Теория Калуцы – Клейна

Единая теория поля

В физике теория Калуцы-Клейна ( теория К.К. ) — это классическая единая полевая теория гравитации и электромагнетизма , построенная на идее пятого измерения за пределами общего 4D пространства и времени и считающаяся важным предшественником теории струн . В их конструкции вакуум имеет обычные три измерения пространства и одно измерение времени, но с еще одним микроскопическим дополнительным пространственным измерением в форме крошечного круга. Похожая идея возникла у Гуннара Нордстрема раньше. Но в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу был добавлен пятый компонент, представляющий ньютоновский гравитационный потенциал и записывающий уравнения Максвелла в пяти измерениях. ^[1]

Пятимерная (5D) теория развивалась в три этапа. Первоначальная гипотеза исходила от Теодора Калуцы , который отправил свои результаты Эйнштейну в 1919 году ^[2] и опубликовал их в 1921 году. ^[3] Калуца ​​представил чисто классическое расширение общей теории относительности на 5D с метрическим тензором из 15 компонентов. Десять компонентов отождествляются с четырехмерной метрикой пространства-времени, четыре компонента — с электромагнитным векторным потенциалом и один компонент — с неопознанным скалярным полем , которое иногда называют « радионом » или «дилатоном». Соответственно, 5D-уравнения Эйнштейна дают 4D- уравнения поля Эйнштейна , уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для скалярного поля. Калуца ​​также представил гипотезу «состояния цилиндра», согласно которой ни один компонент пятимерной метрики не зависит от пятого измерения. Без этого ограничения вводятся члены, включающие производные полей по пятой координате, и эта дополнительная степень свободы делает математику полностью переменной 5D-теории относительности чрезвычайно сложной. Стандартная 4D-физика, кажется, демонстрирует это «состояние цилиндра», а вместе с ним и более простую математику.

В 1926 году Оскар Кляйн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию ^{[4] [5]} в соответствии с недавними на тот момент открытиями Гейзенберга и Шрёдингера. Кляйн выдвинул гипотезу о том, что пятое измерение свернуто и микроскопично, чтобы объяснить состояние цилиндра. Кляйн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга радиусом10−30  см . ^_ Точнее, радиус кругового измерения в 23 раза больше планковской длины, которая, в свою очередь, имеет порядок10−33  см . ^{_ [5]} Кляйн также внес вклад в классическую теорию, предоставив правильно нормализованную 5D-метрику. ^[4] Работа над теорией поля Калуцы продолжалась в 1930-е годы Эйнштейном и его коллегами в Принстоне.

В 1940-х годах классическая теория была завершена, и полные уравнения поля, включая скалярное поле, были получены тремя независимыми исследовательскими группами: ^[6] Тири, ^{[7] [8] [9]} работавшими во Франции над своей диссертацией под руководством Лихнеровича; Джордан, Людвиг и Мюллер в Германии, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} с критическим вкладом Паули и Фирца; и Шеррер ^{[15] [16] [17]} работают одни в Швейцарии. Работа Джордана привела к созданию скалярно-тензорной теории Бранса-Дике ; ^[18] Бранс и Дике, очевидно, не знали о Тири или Шеррере. Полные уравнения Калуцы в условиях цилиндра довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных уравнений Калуцы были оценены с использованием программного обеспечения тензорной алгебры в 2015 году ^[19] для проверки результатов Феррари ^[20] и Кокеро и Эспозито-Фарезе. ^[21] 5D-ковариантная форма членов источника энергии-импульса рассматривается Уильямсом. ^[22]

Гипотеза Калуцы

В своей статье 1921 г. ^[3] Калуца ​​установил все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор энергии-импульса и состояние цилиндра. Не имея свободных параметров , он просто расширяет общую теорию относительности до пяти измерений. Начнем с выдвижения гипотезы о форме пятимерной метрики , в которой латинские индексы охватывают пять измерений. Давайте также введем четырехмерную метрику пространства-времени , где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-вектор , отождествляемый с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле . Затем разложите 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была представлена ​​электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой диагонали. Это можно представить как ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Можно написать точнее

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},}$

где индекс по соглашению указывает пятую координату, хотя первые четыре координаты имеют индексы 0, 1, 2 и 3. Соответствующая обратная метрика равна ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Это разложение является весьма общим, и все члены безразмерны. Затем Калуца ​​применяет к этой метрике аппарат стандартной общей теории относительности . Уравнения поля получены из пятимерных уравнений Эйнштейна , а уравнения движения — из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные в результате уравнения поля представляют собой уравнения как общей теории относительности, так и электродинамики; уравнения движения дают четырехмерное уравнение геодезических и закон силы Лоренца , и можно обнаружить, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.

Гипотеза метрики подразумевает инвариантный пятимерный элемент длины : ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }+\phi ^{2}(A_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Уравнения поля из гипотезы Калуцы

Уравнения поля пятимерной теории никогда не были адекватно представлены Калуцей и Клейном, потому что они игнорировали скалярное поле . Полные уравнения поля Калуцы обычно приписывают Тири ^[8] , который получил уравнения вакуумного поля, хотя Калуца ^​​[3] первоначально предоставил тензор энергии-импульса для своей теории, а Тири включил тензор энергии-напряжения в свою диссертацию. Но, как описал Гоннер, ^[6] несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, пожалуй, наиболее известен только потому, что английский перевод был предоставлен Applequist, Chodos и Freund в их обзорной книге. ^[23] Эпплквист и др. также предоставил английский перевод статьи Калуцы. Переводы трех (1946, 1947, 1948) статей Джордана можно найти в архивах ResearchGate и Academia.edu . ^{[10] [11] [13]} Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были предоставлены Уильямсом. ^[19]

Чтобы получить уравнения поля 5D, связи 5D рассчитываются на основе метрики 5D , а тензор Риччи 5D рассчитывается на основе связей 5D . ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Классические результаты Тири и других авторов предполагают состояние цилиндра:

${\displaystyle {\frac {\partial {\widetilde {g}}_{ab}}{\partial x^{5}}}=0.}$

Без этого предположения уравнения поля становятся намного более сложными, предоставляя гораздо больше степеней свободы, которые можно отождествить с различными новыми полями. Пол Вессон и его коллеги стремились к релаксации условия цилиндра, чтобы получить дополнительные члены, которые можно отождествить с полями материи, ^[24] для которых Калуца ^​​[3] в противном случае вручную вставил тензор энергии-импульса.

Возражением против первоначальной гипотезы Калуцы было обращение к пятому измерению только для того, чтобы свести на нет его динамику. Но Тири утверждал ^[6] , что интерпретация закона силы Лоренца в терминах пятимерной геодезической сильно противоречит пятому измерению, независимо от состояния цилиндра. Поэтому большинство авторов использовали условие цилиндра при выводе уравнений поля. Кроме того, обычно предполагаются уравнения вакуума, для которых

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0,}$

где

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}}$

и

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}).}$

Уравнения вакуумного поля, полученные таким образом Тири ^[8] и группой Джордана ^{[10] [11] [13],} заключаются в следующем.

Уравнение поля для получено из ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={\frac {1}{4}}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta },}$

где и — стандартная 4D- ковариантная производная . Это показывает, что электромагнитное поле является источником скалярного поля . Обратите внимание, что скалярное поле не может быть установлено постоянным без ограничения электромагнитного поля. Более ранние исследования Калуцы и Кляйна не содержали адекватного описания скалярного поля и не учитывали подразумеваемое ограничение на электромагнитное поле, предполагающее, что скалярное поле является постоянным. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu },}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

Уравнение поля для получено из ${\displaystyle A^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={\frac {1}{2}}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).}$

Оно имеет вид вакуумных уравнений Максвелла, если скалярное поле постоянно.

Уравнение поля для четырехмерного тензора Риччи получается из ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi ),\end{aligned}}}$

где – стандартный 4D скаляр Риччи. ${\displaystyle R}$

Это уравнение показывает замечательный результат, названный «чудом Калуцы», заключающийся в том, что точная форма электромагнитного тензора напряжения-энергии возникает из 5D-уравнений вакуума в качестве источника в 4D-уравнениях: поля из вакуума. Это соотношение позволяет окончательно отождествить его с электромагнитным векторным потенциалом. Следовательно, поле необходимо масштабировать с использованием такой константы преобразования, чтобы . ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A^{\mu }\to kA^{\mu }}$

Соотношение выше показывает, что мы должны иметь

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},}$

где гравитационная постоянная , а проницаемость свободного пространства . В теории Калуцы гравитационную постоянную можно понимать как константу электромагнитной связи в метрике. Существует также тензор энергии-импульса для скалярного поля. Скалярное поле ведет себя как переменная гравитационная постоянная с точки зрения модуляции связи электромагнитного напряжения-энергии с кривизной пространства-времени. Знак в метрике фиксирован в соответствии с 4D-теорией, так что плотности электромагнитной энергии положительны. Часто полагают, что пятая координата по своей сигнатуре в метрике пространственноподобна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}}$

При наличии материи нельзя предполагать состояние 5D-вакуума. Действительно, Калуца ​​этого не предполагал. Уравнения полного поля требуют оценки 5D-тензора Эйнштейна.

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R}},}$

как видно из восстановления тензора электромагнитного напряжения-энергии выше. Тензоры 5D-кривизны сложны, и большинство англоязычных обзоров содержат ошибки или или , как и английский перевод Тири. ^[8] См. Уильямс ^[19] для получения полного набора 5D-тензоров кривизны в условиях цилиндра, оцененных с использованием программного обеспечения тензорной алгебры. ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Уравнения движения из гипотезы Калуцы

Уравнения движения получены из пятимерной геодезической гипотезы ^[3] в терминах 5-скорости : ${\displaystyle {\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.}$

Это уравнение можно переписать несколькими способами, и оно изучалось в различных формах такими авторами, как Калуца, ^[3] Паули, ^[25] Гросс и Перри, ^[26] Гегенберг и Кунштеттер, ^[27] и Вессон и Понсе де Леон. , ^[28] но поучительно преобразовать его обратно в обычный 4-мерный элемент длины , который связан с 5-мерным элементом длины, как указано выше: ${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Тогда можно записать 5D-геодезическое уравнение ^[29] для пространственно-временных компонент 4-скорости:

${\displaystyle U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu }}{d\tau }},}$

${\displaystyle {\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.}$

Термин квадратичный представляет собой четырехмерное уравнение геодезических плюс некоторые электромагнитные члены: ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

Термин «линейный» обеспечивает закон силы Лоренца : ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

Это еще одно выражение «Калужского чуда». Та же гипотеза для 5D-метрики, которая обеспечивает электромагнитное напряжение-энергию в уравнениях Эйнштейна, также обеспечивает закон силы Лоренца в уравнении движения наряду с 4D-уравнением геодезических. Однако соответствие закону силы Лоренца требует, чтобы мы отождествили компоненту 5-скорости по пятому измерению с электрическим зарядом:

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}},}$

где – масса частицы, – электрический заряд частицы. При этом электрический заряд понимается как движение по пятому измерению. Тот факт, что закон силы Лоренца можно было понимать как геодезическую в пяти измерениях, был для Калуцы основным мотивом для рассмотрения пятимерной гипотезы, даже при наличии эстетически неприятного состояния цилиндра. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Однако есть проблема: термин, квадратичный по , ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}.}$

Если в скалярном поле нет градиента, то член, квадратичный по, обращается в нуль. Но в противном случае из приведенного выше выражения следует ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.}$

Для элементарных частиц . Термин квадратичный должен доминировать в уравнении, возможно, вопреки опыту. Это был главный недостаток пятимерной теории, как ее видел Калуца ^​​[3] , и он дает этому некоторое обсуждение в своей оригинальной статье. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle U^{5}>10^{20}c}$ ${\displaystyle U^{5}}$

Уравнение движения для является особенно простым в условиях цилиндра. Начнем с альтернативной формы уравнения геодезических, записанного для ковариантной 5-скорости: ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\frac {d{\widetilde {U}}_{a}}{ds}}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{\frac {\partial {\widetilde {g}}_{bc}}{\partial x^{a}}}.}$

Это означает, что в условиях цилиндра – константа пятимерного движения: ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.}$

Гипотеза Калуцы о тензоре энергии-напряжения материи

Калуца ​​предложил ^[3] пятимерный тензор напряжений материи вида ${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}}$

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}}{ds}},}$

где плотность, а элемент длины такой, как определено выше. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ds}$

Тогда пространственно-временная компонента дает типичный «пылевой» тензор энергии-импульса:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.}$

Смешанный компонент обеспечивает источник четырех токов для уравнений Максвелла:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.}$

Подобно тому, как пятимерная метрика включает в себя четырехмерную метрику, оформленную электромагнитным векторным потенциалом, пятимерный тензор энергии-импульса включает в себя четырехмерный тензор энергии-напряжения, оформленный вектором 4-тока.

Квантовая интерпретация Клейна

Первоначальная гипотеза Калуцы представляла собой чисто классическое и расширенное открытие общей теории относительности. Ко времени публикации Кляйна открытия Гейзенберга, Шредингера и де Бройля привлекали большое внимание. В статье Кляйна в журнале Nature ^[5] было высказано предположение, что пятое измерение является замкнутым и периодическим, и что отождествление электрического заряда с движением в пятом измерении можно интерпретировать как стоячие волны с длиной волны 1000 В , очень похожие на электроны вокруг ядра в модели Бора . атом. Квантование электрического заряда тогда можно было бы хорошо понять в терминах целых кратных пятимерного импульса. Объединив предыдущий результат Калуцы для электрического заряда и соотношение де Бройля для импульса , Клейн получил ^[5] выражение для 0-й моды таких волн: ${\displaystyle \lambda ^{5}}$ ${\displaystyle U^{5}}$ ${\displaystyle p^{5}=h/\lambda ^{5}}$

${\displaystyle mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}},}$

где постоянная Планка . Кляйн нашел это  см и тем самым объяснил состояние цилиндра в этой маленькой величине. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda ^{5}\sim 10^{-30}}$

В статье Кляйна «Zeitschrift für Physik» того же года ^[4] дано более подробное рассмотрение, в котором явно использованы методы Шрёдингера и де Бройля. Она резюмировала большую часть классической теории Калуцы, описанной выше, а затем перешла к квантовой интерпретации Клейна. Кляйн решил волновое уравнение типа Шредингера, используя разложение по пятимерным волнам, резонирующим в замкнутом, компактном пятом измерении.

Интерпретация квантовой теории поля

Интерпретация теории групп

Пространство M × C компактифицируется над компактом C , и после разложения Калуцы–Клейна над M возникает эффективная теория поля.

В 1926 году Оскар Кляйн предположил, что четвертое пространственное измерение свернуто в круг очень малого радиуса , чтобы частица , двигающаяся на небольшое расстояние вдоль этой оси, возвращалась туда, откуда начала. Расстояние, которое частица может пройти, прежде чем достичь своего начального положения, называется размером измерения. Это дополнительное измерение представляет собой компактное множество , и построение этого компактного измерения называется компактификацией .

В современной геометрии под дополнительным пятым измерением можно понимать группу окружностей U(1) , поскольку электромагнетизм по сути можно сформулировать как калибровочную теорию на расслоении , расслоении кругов , с калибровочной группой U(1). В теории Калуцы–Клейна эта группа предполагает, что калибровочная симметрия — это симметрия круговых компактных размеров. Как только эта геометрическая интерпретация будет понята, будет относительно просто заменить U (1) общей группой Ли . Такие обобщения часто называют теориями Янга–Миллса . Если провести различие, то оно состоит в том, что теории Янга-Миллса возникают в плоском пространстве-времени, тогда как Калуца-Клейн рассматривает более общий случай искривленного пространства-времени. Базовым пространством теории Калуцы – Клейна не обязательно должно быть четырехмерное пространство-время; это может быть любое ( псевдо ) риманово многообразие , или даже суперсимметричное многообразие, или орбифолд , или даже некоммутативное пространство .

Условно конструкцию можно представить следующим образом. ^[30] Начнем с рассмотрения главного расслоения P с калибровочной группой G над многообразием M. Учитывая связность на расслоении, метрику на базовом многообразии и калибровочно-инвариантную метрику на касательной каждого слоя, можно построить метрику пакета , определенную на всем пакете. Вычислив скалярную кривизну этой метрики расслоения, можно обнаружить, что она постоянна на каждом слое: это «чудо Калуцы». Не нужно было явно накладывать условие цилиндра или проводить компактификацию: по предположению калибровочная группа уже компактна. Далее эту скалярную кривизну принимают за лагранжеву плотность и на ее основе строят действие Эйнштейна–Гильберта для расслоения в целом. Уравнения движения, уравнения Эйлера-Лагранжа , могут быть затем получены, рассматривая, где действие является стационарным относительно изменений либо метрики на базовом многообразии, либо калибровочной связи. Вариации по отношению к базовой метрике дают уравнения поля Эйнштейна на базовом многообразии, где тензор энергии-импульса задается кривизной ( напряжённостью поля ) калибровочной связи. С другой стороны, действие является стационарным по отношению к изменениям калибровочной связи именно тогда, когда калибровочная связь решает уравнения Янга – Миллса . Таким образом, применяя единственную идею: принцип наименьшего действия , к одной величине: скалярной кривизне расслоения (в целом), можно получить одновременно все необходимые уравнения поля как для пространства-времени, так и для калибровочного поля.

В качестве подхода к объединению сил легко применить теорию Калуцы – Клейна в попытке объединить гравитацию с сильными и электрослабыми взаимодействиями , используя группу симметрии Стандартной модели SU(3) × SU(2). ) × U(1) . Однако попытка превратить эту интересную геометрическую конструкцию в достоверную модель реальности сталкивается с рядом проблем, в том числе с тем, что фермионы необходимо вводить искусственным путем (в несуперсимметричных моделях). Тем не менее, КК остается важным пробным камнем в теоретической физике и часто включается в более сложные теории. Он изучается сам по себе как объект геометрического интереса в К-теории .

Даже при отсутствии полностью удовлетворяющей теоретической физики идея исследования дополнительных, компактифицированных измерений представляет значительный интерес в сообществах экспериментальной физики и астрофизики . Можно сделать множество предсказаний с реальными экспериментальными последствиями (в случае больших дополнительных измерений и искаженных моделей ). Например, исходя из простейших принципов, можно было бы ожидать наличия стоячих волн в дополнительном компактифицированном измерении(ях). Если пространственное дополнительное измерение имеет радиус R , инвариантная масса таких стоячих волн будет M _n = nh / Rc , где n — целое число , h — постоянная Планка , а c — скорость света . Этот набор возможных значений массы часто называют башней Калуцы-Клейна . Точно так же в тепловой квантовой теории поля компактификация евклидова временного измерения приводит к частотам Мацубары и, следовательно, к дискретизированному спектру тепловой энергии.

Однако подход Кляйна к квантовой теории ошибочен ^{и , например} , приводит к вычислению массы электрона порядка массы Планка . ^[31]

Примеры экспериментальных исследований включают работу коллаборации CDF , которая повторно проанализировала данные коллайдера частиц на предмет выявления эффектов, связанных с большими дополнительными измерениями/ искаженными моделями .

Бранденбергер и Вафа предположили, что в ранней Вселенной космическая инфляция привела к расширению трех измерений пространства до космологических размеров, в то время как остальные измерения пространства оставались микроскопическими.

Теория пространства-времени-материи

Одним из конкретных вариантов теории Калуцы-Клейна является теория пространства-времени-материи или теория индуцированной материи , в основном пропагандируемая Полом Вессоном и другими членами Консорциума Пространство-Время-Материя. ^[32] В этой версии теории отмечено, что решения уравнения

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

могут быть перевыражены так, что в четырех измерениях эти решения удовлетворяют уравнениям Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,}$

с точным видом T _µν, следующим из условия Риччи-плоскости в пятимерном пространстве. Другими словами, условие цилиндра предыдущей разработки отбрасывается, и энергия-напряжение теперь исходит из производных метрики 5D по пятой координате. Поскольку обычно считается, что тензор энергии-импульса возникает из-за концентрации материи в четырехмерном пространстве, приведенный выше результат интерпретируется как утверждение, что четырехмерная материя возникает из геометрии в пятимерном пространстве.

В частности, можно показать, что солитонные решения содержат метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера как в формах с доминированием излучения (ранняя Вселенная), так и в формах с доминированием материи (более поздняя Вселенная). Можно показать, что общие уравнения достаточно согласуются с классическими тестами общей теории относительности, чтобы быть приемлемыми с точки зрения физических принципов, но при этом оставляют значительную свободу для создания интересных космологических моделей . ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

Геометрическая интерпретация

Теория Калуцы–Клейна имеет особенно элегантное изложение с точки зрения геометрии. В определенном смысле это похоже на обычную гравитацию в свободном пространстве , за исключением того, что она выражается в пяти измерениях вместо четырех.

Уравнения Эйнштейна

Уравнения, описывающие обычную гравитацию в свободном пространстве, можно получить из действия , применив к определенному действию вариационный принцип . Пусть M — ( псевдо ) риманово многообразие , которое можно рассматривать как пространство-время общей теории относительности . Если g — метрика на этом многообразии, действие S ( g ) определяется как

${\displaystyle S(g)=\int _{M}R(g)\operatorname {vol} (g),}$

где R ( g ) — скалярная кривизна , а vol( g ) — элемент объёма . Применяя к действию вариационный принцип

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0,}$

получаем в точности уравнения Эйнштейна для свободного пространства:

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}$

где Rij _– тензор Риччи .

Уравнения Максвелла

Напротив, уравнения Максвелла, описывающие электромагнетизм , можно понимать как уравнения Ходжа главного U(1)-расслоения или кругового расслоения со слоем U(1) . То есть электромагнитное поле является гармонической 2-формой в пространстве дифференцируемых 2-форм на многообразии . В отсутствие зарядов и токов уравнения Максвелла для свободного поля имеют вид ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.}$

где находится оператор звезды Ходжа . ${\displaystyle \star }$

Геометрия Калуцы – Клейна

Чтобы построить теорию Калуцы–Клейна, выбирают инвариантную метрику на окружности , которая является слоем U(1)-расслоения электромагнетизма. В этом обсуждении инвариантная метрика — это просто метрика, инвариантная относительно вращения круга. Предположим, что эта метрика дает кругу общую длину . Затем рассматриваются метрики расслоения , которые согласуются как с метрикой слоя, так и с метрикой лежащего в основе многообразия . Условия согласованности таковы: ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

• Проекция на вертикальное подпространство должна согласовываться с метрикой слоя над точкой многообразия . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vert} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle M}$
• Проекция на горизонтальное подпространство касательного пространства в точке должна быть изоморфна метрике на при . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi (P)}$

Действие Калуцы–Клейна для такой метрики имеет вид

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\operatorname {vol} ({\widehat {g}}).}$

Скалярная кривизна, записанная в компонентах, затем расширяется до

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}\right),}$

где – обратный ход проекции пучка волокон . Соединение на оптоволокне связано с напряженностью электромагнитного поля следующим образом: ${\displaystyle \pi ^{*}}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

То, что такая связность всегда существует, даже для расслоений сколь угодно сложной топологии, является результатом гомологии и, в частности, К-теории . Применяя теорему Фубини и интегрируя по слою, получаем

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}|F|^{2}\right)\operatorname {vol} (g).}$

Варьируя действие по компоненте , восстанавливаем уравнения Максвелла. Применяя вариационный принцип к базовой метрике , получаем уравнения Эйнштейна ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

тензор энергии-импульса имеет вид

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}$

иногда называемый тензором напряжений Максвелла .

Исходная теория отождествляется с метрикой волокна и позволяет варьироваться от волокна к волокну. В этом случае связь между гравитацией и электромагнитным полем не постоянна, а имеет собственное динамическое поле — радион . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{55}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Обобщения

В приведенном выше примере размер петли действует как константа связи между гравитационным полем и электромагнитным полем. Если базовое многообразие четырехмерно, многообразие Калуцы–Клейна P пятимерно. Пятое измерение представляет собой компактное пространство и называется компактным измерением . Техника введения компактных размерностей для получения многообразия более высокой размерности называется компактификацией . Компактификация не производит групповых действий на киральных фермионах , за исключением очень специфических случаев: размерность полного пространства должна быть 2 по модулю 8, а G-индекс оператора Дирака компактного пространства должен быть отличен от нуля. ^[33] ${\displaystyle \Lambda }$

Приведенное выше развитие более или менее прямолинейно обобщается на общие основные G -расслоения для некоторой произвольной группы Ли G , заменяющей U(1) . В таком случае теорию часто называют теорией Янга – Миллса и иногда считают синонимом. Если основное многообразие суперсимметрично , результирующая теория представляет собой суперсимметричную теорию Янга – Миллса.

Эмпирические тесты

Никаких экспериментальных или наблюдательных признаков дополнительных измерений официально не сообщалось. Многие теоретические методы поиска для обнаружения резонансов Калуцы – Клейна были предложены с использованием массовых связей таких резонансов с топ-кварком . Анализ результатов БАКа в декабре 2010 года серьезно ограничивает теории с большими дополнительными измерениями . ^[34]

Наблюдение бозона типа Хиггса на БАК устанавливает новый эмпирический тест, который можно применить для поиска резонансов Калуцы-Клейна и суперсимметричных частиц. Петлевые диаграммы Фейнмана , существующие во взаимодействиях Хиггса, позволяют любой частице, имеющей электрический заряд и массу, двигаться по такой петле. Частицы Стандартной модели, помимо топ-кварка и W-бозона, не вносят большого вклада в сечение, наблюдаемое при распаде H → γγ , но если появятся новые частицы за пределами Стандартной модели, они потенциально могут изменить соотношение предсказанной Стандартной модели. H → γγ сечения к экспериментально наблюдаемому сечению. Следовательно, измерение любого резкого изменения сечения H → γγ, предсказанного Стандартной моделью, имеет решающее значение для исследования физики за ее пределами.

Статья от июля 2018 г. ^[35] дает некоторую надежду на эту теорию; в статье они оспаривают, что гравитация просачивается в высшие измерения, как в теории бран . Однако статья действительно демонстрирует, что электромагнетизм и гравитация имеют одинаковое количество измерений, и этот факт подтверждает теорию Калуцы – Клейна; действительно ли число измерений составляет 3 + 1 или на самом деле 4 + 1, является предметом дальнейших дискуссий.

Смотрите также

• Классические теории гравитации
• Комплексное пространство-время
• Модель DGP
• Квантовая гравитация
• Компактификация (физика)
• Модель Рэндалла – Сундрама
• Матей Павшич
• Струнная теория
• Супергравитация
• Теория суперструн
• Нерелятивистские гравитационные поля

Примечания

1. Нордстрем, Гуннар (1914). «Über die Möglichkeit, das elektromagnetische Feld und das Gravitationsfeld zu vereinigen» [О возможности объединения гравитационного и электромагнитного полей]. Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 15 :504.
2. Паис, Авраам (1982). Тонок Господь...: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 329–330.
3. Калуца, Теодор (1921). «Zum Unitätsproblem in der Physik». Зитцунгсбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин. (Математика и физика) (на немецком языке): 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K.
4. Кляйн, Оскар (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik A (на немецком языке). 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
5. Кляйн, Оскар (1926). «Атомность электричества как закон квантовой теории». Природа . 118 (2971): 516. Бибкод : 1926Natur.118..516K. дои : 10.1038/118516a0 . S2CID  4127863.
6. Goenner, H. (2012). «Некоторые замечания о происхождении скалярно-тензорных теорий». Общая теория относительности и гравитация . 44 (8): 2077–2097. arXiv : 1204.3455 . Бибкод : 2012GReGr..44.2077G. дои : 10.1007/s10714-012-1378-8. S2CID  13399708.
7. Лихнерович, А.; Тридцать, МОЙ (1947). «Проблемы расчета вариаций лежат в области классической динамики и единой теории чемпиона». Компет. Ренд. акад. наук. Париж (на французском языке). 224 : 529–531.
8. Тири, МЮ (1948). «Уравнения единой теории Калуцы». Компет. Ренд. акад. наук. Париж (на французском языке). 226 : 216–218.
9. Тири, МОЙ (1948). «Сюр-ла-регулярность полей гравитации и электромагнетизма в унитарных теориях». Компет. Ренд. акад. наук. Париж (на французском языке). 226 : 1881–1882.
10. Джордан, П. (1946). «Теория релятивистской гравитации с постоянной гравитацией». Naturwissenschaften (на немецком языке). 11 (8): 250–251. Бибкод : 1946NW.....33..250J. дои : 10.1007/BF01204481. S2CID  20091903.
11. Джордан, П.; Мюллер, К. (1947). «Über die Feldgleichungen der Gravitation Bei Variable «Gravitationslonstante»». З. Натурфорш. (на немецком). 2а (1): 1–2. Бибкод : 1947ZNatA...2....1J. дои : 10.1515/zna-1947-0102 . S2CID  93849549.
12. Людвиг, Г. (1947). «Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven der vier Dimensionen Relativitätstheorie». З. Натурфорш. (на немецком). 2а (1): 3–5. Бибкод : 1947ZNatA...2....3L. дои : 10.1515/zna-1947-0103 . S2CID  94454994.
13. Джордан, П. (1948). «Механическая космология». Астрон. Нахр. (на немецком). 276 (5–6): 193–208. Бибкод : 1948AN....276..193J. дои : 10.1002/asna.19482760502.
14. Людвиг, Г.; Мюллер, К. (1948). «Эйн Модельл де Космос унд дер Стерненштехунг». Аннален дер Физик . 2 (6): 76–84. Бибкод : 1948АнП...437...76Л. дои : 10.1002/andp.19484370106. S2CID  120176841.
15. Шеррер, В. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit: "Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen"". Helv. Phys. Acta (на немецком языке). 14 (2): 130.
16. Шеррер, В. (1949). «Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld». Хелв. Физ. Акта . 22 : 537–551.
17. Шеррер, В. (1950). «Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)». Хелв. Физ. Акта (на немецком языке). 23 : 547–555.
18. Бранс, Швейцария; Дике, Р.Х. (1 ноября 1961 г.). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физический обзор . 124 (3): 925–935. Бибкод : 1961PhRv..124..925B. дои : 10.1103/PhysRev.124.925.
19. Уильямс, LL (2015). «Уравнения поля и лагранжиан для метрики Калуцы, вычисленные с помощью программного обеспечения тензорной алгебры» (PDF) . Журнал гравитации . 2015 : 901870. doi : 10.1155/2015/901870 .
20. Феррари, JA (1989). «О приближенном решении для заряженного объекта и экспериментальном подтверждении теории Калуцы-Клейна». Генерал Относительный. Гравит . 21 (7): 683. Бибкод : 1989GReGr..21..683F. дои : 10.1007/BF00759078. S2CID  121977988.
21. Кокеро, Р.; Эспозито-Фарезе, Г. (1990). «Возвращение к теории Калуцы – Кляйна – Джордана – Тири». Анналы Института Анри Пуанкаре . 52 : 113.
22. Уильямс, LL (2020). «Уравнения поля и лагранжиан тензора энергии-импульса Калуцы». Достижения математической физики . 2020 : 1263723. дои : 10.1155/2020/1263723 .
23. Аппельквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер ГО (1987). Современные теории Калуцы–Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7.
24. Вессон, Пол С. (1999). Пространство-время-материя, современная теория Калуцы-Клейна . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-3588-8.
25. Паули, Вольфганг (1958). Теория относительности (перевод под ред. Джорджа Филда). Нью-Йорк: Пергамон Пресс. стр. Приложение 23.
26. Гросс, диджей; Перри, MJ (1983). «Магнитные монополи в теориях Калуцы – Клейна». Нукл. Физ. Б. _ 226 (1): 29–48. Бибкод : 1983NuPhB.226...29G. дои : 10.1016/0550-3213(83)90462-5.
27. Гегенберг, Дж.; Кунстаттер, Г. (1984). «Движение заряженных частиц в пространстве-времени Калуцы – Клейна». Физ. Летт . 106A (9): 410. Бибкод : 1984PhLA..106..410G. дои : 10.1016/0375-9601(84)90980-0.
28. Вессон, PS; Понсе де Леон, Дж. (1995). «Уравнение движения в космологии Калуцы – Клейна и его значение для астрофизики». Астрономия и астрофизика . 294 : 1. Бибкод : 1995A&A...294....1W.
29. Уильямс, Лэнс Л. (2012). «Физика электромагнитного управления пространством-временем и гравитацией». Материалы 48-й совместной конференции AIAA по двигательным установкам . 48-я совместная конференция и выставка AIAA/ASME/SAE/ASEE по двигательным установкам, 30 июля 2012 г. – 1 августа 2012 г. Атланта, Джорджия. Том. АИАА 2012-3916. дои : 10.2514/6.2012-3916. ISBN 978-1-60086-935-8. S2CID  122586403.
30. Дэвид Бликер, «Калибровочная теория и вариационные принципы, заархивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine » (1982), D. Reidel Publishing (см. главу 9 ).
31. Равндаль Ф., Оскар Кляйн и пятое измерение, arXiv:1309.4113 [physical.hist-ph]
32. 5Dstm.org
33. Л. Кастеллани и др., Супергравитация и суперструны, том. 2, гл. Т.11.
34. Хачатрян, В.; и другие. (Сотрудничество CMS) (2011). «Поиск микроскопических сигнатур черных дыр на Большом адронном коллайдере». Буквы по физике Б. 697 (5): 434–453. arXiv : 1012.3375 . Бибкод : 2011PhLB..697..434C. doi :10.1016/j.physletb.2011.02.032. S2CID  122803232.
35. Пардо, Крис; Фишбах, Майя; Хольц, Дэниел Э.; Спергель, Дэвид Н. (2018). «Ограничения на количество измерений пространства-времени от GW170817 ». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2018 (7): 048. arXiv : 1801.08160 . Бибкод : 2018JCAP...07..048P. дои : 10.1088/1475-7516/2018/07/048. S2CID  119197181.

Рекомендации

• Калуца, Теодор (1921). «Zum Unitätsproblem in der Physik». Зитцунгсбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K. https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
• Кляйн, Оскар (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
• Виттен, Эдвард (1981). «Поиск реалистичной теории Калуцы – Клейна». Ядерная физика Б . 186 (3): 412–428. Бибкод : 1981NuPhB.186..412W. дои : 10.1016/0550-3213(81)90021-3.
• Аппелквист, Томас; Чодос, Алан; Фройнд, Питер ГО (1987). Современные теории Калуцы–Клейна . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон – Уэсли. ISBN 978-0-201-09829-7. (Включает перепечатки вышеупомянутых статей, а также других важных статей, касающихся теории Калуцы – Клейна.)
• Дафф, MJ (1994). «Теория Калуцы – Клейна в перспективе». В Линдстреме, Ульф (ред.). Материалы симпозиума «Столетие Оскара Кляйна». Сингапур: World Scientific. стр. 22–35. ISBN 978-981-02-2332-8.
• Овердуин, Дж. М.; Вессон, PS (1997). «Гравитация Калуцы – Клейна». Отчеты по физике . 283 (5): 303–378. arXiv : gr-qc/9805018 . Бибкод : 1997PhR...283..303O. дои : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4. S2CID  119087814.
• Вессон, Пол С. (2006). Пятимерная физика: классические и квантовые следствия космологии Калуцы – Клейна . Сингапур: World Scientific. Бибкод : 2006fdpc.book.....W. ISBN 978-981-256-661-4.

дальнейшее чтение

• Сотрудничество CDF, Поиск дополнительных измерений с использованием недостающей энергии в CDF , (2004 г.) (Упрощенное представление поиска дополнительных измерений, проведенного в детекторе коллайдеров в лаборатории физики элементарных частиц Фермилаб (CDF).)
• Джон М. Пьер, СУПЕРСТРУНЫ! Дополнительные измерения , (2003).
• Крис Поуп, Лекции по теории Калуцы – Клейна .
• Эдвард Виттен (2014). «Заметка об Эйнштейне, Бергмане и пятом измерении», arXiv : 1401.8048