Теорема Рохлина

О форме пересечения гладкого замкнутого 4-многообразия со спиновой структурой

В 4-мерной топологии, разделе математики, теорема Рохлина утверждает, что если гладкое , ориентируемое, замкнутое 4- многообразие M имеет спинорную структуру (или, что эквивалентно, второй класс Штифеля–Уитни равен нулю), то сигнатура его формы пересечения , квадратичной формы на второй группе когомологий , делится на 16. Теорема названа в честь Владимира Рохлина , который доказал ее в 1952 году. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle H^{2}(M)}$

Примеры

• Форма пересечения на М

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

является унимодулярной на по двойственности Пуанкаре , а исчезновение влечет, что форма пересечения четная. По теореме Кахита Арфа любая четная унимодулярная решетка имеет сигнатуру, делящуюся на 8, поэтому теорема Рохлина заставляет один дополнительный множитель 2 делить сигнатуру. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

• Поверхность K3 компактна, 4-мерна и равна нулю, а ее сигнатура равна −16, поэтому 16 — наилучшее возможное число в теореме Рохлина. ${\displaystyle w_{2}(M)}$
• Комплексная поверхность в степени является спиновой тогда и только тогда, когда четная. Она имеет сигнатуру , что можно увидеть из теоремы Фридриха Хирцебруха о сигнатуре . Случай возвращает последний пример поверхности K3 . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$ ${\displaystyle d=4}$
• Многообразие E8 Майкла Фридмана является односвязным компактным топологическим многообразием с исчезающей и пересекающейся формой сигнатуры 8. Теорема Рохлина подразумевает, что это многообразие не имеет гладкой структуры . Это многообразие показывает, что теорема Рохлина неверна для множества просто топологических (а не гладких) многообразий. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle E_{8}}$
• Если многообразие M односвязно (или, в более общем случае, если первая группа гомологий не имеет 2-кручения), то обращение в нуль эквивалентно четности формы пересечения. В общем случае это неверно: поверхность Энриквеса является компактным гладким 4-многообразием и имеет четную форму пересечения II _1,9 сигнатуры −8 (не делится на 16), но класс не обращается в нуль и представлен элементом кручения во второй группе когомологий. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

Доказательства

Теорема Рохлина может быть выведена из того факта, что третья стабильная гомотопическая группа сфер является циклической порядка 24; это оригинальный подход Рохлина. ${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$

Его также можно вывести из теоремы Атьи–Зингера об индексе . См. Â род и теорему Рохлина .

Робион Кирби  (1989) дает геометрическое доказательство.

Инвариант Рохлина

Поскольку теорема Рохлина утверждает, что сигнатура спинового гладкого многообразия делится на 16, определение инварианта Рохлина выводится следующим образом:

Для 3-многообразия и спиновой структуры на инвариант Рохлина в определяется как сигнатура любого гладкого компактного спинового 4-многообразия со спиновой границей . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu (N,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (N,s)}$

Если N — спиновое 3-многообразие, то оно ограничивает спиновое 4-многообразие M. Сигнатура M делится на 8, и простое применение теоремы Рохлина показывает, что ее значение mod 16 зависит только от N , а не от выбора M. Гомологические 3-сферы имеют уникальную спиновую структуру , поэтому мы можем определить инвариант Рохлина гомологической 3-сферы как элемент , где M — любое спиновое 4-многообразие, ограничивающее гомологическую сферу. ${\displaystyle \operatorname {sign} (M)/8}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Например, гомологическая сфера Пуанкаре ограничивает спиновое 4-многообразие с формой пересечения , поэтому ее инвариант Рохлина равен 1. Этот результат имеет некоторые элементарные следствия: гомологическая сфера Пуанкаре не допускает гладкого вложения в и не ограничивает многообразие Мазура . ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle S^{4}}$

В более общем случае, если N — спиновое 3-многообразие (например, любая гомологическая сфера), то сигнатура любого спинового 4-многообразия M с границей N хорошо определена по модулю 16 и называется инвариантом Рохлина для N. На топологическом 3-многообразии N обобщенный инвариант Рохлина относится к функции, областью определения которой являются спиновые структуры на N , и которая вычисляется как инвариант Рохлина пары , где s — спиновая структура на N. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (N,s)}$

Инвариант Рохлина M равен половине инварианта Кассона по модулю 2. Инвариант Кассона рассматривается как Z -значный подъем инварианта Рохлина целочисленной гомологической 3-сферы.

Обобщения

Теорема Кервера–Милнора (Kervaire & Milnor 1960) утверждает, что если — характеристическая сфера в гладком компактном 4-многообразии M , то ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6}$.

Характеристическая сфера — это вложенная 2-сфера, класс гомологии которой представляет класс Штифеля–Уитни . Если обращается в нуль, то можно взять любую малую сферу, имеющую индекс самопересечения 0, откуда следует теорема Рохлина. ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Теорема Фридмана –Кирби (Freedman & Kirby 1978) утверждает, что если — характеристическая поверхность в гладком компактном 4-многообразии M , то ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma ){\bmod {1}}6}$.

где — инвариант Арфа некоторой квадратичной формы на . Этот инвариант Арфа, очевидно, равен 0, если — сфера, поэтому теорема Кервера–Милнора является частным случаем. ${\displaystyle \operatorname {Arf} (M,\Sigma )}$ ${\displaystyle H_{1}(\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Обобщение теоремы Фридмана-Кирби на топологические (а не гладкие) многообразия утверждает, что

${\displaystyle \operatorname {signature} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatorname {Arf} (M,\Sigma )+8\operatorname {ks} (M){\bmod {1}}6}$,

где — инвариант Кирби–Зибенмана для M. Инвариант Кирби–Зибенмана для M равен 0, если M является гладким. ${\displaystyle \operatorname {ks} (M)}$

Арманд Борель и Фридрих Хирцебрух доказали следующую теорему: если X — гладкое компактное спиновое многообразие размерности, делящейся на 4, то род Â является целым числом и четным, если размерность X равна 4 mod 8. Это можно вывести из теоремы Атьи–Зингера об индексе : Майкл Атья и Изадор Зингер показали, что род Â является индексом оператора Атьи–Зингера, который всегда является целым числом и четным в размерностях 4 mod 8. Для 4-мерного многообразия теорема Хирцебруха о сигнатуре показывает, что сигнатура в −8 раз больше рода Â, поэтому в размерности 4 это влечет теорему Рохлина.

Ошанин (1980) доказал, что если X — компактное ориентированное гладкое спиновое многообразие размерности 4 mod 8, то его сигнатура делится на 16.

Ссылки

• Freedman, Michael ; Kirby, Robion (1978), "Геометрическое доказательство теоремы Рохлина", Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Часть 2, стр. 85–97 , Труды симпозиумов по чистой математике, т. XXXII, Providence, Rhode Island: American Mathematics Society, ISBN 0-8218-1432-X, МР  0520525
• Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий , Lecture Notes in Mathematics, т. 1374, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, MR  1001966
• Кервер, Мишель А.; Милнор , Джон У. (1960), «Числа Бернулли, гомотопические группы и теорема Рохлина», Труды Международного конгресса математиков, 1958 , Нью-Йорк: Cambridge University Press , стр. 454–458, MR  0121801
• Кервер, Мишель А.; Милнор, Джон У. (1961), «О 2-сферах в 4-многообразиях», Труды Национальной академии наук , т. 47, стр. 1651–1657, MR  0133134
• Мацумото, Ёитиро (1986), Элементарное доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре и ее расширение Гийо и Марина (PDF)
• Михельсон, Мари-Луиза ; Лоусон, Х. Блейн (1989), Геометрия спина , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08542-0, г-н  1031992(особенно страница 280)
• Ошанин, Серж, Подпись по модулю 16, общие инварианты и характеристические имена в K-теории реальности , Mém. Соц. Математика. Франция 1980/81, нет. 5, МР  1809832
• Рохлин, Владимир А. , Новые результаты в теории четырехмерных многообразий , Доклады АН СССР 84 (1952) 221–224. MR 0052101
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3749-8, г-н  2136212
• Сюч, Андраш (2003), «Две теоремы Рохлина», Журнал математических наук , 113 (6): 888–892, doi :10.1023/A:1021208007146, MR  1809832, S2CID  117175810