В математике два линейных оператора называются изоспектральными или коспектральными, если они имеют одинаковый спектр . Грубо говоря, предполагается, что они имеют одинаковые наборы собственных значений , когда те учитываются с кратностью .
Теория изоспектральных операторов заметно различается в зависимости от того, является ли пространство конечномерным или бесконечномерным. В конечномерном пространстве по существу имеют дело с квадратными матрицами .
В бесконечных измерениях спектр не обязательно должен состоять исключительно из изолированных собственных значений. Однако случай компактного оператора в гильбертовом пространстве (или банаховом пространстве ) все еще поддается обработке, поскольку собственные значения не более счетны с не более чем одной предельной точкой λ = 0. Наиболее изученной изоспектральной задачей в бесконечных измерениях является задача оператора Лапласа в области в R 2 . Две такие области называются изоспектральными, если их лапласианы изоспектральные. Задача вывода геометрических свойств области из спектра ее лапласиана часто известна как задача « услышать форму барабана» .
В случае операторов на конечномерных векторных пространствах для комплексных квадратных матриц отношение изоспектральности для двух диагонализируемых матриц — это просто подобие . Однако это не снижает полностью интереса к концепции, поскольку мы можем иметь изоспектральное семейство матриц формы A ( t ) = M ( t ) −1 AM ( t ), зависящее от параметра t сложным образом. Это эволюция матрицы, которая происходит внутри одного класса подобия.
Фундаментальным открытием в теории солитонов было то, что бесконечно малый аналог этого уравнения, а именно
стоял за законами сохранения, которые были ответственны за то, чтобы солитоны не рассеивались. То есть сохранение спектра было интерпретацией механизма сохранения. Идентификация так называемых пар Лакса (P,L), приводящих к аналогичным уравнениям, Питером Лаксом , показала, как линейные механизмы могут объяснить нелинейное поведение.
Два замкнутых римановых многообразия называются изоспектральными, если собственные значения их оператора Лапласа–Бельтрами (лапласианы), подсчитанные по кратности, совпадают. Одна из фундаментальных проблем спектральной геометрии — выяснить, в какой степени собственные значения определяют геометрию данного многообразия.
Существует множество примеров изоспектральных многообразий, которые не являются изометрическими. Первый пример был дан в 1964 году Джоном Милнором . Он построил пару плоских торов 16-мерности, используя арифметические решетки, впервые изученные Эрнстом Виттом . После этого примера было построено много изоспектральных пар в размерности два и выше (например, М. Ф. Виньерасом, А. Икедой, Х. Уракавой, К. Гордоном). В частности, Виньерасом (1980), основываясь на формуле следа Сельберга для PSL(2, R ) и PSL(2, C ), построил примеры изоспектральных, неизометрических замкнутых гиперболических 2-многообразий и 3-многообразий как факторов гиперболического 2-пространства и 3-пространства по арифметическим подгруппам, построенным с использованием кватернионных алгебр, связанных с квадратичными расширениями рациональных чисел по теории полей классов . [1] В этом случае формула следа Сельберга показывает, что спектр лапласиана полностью определяет спектр длин [ требуется ссылка ] , множество длин замкнутых геодезических в каждом свободном гомотопическом классе, вместе с поворотом вдоль геодезической в трехмерном случае. [2]
В 1985 году Тошикадзу Сунадой был найден общий метод построения, основанный на технике покрывающего пространства , который в своей оригинальной или некоторых обобщенных версиях стал известен как метод Сунады или конструкция Сунады. Как и предыдущие методы, он основан на формуле следа через дзета-функцию Сельберга . Сунадой было замечено, что метод построения числовых полей с той же дзета-функцией Дедекинда может быть адаптирован к компактным многообразиям. Его метод основан на том факте, что если M — конечное покрытие компактного риманова многообразия M 0 с G — конечной группой преобразований палубы , а H 1 , H 2 — подгруппами G, встречающимися в каждом классе сопряженности G в том же числе элементов, то многообразия H 1 \ M и H 2 \ M являются изоспектральными, но не обязательно изометричными. Хотя это не восстанавливает арифметические примеры Милнора и Виньераса [ требуется цитата ] , метод Сунады даёт много известных примеров изоспектральных многообразий. Он привёл К. Гордона, Д. Уэбба и С. Вольперта к открытию в 1991 году контрпримера к проблеме Марка Каца « Можно ли услышать форму барабана? » Элементарная обработка, основанная на методе Сунады, была позже дана в работе Бузера и др. (1994).
Идея Сунады также стимулировала попытку найти изоспектральные примеры, которые не могли быть получены его техникой. Среди многих примеров наиболее ярким является односвязный пример Шуэта (1999). С другой стороны, Алан Рид доказал, что некоторые изоспектральные арифметические гиперболические многообразия в соизмеримы. [3]