentum inertiae ( английский : момент инерции ) был использован Леонардом Эйлером для обозначения одной из величин Христиана Гюйгенса в Horologium Oscillatorium . ^[13] Работа Гюйгенса 1673 года, связанная с поиском центра колебаний, была стимулирована Мареном Мерсенном , который предложил ему это в 1646 году. ^{[14] [15]}

В 1811 году французский термин moment d'une force ( момент силы ) по отношению к точке и плоскости был использован Симеоном Дени Пуассоном в « Трактате о механике» . ^[16] Английский перевод появился в 1842 году.

В 1884 году Джеймс Томсон предложил термин «крутящий момент» в контексте измерения вращательных сил машин (с пропеллерами и роторами ). ^{[17] [18]} Сегодня для измерения крутящего момента машин используется динамометр .

В 1893 году Карл Пирсон использует термин n-й момент и в контексте научных измерений с подгонкой кривой . ^[19] Пирсон написал в ответ Джону Венну , который несколькими годами ранее наблюдал странную закономерность, связанную с метеорологическими данными, и попросил объяснить ее причину. ^[20] В ответе Пирсона используется следующая аналогия: механический «центр тяжести» является средним значением , а «расстояние» — отклонением от среднего. Позже это превратилось в моменты в математике . Аналогия между механической концепцией момента и статистической функцией, включающей сумму n- х степеней отклонений, была замечена несколькими ранее, включая Лапласа , Крампа , Гаусса , Энке , Чубера , Кетле и Де Фореста . ^[21] ${\displaystyle \mu _{n}}$

Смотрите также

• Крутящий момент (или момент силы ), см. также статью пара (механика)
• Момент (математика)
• Механическое равновесие применяется, когда объект уравновешен таким образом, что сумма моментов по часовой стрелке относительно оси вращения равна сумме моментов против часовой стрелки относительно той же оси вращения.
• Момент инерции , аналогичный массе в обсуждениях вращательного движения. Это мера сопротивления объекта изменениям скорости его вращения ${\displaystyle \left(I=\Sigma mr^{2}\right)}$
• Момент количества движения , вращательный аналог линейного количества движения . ${\displaystyle (\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )}$
• Магнитный момент — дипольный момент, измеряющий силу и направление магнитного источника. ${\displaystyle \left(\mathbf {\mu } =I\mathbf {A} \right)}$
• Электрический дипольный момент , дипольный момент, измеряющий разницу зарядов и направление между двумя или более зарядами. Например, электрический дипольный момент между зарядом – q и q, разделенными расстоянием d , равен ${\displaystyle (\mathbf {p} =q\mathbf {d} )}$
• Изгибающий момент , момент, который приводит к изгибу элемента конструкции.
• Первый момент площади , свойство объекта, связанное с его сопротивлением касательному напряжению.
• Второй момент площади , свойство объекта, связанное с его сопротивлением изгибу и прогибу.
• Полярный момент инерции , свойство объекта, связанное с его сопротивлением кручению.
• Моменты изображения , статистические свойства изображения
• Сейсмический момент , величина, используемая для измерения силы землетрясения.
• Плазменные моменты , жидкое описание плазмы с точки зрения плотности, скорости и давления
• Список моментов инерции площади
• Список моментов инерции
• Расширение мультиполя
• Сферические мультипольные моменты

Примечания

1. Альтернативный перевод — «иметь равные моменты», как использовал Франческо Мавролико в 1500-х годах. ^[6] Дословный перевод — «иметь равные наклонности».
2. Треккани пишет в своей записи в момент: «[...] alla tradizione средневековье, nella quale momentum snificava, per lo più, minima porzione di tempo, la più piccola parte dell'ora (precisamente, 1/40 di ora, un minuto e mezzo), ma anche minima quantità di peso, e quindi l’ago della bilancia (basta l’application di un momento di peso perché si rompa l’equilibrio e la bilancia tracolli in un momento);»
3. На латыни: импульс .
4. Современный перевод этой книги — «о равновесии плоскостей». Перевод «о равных моментах (плоскостей)», используемый Мавролико, также отражен в его четырехтомной книге под названием De momentis aequalibus («О равных моментах»), где он применяет идеи Архимеда к твердым телам.
5. На латыни: impetus или vis . Эта четвертая степень была интеллектуальным предшественником английского латинизма momentum , также называемого количеством движения .
6. Это очень похоже на другие латинские слова с окончанием -entum , такие как documentum , monumentum или argumentum, которые во французском и английском языках превратились в document , monument и argument .

Ссылки

1. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика , 2-е издание, Wiley, Нью-Йорк, (1975). стр. 137
2. Spackman, MA (1992). «Молекулярные электрические моменты из данных рентгеновской дифракции». Chemical Reviews . 92 (8): 1769–1797. doi :10.1021/cr00016a005.
3. Дитрих и Джаятилака, Надежные измерения дипольных моментов из данных дифракции на одном кристалле и оценка внутрикристаллического усиления , Электронная плотность и химическая связь II, Теоретические исследования плотности заряда, Stalke, D. (ред.), 2012, https://www.springer.com/978-3-642-30807-9
4. Бауманн, Дэниел (2009). «Лекции TASI по инфляции». arXiv : 0907.5424 [hep-th].
5. Мерсенн, Марин (1634). Механики Галилеи. Париж. стр. 7–8.
6. Клэджетт, Маршалл (1964–84). Архимед в средние века (5 томов в 10 томах). Мэдисон, Висконсин: University of Wisconsin Press, 1964; Филадельфия: Американское философское общество, 1967–1984.
7. ῥοπή. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей»
8. Клэгетт, Маршалл (1959). Наука механики в средние века . Мэдисон, Висконсин: Издательство Висконсинского университета.
9. Дейкстерхейс, EJ (1956). Архимед. Копенгаген: Э. Мунксгаард. п. 288.
10. "момент". Оксфордский словарь английского языка . 1933.
11. Венеция, Национальная библиотека Марциана, лат. З. 327 (=1842). Библиотека Марциана. в. 1450.
12. Галлуцци, Паоло (1979). Моменто. Студи Галилеани . Рим: Edizioni dell 'Ateneo & Bizarri.
13. Эйлер, Леонард (1765). Теория движения твердых или твердых тел: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [Теория движения твердых или твердых тел: установлена ​​на основе основных принципов наших знаний и подходит для всех движений, которые может возникнуть в таких органах.] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): А.Ф. Рёзе. п. 166. ИСБН 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Определение 7. 422. Импульс инерции тела относительно eujuspiam axis est summa omnium Productorum, quae oriuntur, si Singula Corporis Elementa per Squareta Distanceiarum Suarum Ab Ax Multiplicentur». (Определение 7.422. Момент инерции тела относительно какой-либо оси есть сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадраты их расстояний от оси.)
14. Гюйгенс, Кристиан (1673). Horologium oscillatorium, sive de Motu pendulorum ad horologia aptatoдемонстрировать геометрические фигуры (на латыни). п. 91.
15. Гюйгенс, Христиан (1977–1995). «Центр колебания (перевод)». Перевод Mahoney, Michael S. Получено 22 мая 2022 г.
16. Пуассон, Симеон-Дени (1811). Traité de mécanique, первый том. п. 67.
17. Томпсон, Сильванус Филлипс (1893). Динамоэлектрические машины: руководство для студентов-электротехников (4-е изд.). Нью-Йорк, Harvard Publishing Co., стр. 108.
18. Томсон, Джеймс; Лармор, Джозеф (1912). Сборник статей по физике и технике. University Press. стр. civ.
19. Пирсон, Карл (октябрь 1893 г.). «Асимметричные кривые частот». Nature . 48 (1252): 615–616. Bibcode :1893Natur..48..615P. doi :10.1038/048615a0. S2CID  4057772.
20. Венн, Дж. (сентябрь 1887 г.). «Закон ошибки». Nature . 36 (931): 411–412. Bibcode : 1887Natur..36..411V. doi : 10.1038/036411c0. S2CID  4098315.
21. Уокер, Хелен М. (1929). Исследования по истории статистического метода с особым акцентом на некоторые образовательные проблемы. Балтимор, Williams & Wilkins Co., стр. 71.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Moment (физика) на Wikimedia Commons
• [1] Словарное определение слова «момент».