Квазисфера

В математике и теоретической физике квазисфера — это обобщение гиперсферы и гиперплоскости на контекст псевдоевклидова пространства . Она может быть описана как множество точек, для которых квадратичная форма для пространства, примененная к вектору смещения из центральной точки, является постоянной величиной, с включением гиперплоскостей в качестве предельного случая.

Обозначения и терминология

В данной статье используются следующие обозначения и терминология:

• Псевдоевклидово векторное пространство , обозначаемое R ^{s , t} , является действительным векторным пространством с невырожденной квадратичной формой с сигнатурой ( s , t ) . Квадратичная форма может быть определенной (где s = 0 или t = 0 ), что делает его обобщением евклидова векторного пространства . ^[a]
• Псевдоевклидово пространство , обозначаемое E ^{s , t} , является действительным аффинным пространством , в котором векторы смещения являются элементами пространства R ^{s , t} . Оно отличается от векторного пространства.
• Квадратичная форма Q, действующая на вектор x ∈ R ^{s , t} , обозначаемая Q ( x ) , является обобщением квадрата евклидова расстояния в евклидовом пространстве. Эли Картан называет Q ( x ) скалярным квадратом x . ^[1]
• Симметричная билинейная форма B, действующая на два вектора x , y ∈ Rs ^{, t ,} обозначается B ( x , y ) или x ⋅ y . ^[b] Это связано с квадратичной формой Q. ^[c ]
• Два вектора x , y ∈ Rs ^{, t} ортогональны ^, если x ⋅ y = 0 .
• Нормальный вектор в точке квазисферы — это ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору в касательном пространстве в этой точке.

Определение

Квазисфера — это подмногообразие псевдоевклидова пространства E ^{s , t ,} состоящее из точек u , для которых вектор смещения x = u − o из опорной точки o удовлетворяет уравнению

а х ⋅ х + б ⋅ х + с = 0 ,

где a , c ∈ R и b , x ∈ R ^{s , t} . ^{[2] [d]}

Поскольку a = 0 в разрешенном, это определение включает гиперплоскости; таким образом, оно является обобщением обобщенных окружностей и их аналогов в любом количестве измерений. Это включение обеспечивает более регулярную структуру при конформных преобразованиях , чем если бы они были опущены.

Это определение было обобщено на аффинные пространства над комплексными числами и кватернионами путем замены квадратичной формы на эрмитову форму . ^[3]

Квазисфера P = { x ∈ X  : Q ( x ) = k } в квадратичном пространстве ( X , Q ) имеет контрсферу N = { x ∈ X  : Q ( x ) = − k } . ^[e] Кроме того, если k ≠ 0 и L — изотропная прямая в X, проходящая через x = 0 , то L ∩ ( P ∪ N ) = ∅ , прокалывая объединение квазисферы и контрсферы. Одним из примеров является единичная гипербола , которая образует квазисферу гиперболической плоскости , и ее сопряженная гипербола , которая является ее контрсферой.

Геометрические характеристики

Центр и радиальный скалярный квадрат

Центр квазисферы — это точка, имеющая равный скалярный квадрат от каждой точки квазисферы, точка, в которой пересекается пучок прямых, нормальных к касательным гиперплоскостям. Если квазисфера является гиперплоскостью, то центр — это точка на бесконечности, определяемая этим пучком .

Когда a ≠ 0 , вектор смещения p центра от опорной точки и радиальный скалярный квадрат r можно найти следующим образом. Положим Q ( x − p ) = r и, сравнивая с определяющим уравнением выше для квазисферы, получим

${\displaystyle p=-{\frac {b}{2a}},}$

${\displaystyle r=p\cdot p-{\frac {c}{a}}.}$

Случай a = 0 можно интерпретировать как центр p, являющийся четко определенной точкой на бесконечности с бесконечным или нулевым радиальным скалярным квадратом (последнее для случая нулевой гиперплоскости). Знание p (и r ) в этом случае не определяет положение гиперплоскости, а только ее ориентацию в пространстве.

Радиальный скалярный квадрат может принимать положительное, нулевое или отрицательное значение. Когда квадратичная форма определена, даже если p и r могут быть определены из приведенных выше выражений, множество векторов x, удовлетворяющих определяющему уравнению, может быть пустым, как в случае евклидова пространства для отрицательного радиального скалярного квадрата.

Диаметр и радиус

Любая пара точек, которые не обязательно должны быть различными (включая вариант, когда одна из них является точкой на бесконечности), определяет диаметр квазисферы. Квазисфера — это множество точек, для которых два вектора смещения из этих двух точек ортогональны.

Любая точка может быть выбрана в качестве центра (включая точку на бесконечности), а любая другая точка на квазисфере (кроме точки на бесконечности) определяет радиус квазисферы и, таким образом, определяет квазисферу.

Разделение

Обращаясь к квадратичной форме, примененной к вектору смещения точки на квазисфере от центра (т.е. Q ( x − p ) ), как к радиальному скалярному квадрату , в любом псевдоевклидовом пространстве квазисферы можно разделить на три непересекающихся множества: с положительным радиальным скалярным квадратом, с отрицательным радиальным скалярным квадратом и с нулевым радиальным скалярным квадратом. ^[f]

В пространстве с положительно определенной квадратичной формой (т.е. в евклидовом пространстве) квазисфера с отрицательным радиальным скалярным квадратом является пустым множеством, с нулевым радиальным скалярным квадратом состоит из одной точки, с положительным радиальным скалярным квадратом является стандартной n -сферой, а с нулевой кривизной является гиперплоскостью, которая разделена n -сферами.

Смотрите также

• Пространство анти-де Ситтера
• пространство де Ситтера
• Гиперболоид § Связь со сферой
• Геометрия сферы Ли
• Квадратичный набор

Примечания

1. Некоторые авторы исключают определенные случаи, но в контексте данной статьи будет использоваться определитель неопределенный там, где подразумевается такое исключение.
2. Симметричная билинейная форма, примененная к двум векторам, также называется их скалярным произведением .
3. Соответствующая симметричная билинейная форма (действительной) квадратичной формы Q определяется таким образом, что Q ( x ) = B ( x , x ) , и может быть определена как B ( x , y ) = ⁠1/4⁠ ( Q ( x + y ) − Q ( x − y )) . См. Поляризационное тождество для вариаций этого тождества.
4. Хотя это и не упомянуто в источнике, мы должны исключить комбинацию b = 0 и a = 0 .
5. Имеются оговорки, когда Q определено . Кроме того, когда k = 0 , следует, что N = P.
6. Гиперплоскость (квазисфера с бесконечным радиальным скалярным квадратом или нулевой кривизной) разбивается квазисферами, к которым она касается. Три множества могут быть определены в соответствии с тем, является ли квадратичная форма, примененная к вектору, который является нормалью касательной гиперповерхности, положительной, нулевой или отрицательной. Три множества объектов сохраняются при конформных преобразованиях пространства.

Ссылки

1. Эли Картан (1981) [Впервые опубликовано в 1937 году на французском языке и в 1966 году на английском языке], Теория спиноров , Dover Publications , стр. 3, ISBN 0486640701
2. Джейме Ваз-младший; Ролдан да Роча-младший (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . п. 140. ИСБН 9780191085789.
3. Ян Р. Портеус (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Cambridge University Press