В геометрии икосагон или 20-угольник — это двадцатисторонний многоугольник . Сумма внутренних углов любого икосагона равна 3240 градусов.
Правильный икосагон имеет символ Шлефли {20} , а также может быть построен как усечённый десятиугольник t{10} или дважды усечённый пятиугольник tt{5} .
Один внутренний угол правильного икосагона равен 162°, а это означает, что один внешний угол будет равен 18°.
Площадь правильного икосагона с длиной ребра t равна
С точки зрения радиуса R описанной окружности площадь равна
поскольку площадь круга равна правильному икосагону, он заполняет примерно 98,36% описанной окружности.
Большое колесо из популярного в США телевикторины The Price Is Right имеет икосагональное поперечное сечение.
Когда в 1989 году были проведены частичные раскопки, было обнаружено, что «Глобус», театр под открытым небом, используемый актерской труппой Уильяма Шекспира, был построен на икосагональном фундаменте .
В качестве голигональной траектории свастика считается неправильным икосагоном. [2]
Правильный квадрат, пятиугольник и икосагон могут полностью заполнить вершину плоскости .
Поскольку 20 = 2 2 × 5 , правильный икосагон можно построить с помощью циркуля и линейки , или путем разделения ребра пополам правильного десятиугольника , или дважды разделенного пополам правильного пятиугольника :
Правильный икосагон имеет симметрию Dih 20 , порядок 40. Существует 5 диэдральных симметрий подгрупп: (Dih 10 , Dih 5 ) и (Dih 4 , Dih 2 и Dih 1 ) и 6 циклических групповых симметрий: (Z 20 , Z 10 , Z 5 ) и ( Z 4 , Z 2 , Z 1 ) .
Эти 10 симметрий можно увидеть в 16 различных симметриях на икосагоне, большем количестве, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через края. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [3] Полная симметрия правильной формы равна r40 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g20 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Неправильные икосагоны с наивысшей симметрией - это d20 , изогональный икосагон, построенный из десяти зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие края, и p20 , изотоксальный икосагон, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного икосагона.
Коксетер утверждает, что каждый зоногон ( 2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. [4] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для икосагона m =10 , и его можно разделить на 45: 5 квадратов и 4 набора по 10 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции Петри 10-куба с 45 из 11520 граней. В списке OEIS : A006245 указано количество решений как 18 410 581 880, включая до 20-кратных вращений и киральные формы при отражении.
Икосаграмма — это 20-сторонний звездчатый многоугольник , обозначенный символом {20/n} . Символы Шлефли имеют три регулярные формы : {20/3} , {20/7} и {20/9} . Есть также пять обычных звездных фигур (составных фигур), использующих такое же расположение вершин : 2{10} , 4{5} , 5{4} , 2{10/3} , 4{5/2} и 10{2}. .
Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных форм икосаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. [5]
Правильную икосаграмму {20/9} можно рассматривать как квазиусеченный десятиугольник t{10/9}={20/9} . Аналогично декаграмма {10/3} имеет квазиусечение t{10/7}={20/7} , и, наконец, простое усечение декаграммы дает t{10/3}={20/3} .
Правильный икосагон — это многоугольник Петри для ряда многогранников более высокой размерности, показанный в ортогональных проекциях на плоскости Кокстера :
Это также многоугольник Петри для икосаэдра со 120 ячейками , малого звездчатого 120-ячеечного , большого икосаэдра со 120 ячейками и большого великого 120-ячеечного .
