Какейя набор

Форма, содержащая единичные отрезки во всех направлениях

Игла, показанная вращающейся внутри дельтовидной мышцы . На каждом этапе вращения (за исключением случая, когда конечная точка находится на вершине дельтовидной мышцы) игла контактирует с дельтовидной мышцей в трех точках: двух конечных точках (синие) и одной точке касания (черная). Средняя точка иглы (красная) описывает окружность с диаметром, равным половине длины иглы.

В математике множество Какея , или множество Безиковича , — это множество точек в евклидовом пространстве , которое содержит единичный отрезок прямой в каждом направлении. Например, диск радиусом 1/2 в евклидовой плоскости или шар радиусом 1/2 в трехмерном пространстве образуют множество Какея. Большая часть исследований в этой области изучала проблему того, насколько малыми могут быть такие множества. Безикович показал, что существуют множества Безиковича меры ноль .

Набор игл Какея (иногда также известный как набор Какея) — это набор (Безиковича) на плоскости с более сильным свойством, что единичный отрезок линии может непрерывно вращаться на 180 градусов внутри него, возвращаясь в исходное положение с обратной ориентацией. Опять же, диск радиусом 1/2 является примером набора игл Какея.

Проблема с иглой Какея

Задача о игле Какея спрашивает, существует ли минимальная площадь области на плоскости, в которой игла единичной длины может быть повернута на 360°. Этот вопрос был впервые поставлен для выпуклых областей Соити Какея  (1917). Минимальная площадь для выпуклых множеств достигается равносторонним треугольником высотой 1 и площадью 1/ √ 3 , как показал Пал . ^[1] ${\displaystyle D}$

Какейя, похоже, предположил, что множество Какейя минимальной площади без ограничения выпуклости будет иметь форму трехконечной дельтовидной формы. Однако это неверно; существуют меньшие невыпуклые множества Какейя. ${\displaystyle D}$

Наборы игл Besicovitch

"Проращивание дерева Перрона": метод построения множества Какейя малой меры. Здесь показаны два возможных способа деления нашего треугольника и наложения частей для получения меньшего множества, первый, если мы используем только два треугольника, и второй, если мы используем восемь. Метод можно использовать для построения произвольно малого множества путем разрезания исходного треугольника на части. Подробности см. в ^{[2] .} ${\displaystyle 2^{n}}$

Безиковичу удалось показать, что не существует нижней границы > 0 для площади такой области , в которой игла единичной длины может быть повернута. То есть, для каждого существует область площади , в пределах которой игла может двигаться посредством непрерывного движения, которое вращает ее на полные 360 градусов. ^[3] Это основано на его более ранней работе о плоских множествах, которые содержат единичный сегмент в каждой ориентации. Такое множество теперь называется множеством Безиковича . Работа Безиковича, показывающая, что такое множество может иметь произвольно малую меру, была написана в 1919 году. Возможно, эта проблема рассматривалась аналитиками и до этого. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Один из методов построения множества Безиковича (см. рисунок для соответствующих иллюстраций) известен как «дерево Перрона» в честь Оскара Перрона , который смог упростить исходную конструкцию Безиковича. ^[4] Точная конструкция и численные границы приведены в популяризации Безиковича. ^[2]

Первое наблюдение, которое следует сделать, заключается в том, что игла может двигаться по прямой линии столько, сколько захочет, не заметая никакой области. Это происходит потому, что игла представляет собой отрезок линии нулевой ширины. Второй трюк Пала , известный как Pál joins ^[5], описывает, как перемещать иглу между любыми двумя параллельными точками, заметая при этом незначительную область. Игла будет следовать форме буквы «N». Она перемещается из первой точки на некоторое расстояние вверх влево от «N», заметает угол к средней диагонали, перемещается вниз по диагонали, заметает второй угол, а затем перемещается вверх по параллельной правой стороне «N», пока не достигнет требуемой второй точки. Единственными заметаемыми областями с ненулевой площадью являются два треугольника высотой один и угол в верхней части «N». Заметаемая площадь пропорциональна этому углу, который пропорционален . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1/r}$

Построение начинается с любого треугольника с высотой 1 и некоторым существенным углом наверху, через который игла может легко пройти. Цель состоит в том, чтобы выполнить много операций над этим треугольником, чтобы уменьшить его площадь, сохранив направления, по которым игла может пройти, прежними. Сначала рассмотрим деление треугольника на две части и перемещение частей друг над другом так, чтобы их основания перекрывались таким образом, чтобы минимизировать общую площадь. Игла может выметать те же направления, выметая те, которые заданы первым треугольником, перепрыгивая во второй, а затем выметая направления, заданные вторым. Игла может перепрыгивать треугольники, используя технику «N», потому что две линии, по которым был разрезан исходный треугольник, параллельны.

Теперь предположим, что мы разделили наш треугольник на 2 ⁿ подтреугольников. На рисунке показано восемь. Для каждой последовательной пары треугольников выполните ту же операцию перекрытия, которую мы описали ранее, чтобы получить вдвое меньше новых фигур, каждая из которых состоит из двух перекрывающихся треугольников. Затем перекройте последовательные пары этих новых фигур, сдвинув их так, чтобы их основания перекрывались таким образом, чтобы минимизировать общую площадь. Повторите это n раз, пока не останется только одна фигура. Опять же, игла может выметать те же направления, выметая их в каждом из 2 ⁿ подтреугольников в порядке их направления. Игла может перепрыгивать последовательные треугольники, используя технику «N», потому что две линии, по которым были разрезаны эти треугольники, параллельны.

Осталось вычислить площадь окончательной фигуры. Доказательство слишком сложно представить здесь. Вместо этого мы просто порассуждаем, как могут выглядеть числа. Глядя на рисунок, можно увидеть, что 2 ⁿ подтреугольников сильно перекрываются. Все они перекрываются внизу, половина из них внизу левой ветви, четверть из них внизу левой левой ветви и так далее. Предположим, что площадь каждой фигуры, созданной с помощью i операций слияния из 2 ⁱ подтреугольников, ограничена A _i . Перед слиянием двух из этих фигур их площадь ограничена 2 A _i . Затем мы перемещаем две фигуры вместе таким образом, чтобы они перекрывались как можно больше. В худшем случае эти две области представляют собой два прямоугольника размером 1 на ε, перпендикулярных друг другу, так что они перекрываются на площади всего лишь ε ² . Но две фигуры, которые мы построили, хотя и длинные и узкие, указывают в основном в одном направлении, поскольку они сделаны из последовательных групп подтреугольников. В размахивании рукой говорится, что они перекрываются по крайней мере на 1% своей площади. Тогда объединенная площадь будет ограничена A _i+1 = 1,99 A _i . Площадь исходного треугольника ограничена 1. Следовательно, площадь каждого подтреугольника ограничена A ₀ = 2 ^-n , а окончательная форма имеет площадь, ограниченную A _n = 1,99 ⁿ × 2 ^-n . На самом деле, тщательное суммирование всех областей, которые не перекрываются, дает, что площадь конечной области намного больше, а именно 1/n . По мере роста n эта площадь уменьшается до нуля. Множество Безиковича можно создать, объединив шесть поворотов дерева Перрона, созданного из равностороннего треугольника. Подобную конструкцию можно сделать с помощью параллелограммов

Существуют и другие методы построения множеств Безиковича меры ноль, помимо метода «прорастания». Например, Кахане использует множества Кантора для построения множества Безиковича меры ноль в двумерной плоскости. ^[6]

Набор иголок Какейя, изготовленный из деревьев Перрон.

В 1941 году HJ Van Alphen ^[7] показал, что существуют произвольные малые наборы игл Какея внутри круга с радиусом 2 + ε (произвольное ε > 0). Односвязные наборы игл Какея с площадью, меньшей, чем дельтовидная, были найдены в 1965 году. Melvin Bloom и IJ Schoenberg независимо представили наборы игл Какея с площадями, приближающимися к , числу Блума-Шенберга . Шенберг предположил, что это число является нижней границей для площади односвязных наборов игл Какея. Однако в 1971 году F. Cunningham ^[8] показал, что при заданном ε > 0 существует односвязный набор игл Какея с площадью, меньшей, чем ε, содержащийся в круге радиуса 1. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

Хотя существуют множества игл Какея произвольно малой положительной меры и множества Безиковича меры 0, множеств игл Какея меры 0 не существует.

Гипотеза Какея

Заявление

Тот же вопрос о том, насколько малыми могут быть эти множества Безиковича, был затем поставлен в более высоких измерениях, что привело к ряду гипотез, известных под общим названием гипотезы Какейи , и помогло инициировать область математики, известную как геометрическая теория меры . В частности, если существуют множества Безиковича меры ноль, могут ли они также иметь s-мерную меру Хаусдорфа ноль для некоторого измерения s, меньшего, чем размерность пространства, в котором они лежат? Этот вопрос приводит к следующей гипотезе:

Гипотеза о множестве Какея : Определите множество Безиковича в R ⁿ как множество, содержащее единичный отрезок прямой в каждом направлении. Верно ли, что такие множества обязательно имеют размерность Хаусдорфа и размерность Минковского, равную n ?

Известно, что это справедливо для n = 1, 2, но в более высоких размерностях известны только частичные результаты.

Максимальная функция Какея

Современный способ решения этой проблемы заключается в рассмотрении особого типа максимальной функции , которую мы строим следующим образом: Обозначим S ^{n −1} ⊂ R ⁿ как единичную сферу в n -мерном пространстве. Определим как цилиндр длины 1, радиуса δ > 0, с центром в точке a ∈ R ⁿ , и длинная сторона которого параллельна направлению единичного вектора e ∈ S ^{n −1} . Тогда для локально интегрируемой функции f мы определяем максимальную функцию Какея функции f как ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

где m обозначает n -мерную меру Лебега . Обратите внимание, что определено для векторов e в сфере S ^{n −1} . ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$

Тогда существует гипотеза для этих функций, которая, если она верна, будет подразумевать гипотезу множества Какея для более высоких измерений:

Гипотеза Какея о максимальной функции : для всех ε > 0 существует константа C _ε > 0 такая, что для любой функции f и всех δ > 0 (см. обозначения в пространстве lp )

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

Результаты

Некоторые результаты, направленные на доказательство гипотезы Какея, следующие:

• Гипотеза Какея верна для n = 1 (тривиально) и n = 2 (Дэвис ^[9] ).
• ^{Вольф [10]} показал, что в любом n -мерном пространстве размерность множества Какея должна быть не менее ( n +2)/2.
• В 2002 году Кац и Тао ^[11] улучшили оценку Вольфа до , которая стала лучше для n > 4. ${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• В 2000 году Кац , Лаба и Тао ^[12] доказали, что размерность Минковского множеств Какея в трех измерениях строго больше 5/2.
• В 2000 году Жан Бургейн связал проблему Какейя с арифметической комбинаторикой ^{[13] [14]} , которая включает гармонический анализ и аддитивную теорию чисел .
• В 2017 году Кац и Заль ^[15] улучшили нижнюю границу размерности Хаусдорфа множеств Безиковича в 3 измерениях до абсолютной константы . ${\displaystyle 5/2+\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Приложения к анализу

Несколько удивительно, что эти гипотезы, как было показано, связаны с рядом вопросов в других областях, в частности, в гармоническом анализе . Например, в 1971 году Чарльз Фефферман смог использовать конструкцию множества Безиковича, чтобы показать, что в размерностях больше 1 усеченные интегралы Фурье, взятые по шарам с центром в начале координат и радиусами, стремящимися к бесконечности, не обязательно сходятся в норме L ^{p ,} когда p ≠ 2 (это контрастирует с одномерным случаем, где такие усеченные интегралы сходятся). ^[16]

Аналоги и обобщения проблемы Какея

Наборы, содержащие круги и сферы

Аналоги задачи Какея включают рассмотрение множеств, содержащих более общие формы, чем линии, например, круги.

• В 1997 ^[17] и 1999 ^[18] Вольф доказал, что множества, содержащие сферу любого радиуса, должны иметь полную размерность, то есть размерность, равную размерности пространства, в котором она лежит, и доказал это, доказав границы круговой максимальной функции, аналогичной максимальной функции Какея.

• Было высказано предположение, что существуют множества, содержащие сферу вокруг каждой точки меры ноль. Результаты Элиаса Стайна ^[19] доказали, что все такие множества должны иметь положительную меру, когда n ≥ 3, а Марстранд ^[20] доказал то же самое для случая n=2 .

Наборы, содержащиек-мерные диски

Обобщение гипотезы Какея заключается в рассмотрении множеств, содержащих вместо сегментов прямых в каждом направлении, но, скажем, части k -мерных подпространств. Определим ( n , k )-множество Безиковича K как компактное множество в R ^{n ,} содержащее трансляцию каждого k -мерного единичного круга, имеющего нулевую меру Лебега. То есть, если B обозначает единичный шар с центром в нуле, для каждого k -мерного подпространства P существует x ∈ R ⁿ такое, что ( P ∩ B ) + x ⊆ K . Следовательно, ( n , 1)-множество Безиковича является стандартным множеством Безиковича, описанным ранее.

Гипотеза ( n , k )-Безиковича: не существует множеств ( n , k )-Безиковича для k > 1.

В 1979 году Марстранд ^[21] доказал, что не существует (3, 2)-множеств Безиковича. Однако примерно в то же время Фалконер ^[22] доказал, что не существует ( n , k )-множеств Безиковича для 2 k > n . Наилучшая оценка на сегодняшний день принадлежит Бургейну ^[23], который доказал, что таких множеств не существует, когда 2 ^{k −1} + k > n .

Множества Какейя в векторных пространствах над конечными полями

В 1999 году Вольф сформулировал аналог конечного поля для проблемы Какея в надежде, что методы решения этой гипотезы можно будет перенести на евклидов случай.

Гипотеза Какея о конечном поле : Пусть F — конечное поле, пусть K ⊆ F ⁿ — множество Какея, т. е. для каждого вектора y ∈ F ⁿ существует x ∈ F ⁿ такой, что K содержит строку { x + ty  : t ∈ F }. Тогда множество K имеет размер не менее c _n | F | ⁿ , где c _n >0 — константа, зависящая только от n .

Зеев Двир доказал эту гипотезу в 2008 году, показав, что утверждение справедливо для c _n = 1/ n !. ^{[24] [25]} В своем доказательстве он заметил, что любой многочлен от n переменных степени, меньшей, чем | F |, исчезающий на множестве Какея, должен быть тождественно равен нулю. С другой стороны, многочлены от n переменных степени, меньшей, чем | F |, образуют векторное пространство размерности

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

Следовательно, существует по крайней мере один нетривиальный многочлен степени меньше, чем | F |, который исчезает на любом заданном наборе с меньшим, чем это число точек. Объединение этих двух наблюдений показывает, что наборы Какея должны иметь по крайней мере | F | ⁿ / n ! точек.

Неясно, будут ли методы распространяться на доказательство исходной гипотезы Какея, но это доказательство придает достоверность исходной гипотезе, делая по существу алгебраические контрпримеры маловероятными. Двир написал обзорную статью о прогрессе в решении проблемы конечного поля Какея и ее связи с экстракторами случайности . ^[26]

Смотрите также

• Никодим сет

Примечания

1. Пал, Юлиус (1920). «Проблема вариаций Ueber ein elementares». Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Медд . 2 :1–35.
2. Besicovitch, AS (август 1963). «Проблема Какейя». The American Mathematical Monthly . 70 (7): 697. doi :10.2307/2312249. ISSN  0002-9890.
3. Безикович, Абрам (1919). «Сюр два вопроса об интеграции функций». Дж. Сок. Физ. Математика . 2 : 105–123.
   Безикович, Абрам (1928). «О проблеме Какеи и подобных». Mathematische Zeitschrift . 27 : 312–320. дои : 10.1007/BF01171101. S2CID  121781065.
4. Перрон, О. (1928). «Über einen Satz von Besicovitch». Mathematische Zeitschrift . 28 : 383–386. дои : 10.1007/BF01181172. S2CID  120768630.
   Фалконер, К. Дж. (1985). Геометрия фрактальных множеств . Cambridge University Press. С. 96–99.
5. Проблема Какея. Архивировано 15 июля 2015 г. на Wayback Machine Маркусом Фуртнером.
6. Кахане, Жан-Пьер (1969). «Три заметки о линейных ансамблях парфе». Инженерная математика . 15 : 185–192.
7. Альфен, HJ (1942). «Уитбрейдинг ван эн стеллинг фон Безикович». Математика Зютфен Б. 10 : 144–157.
8. Каннингем, Ф. (1971). «Проблема Какейя для односвязных и звездных множеств» (PDF) . American Mathematical Monthly . 78 (2). The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 2: 114–129. doi :10.2307/2317619. JSTOR  2317619.
9. Дэвис, Рой (1971). «Некоторые замечания по проблеме Какейя». Proc. Cambridge Philos. Soc . 69 (3): 417–421. Bibcode : 1971PCPS...69..417D. doi : 10.1017/S0305004100046867.
10. Вольф, Томас (1995). «Улучшенная оценка максимальных функций типа Какея». Rev. Mat. Iberoamericana . 11 : 651–674. doi : 10.4171/rmi/188 .
11. Кац, Нетс Хок ; Тао, Теренс (2002). «Новые границы проблем Какеи». Журнал Математического Анализа . 87 : 231–263. arXiv : математика/0102135 . дои : 10.1007/BF02868476 . S2CID  119644987.
12. Katz, Nets Hawk; Łaba, Izabella; Tao, Terence (сентябрь 2000 г.). «Улучшенная граница размерности Минковского множеств Безиковича ». Анналы математики . 152 (2): 383–446. arXiv : math/0004015 . doi :10.2307/2661389. JSTOR  2661389. S2CID  17007027. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
13. J. Bourgain, Гармонический анализ и комбинаторика: насколько они могут способствовать друг другу?, Математика: Границы и перспективы, IMU/Amer. Math. Soc., 2000, стр. 13–32.
14. Тао, Теренс (март 2001 г.). «От вращающихся игл к устойчивости волн: возникающие связи между комбинаторикой, анализом и уравнениями в частных производных» (PDF) . Notices of the AMS . 48 (3): 297–303.
15. Katz, Nets Hawk; Zahl, Joshua (2019). «Улучшенная граница размерности Хаусдорфа множеств Безиковича в ». Журнал Американского математического общества . 32 (1): 195–259. arXiv : 1704.07210 . doi : 10.1090/jams/907. S2CID  119322412. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
16. Фефферман, Чарльз (1971). «Проблема множителя для шара». Annals of Mathematics . 94 (2): 330–336. doi :10.2307/1970864. JSTOR  1970864.
17. Вольф, Томас (1997). «Проблема Какейя для окружностей». Американский журнал математики . 119 (5): 985–1026. doi :10.1353/ajm.1997.0034. S2CID  120122372.
18. Вольф, Томас ; Вольф, Томас (1999). «О некоторых вариантах проблемы Какейя» (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 190 : 111–154. doi : 10.2140/pjm.1999.190.111 .
19. Stein, Elias (1976). "Максимальные функции: сферические средние". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 73 (7): 2174–2175. Bibcode :1976PNAS...73.2174S. doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482 . PMID  16592329. 
20. Марстранд, Дж. М. (1987). «Упаковка кругов на плоскости». Труды Лондонского математического общества . 55 : 37–58. doi :10.1112/plms/s3-55.1.37.
21. Марстранд, Дж. М. (1979). «Упаковка плоскостей в ». Mathematika . 26 (2): 180–183. doi :10.1112/S0025579300009748. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
22. Фалконер, К. Дж. (1980). «Свойства непрерывности интегралов k-плоскости и множеств Безиковича». Math. Proc. Cambridge Philos. Soc . 87 (2): 221–226. Bibcode :1980MPCPS..87..221F. doi :10.1017/S0305004100056681.
23. Бургейн, Жан (1997). «Максимальные операторы типа Безиковича и их применение в анализе Фурье». Геометрический и функциональный анализ . 1 (2): 147–187. doi :10.1007/BF01896376. S2CID  122038469.
24. Dvir, Z. (2009). «О размере множеств Какейя в конечных полях». Журнал Американского математического общества . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode :2009JAMS...22.1093D. doi :10.1090/S0894-0347-08-00607-3. S2CID  3358826.
25. Теренс Тао (2008-03-24). "Доказательство Двира гипотезы Какея о конечном поле". Что нового . Получено 2008-04-08 .
26. Двир, Зеев (2009). «От извлечения случайности к вращающимся иглам». Новости ACM SIGACT . ECCC  TR09-077..

Ссылки

• Безикович, Абрам (1963). «Проблема Какейя». American Mathematical Monthly . 70 (7): 697–706. doi :10.2307/2312249. JSTOR  2312249. MR  0157266.
• Dvir, Zeev (2009). «О размере множеств Какея в конечных полях». Журнал Американского математического общества . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode : 2009JAMS...22.1093D. doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3. MR  2525780. S2CID  3358826.
• Фальконер, Кеннет Дж. (1985). Геометрия фрактальных множеств . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 85. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. МР  0867284.
• Какея, Соичи (1917). «Некоторые проблемы максимума и минимума относительно овалов». Tohoku Science Reports . 6 : 71–88.
• Кац, Нетс Хок ; Лаба, Изабелла ; Тао, Теренс (2000). «Улучшенная оценка размерности Минковского множеств Безиковича в R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}» (PDF) . Анналы математики . 152 (2): 383–446. дои : 10.2307/2661389. JSTOR  2661389. MR  1804528. S2CID  17007027.

• Вольф, Томас (1999). «Недавние работы, связанные с проблемой Какейя». В Росси, Хьюго (ред.). Перспективы в математике: приглашенные доклады по случаю 250-летия Принстонского университета . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4. МР  1660476.
• Вольф, Томас (2003). Лаба, Изабелла ; Шубин, Кэрол (ред.). Лекции по гармоническому анализу . Серия университетских лекций. Том 29. С предисловием Чарльза Феффермана и предисловием Изабеллы Лабы. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/ulect/029. ISBN 0-8218-3449-5. МР  2003254.

Внешние ссылки

• Какея в Университете Британской Колумбии
• Безикович в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе
• Проблема с иглой Какеи в Mathworld
• Доказательство Двира гипотезы Какея о конечном поле в блоге Теренса Тао
• Введение в множества Безиковича-Какея