Квантовая логика

Теория логики для объяснения наблюдений квантовой теории

В математическом изучении логики и физическом анализе квантовых основ квантовая логика представляет собой набор правил для манипулирования предложениями, вдохновленными структурой квантовой теории . Формальная система берет за отправную точку наблюдение Гаррета Биркгофа и Джона фон Неймана о том, что структура экспериментальных испытаний в классической механике образует булеву алгебру , но структура экспериментальных испытаний в квантовой механике образует гораздо более сложную структуру.

Для анализа квантово-механических явлений также был предложен ряд других логик, к сожалению, также под названием «квантовая логика(и)». Они не являются предметом этой статьи. Для обсуждения сходств и различий между квантовой логикой и некоторыми из этих конкурентов см. § Связь с другими логиками .

Квантовая логика была предложена как правильная логика для пропозиционального вывода в целом, в частности, философом Хилари Патнэмом , по крайней мере, в один момент его карьеры. Этот тезис был важным компонентом в статье Патнэма 1968 года « Является ли логика эмпирической? », в которой он проанализировал эпистемологический статус правил пропозициональной логики. Современные философы отвергают квантовую логику как основу для рассуждения, потому что в ней отсутствует материальное условное выражение ; распространенной альтернативой является система линейной логики , фрагментом которой является квантовая логика.

Математически квантовая логика формулируется путем ослабления закона распределения для булевой алгебры, что приводит к ортодополняемой решетке . Квантово-механические наблюдаемые и состояния могут быть определены в терминах функций на или к решетке, что дает альтернативный формализм для квантовых вычислений.

Введение

Наиболее заметным различием между квантовой и классической логикой является несостоятельность пропозиционального закона дистрибуции : ^[1]

p и ( q или r ) = ( p и q ) или ( p и r ),

где символы p , q и r являются пропозициональными переменными.

Чтобы проиллюстрировать, почему распределительный закон не работает, рассмотрим частицу, движущуюся по прямой, и (используя некоторую систему единиц, в которой приведенная постоянная Планка равна 1) пусть ^{[Примечание 1]}

p = "частица имеет импульс в интервале [0, + 1 ⁄ 6 ] "

q = "частица находится в интервале [−1, 1] "

r = "частица находится в интервале [1, 3] "

Мы можем заметить, что:

p и ( q или r ) = истина

Другими словами, состояние частицы представляет собой взвешенную суперпозицию импульсов между 0 и +1/6 и положений между −1 и +3.

С другой стороны, предложения " p и q " и " p и r " каждое утверждает более жесткие ограничения на одновременные значения положения и импульса, чем это допускается принципом неопределенности (каждое из них имеет неопределенность 1/3, что меньше разрешенного минимума 1/2). Таким образом, нет состояний, которые могли бы поддержать любое из предложений, и

( p и q ) или ( p и r ) = ложь

История и современная критика

В своем классическом трактате 1932 года «Математические основы квантовой механики » Джон фон Нейман отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как предложения о физических наблюдаемых; то есть как потенциальные вопросы «да» или «нет», которые наблюдатель может задать о состоянии физической системы, вопросы, которые могут быть решены с помощью некоторого измерения. ^[2] Принципы манипулирования этими квантовыми предложениями были затем названы квантовой логикой фон Нейманом и Биркгофом в статье 1936 года. ^[3]

Джордж Макки в своей книге 1963 года (также называемой «Математические основы квантовой механики ») попытался аксиоматизировать квантовую логику как структуру ортодополненной решетки и признал, что физическая наблюдаемая может быть определена в терминах квантовых предложений. Хотя презентация Макки все еще предполагала, что ортодополненная решетка является решеткой замкнутых линейных подпространств сепарабельного гильбертова пространства, [ ^4] Константин Пирон , Гюнтер Людвиг и другие позже разработали аксиоматизации , которые не предполагают базовое гильбертово пространство. ^[5]

Вдохновленный недавней защитой общей теории относительности Гансом Райхенбахом , философ Хилари Патнэм популяризировал работу Макки в двух статьях 1968 и 1975 годов ^[6] , в которых он приписал идею о том, что аномалии, связанные с квантовыми измерениями, возникают из-за сбоя самой логики, своему соавтору, физику Дэвиду Финкельштейну ^[7] . Патнэм надеялся разработать возможную альтернативу скрытым переменным или коллапсу волновой функции в проблеме квантовых измерений , но теорема Глисона представляет серьезные трудности для этой цели. ^{[6] [8]} Позже Патнэм отказался от своих взглядов, хотя и с гораздо меньшей помпой, ^[6], но ущерб был нанесен. В то время как первоначальная работа Биркгофа и фон Неймана была лишь попыткой организовать вычисления, связанные с копенгагенской интерпретацией квантовой механики, теперь возникла школа исследователей, которые либо надеялись, что квантовая логика предоставит жизнеспособную теорию скрытых переменных, либо устранит необходимость в ней. ^[9] Их работа оказалась бесплодной и теперь имеет дурную репутацию. ^[10]

Большинство философов считают квантовую логику непривлекательным конкурентом классической логики . Далеко не очевидно (хотя и верно ^[11] ), что квантовая логика является логикой , в смысле описания процесса рассуждения, в отличие от особенно удобного языка для обобщения измерений, выполняемых квантовыми аппаратами. ^{[12] [13]} В частности, современные философы науки утверждают, что квантовая логика пытается заменить метафизическими трудностями нерешенные проблемы в физике, вместо того чтобы должным образом решать физические проблемы. ^[14] Тим Модлин пишет, что квантовая «логика „решает“ проблему [измерения] , делая проблему невозможной для формулировки». ^[15]

Лошадь квантовой логики так избита, избита и побита, и она так основательно сдохла, что... вопрос не в том, поднимется ли лошадь снова, а в том: как эта лошадь вообще сюда попала? История квантовой логики — это не история о том, как многообещающая идея испортилась, это скорее история о неустанном преследовании плохой идеи. ... Многие, многие философы и физики были убеждены, что изменение логики (и, что наиболее драматично, отказ от классической логики) каким-то образом поможет в понимании квантовой теории или каким-то образом предлагается или навязывается нам квантовой теорией. Но квантовая логика, даже во многих своих воплощениях и вариациях, как в технической форме, так и в интерпретации, никогда не давала результата.
— Модлин, Хилари Патнэм , стр. 184–185

Квантовая логика по-прежнему ограниченно используется логиками как крайне патологический контрпример (Далла Кьяра и Джунтини: «Почему квантовая логика? Просто потому, что «квантовая логика существует!») ^[16] Хотя центральным пониманием квантовой логики остается математический фольклор как интуитивный насос для категоризации , обсуждения редко упоминают квантовую логику. ^[17]

Лучший шанс на возрождение квантовой логики связан с недавним развитием квантовых вычислений , которые породили множество новых логик для формального анализа квантовых протоколов и алгоритмов (см. также § Связь с другими логиками). ^[18] Логика также может найти применение в (вычислительной) лингвистике.

Алгебраическая структура

Квантовую логику можно аксиоматизировать как теорию предложений по модулю следующих тождеств: ^[19]

• а = ¬¬ а
• ∨ коммутативен и ассоциативен .
• Существует максимальный элемент ⊤, и ⊤ = b ∨¬ b для любого b .
• а ∨¬(¬ а ∨ б ) = а .

(«¬» — традиционное обозначение « не », «∨» — обозначение « или », а «∧» — обозначение « и ».)

Некоторые авторы ограничиваются ортомодулярными решетками , которые дополнительно удовлетворяют ортомодулярному закону: ^[20]

• Если ⊤ = ¬(¬ a ∨¬ b )∨¬( a ∨ b ), то a = b .

(«⊤» — традиционное обозначение истины , а «⊥» — традиционное обозначение ложности .)

Альтернативные формулировки включают предложения, выводимые посредством естественной дедукции , ^[16] последовательного исчисления ^{[21] [22]} или системы таблиц . ^[23] Несмотря на относительно развитую теорию доказательств , квантовая логика, как известно, не разрешима . ^[19]

Квантовая логика как логика наблюдаемых

Оставшаяся часть статьи предполагает, что читатель знаком со спектральной теорией самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Однако основные идеи можно понять и в конечномерном случае.

Логика классической механики

Гамильтоновы формулировки классической механики содержат три ингредиента: состояния , наблюдаемые и динамика . В простейшем случае одной частицы, движущейся в R3 , пространством состояний является пространство положения-импульса R6 . Наблюдаемая — это некоторая вещественная функция f в пространстве состояний. Примерами наблюдаемых являются положение, импульс или энергия частицы. Для классических систем значение f(x), то есть значение f для некоторого конкретного ^{состояния} системы ^x , получается в процессе измерения f .

Предложения , касающиеся классической системы, генерируются из основных утверждений вида

«Измерение f дает значение в интервале [ a , b ] для некоторых действительных чисел a , b ».

через обычные арифметические операции и точечные пределы . Из этой характеристики предложений в классических системах легко следует, что соответствующая логика идентична булевой алгебре борелевских подмножеств пространства состояний. Таким образом, они подчиняются законам классической пропозициональной логики (таким как законы де Моргана ) с операциями над множествами объединения и пересечения, соответствующими булевым конъюнктивам , и включением подмножеств, соответствующим материальной импликации .

На самом деле верно более сильное утверждение: они должны подчиняться бесконечной логике L _{ω 1 ,ω} .

Мы суммируем эти замечания следующим образом: Система предложений классической системы представляет собой решетку с выделенной операцией ортодополнения : Решеточные операции встречи и соединения являются соответственно пересечением множеств и объединением множеств. Операция ортодополнения является дополнением множеств. Более того, эта решетка является последовательно полной , в том смысле, что любая последовательность { E _i } _{i ∈ N} элементов решетки имеет наименьшую верхнюю границу , а именно теоретико-множественное объединение: $${\displaystyle \operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}{\text{.}}}$$

Пропозициональная решетка квантово-механической системы

В формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве , представленной фон Нейманом, физическая наблюдаемая представлена ​​некоторым (возможно, неограниченным ) плотно определенным самосопряженным оператором A в гильбертовом пространстве H. A имеет спектральное разложение , которое является проекционно-значной мерой E , определенной на борелевских подмножествах R. В частности, для любой ограниченной борелевской функции f на R можно сделать следующее расширение f до операторов: $${\displaystyle f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).}$$

В случае, если f — индикаторная функция интервала [ a , b ], оператор f ( A ) — самосопряженная проекция на подпространство обобщенных собственных векторов A с собственным значением в [ a , b ] . Это подпространство можно интерпретировать как квантовый аналог классического предложения

• Измерение A дает значение в интервале [ a , b ].

Это предполагает следующую квантово-механическую замену ортодополненной решетки предложений в классической механике, по сути, аксиому VII Макки :

• Предложения квантово-механической системы соответствуют решетке замкнутых подпространств H ; отрицание предложения V является ортогональным дополнением V ^⊥ .

Пространство Q квантовых предложений также является последовательно полным: любая попарно непересекающаяся последовательность { V _i } _i элементов Q имеет наименьшую верхнюю границу. Здесь непересекаемость W ₁ и W ₂ означает, что W ₂ является подпространством W ₁ ^⊥ . Наименьшая верхняя граница { V _i } _i является замкнутой внутренней прямой суммой .

Стандартная семантика

Стандартная семантика квантовой логики заключается в том, что квантовая логика — это логика проекционных операторов в сепарабельном гильбертовом или предгильбертовом пространстве , где наблюдаемое p связано с набором квантовых состояний , для которых p (при измерении) имеет собственное значение 1. Отсюда,

• ¬p — ортогональное дополнение p ( поскольку для этих состояний вероятность наблюдения p , P( p ) = 0),
• p ∧ q — пересечение p и q , и
• p ∨ q = ¬(¬ p ∧¬ q ) относится к состояниям, которые накладывают p и q .

Эта семантика обладает тем приятным свойством, что предгильбертово пространство является полным (т. е. Гильбертовым) тогда и только тогда, когда предложения удовлетворяют ортомодуляторному закону, результат, известный как теорема Солера . ^[24] Хотя большая часть развития квантовой логики была мотивирована стандартной семантикой, она не характеризуется последней; существуют дополнительные свойства, которым удовлетворяет эта решетка, которые не обязательно должны выполняться в квантовой логике. ^[16]

Различия с классической логикой

Структура Q сразу же указывает на разницу со структурой частичного порядка классической системы предложений. В классическом случае, если дано предложение p , уравнения

⊤ = p ∨ q и

⊥ = р ∧ д

имеют ровно одно решение, а именно теоретико-множественное дополнение p . В случае решетки проекций существует бесконечно много решений приведенных выше уравнений (любое замкнутое алгебраическое дополнение p решает его; оно не обязательно должно быть ортодополнением).

В более общем смысле, пропозициональная оценка имеет необычные свойства в квантовой логике. Ортодополняемая решетка, допускающая полный гомоморфизм решетки в {⊥,⊤}, должна быть булевой. Стандартный обходной путь — изучать максимальные частичные гомоморфизмы q со свойством фильтрации:

если a ≤ b и q ( a ) = ⊤, то q ( b ) = ⊤. ^[10]

Нарушение принципа дистрибутивности

Выражения в квантовой логике описывают наблюдаемые с помощью синтаксиса, который напоминает классическую логику. Однако, в отличие от классической логики, распределительный закон a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) не работает при работе с некоммутирующими наблюдаемыми , такими как положение и импульс. Это происходит, потому что измерение влияет на систему, а измерение того, выполняется ли дизъюнкция, не измеряет, какой из дизъюнктов истинен.

Например, рассмотрим простую одномерную частицу с положением, обозначенным x , и импульсом p , и определим наблюдаемые величины:

• a — | p | ≤ 1 (в некоторых единицах)
• б — х ≤ 0
• с — х ≥ 0

Теперь положение и импульс являются преобразованиями Фурье друг друга, а преобразование Фурье квадратично интегрируемой ненулевой функции с компактным носителем является целым и, следовательно, не имеет неизолированных нулей. Следовательно, не существует волновой функции, которая была бы одновременно нормализована в импульсном пространстве и обращалась бы в нуль точно при x ≥ 0. Таким образом, a ∧ b и аналогично a ∧ c ложны, поэтому ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) ложно. Однако a ∧ ( b ∨ c ) равно a , что, безусловно, не ложно (существуют состояния, для которых это является приемлемым результатом измерения ). Более того: если соответствующее гильбертово пространство для динамики частицы допускает только импульсы не больше 1, то a истинно.

Чтобы понять больше, пусть p ₁ и p ₂ будут функциями импульса (преобразованиями Фурье) для проекций волновой функции частицы на x ≤ 0 и x ≥ 0 соответственно. Пусть | p _i |↾ _≥1 будет ограничением p _i на импульсы, которые (по абсолютной величине) ≥1.

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) соответствует состояниям с | p ₁ |↾ _≥1 = | p ₂ |↾ _≥1 = 0 (это справедливо, даже если мы определили p по-другому, чтобы сделать такие состояния возможными; также a ∧ b соответствует | p ₁ |↾ _≥1 =0 и p ₂ =0). Между тем, a соответствует состояниям с | p |↾ _≥1 = 0. Как оператор, p = p ₁ + p ₂ , и ненулевые | p ₁ |↾ _≥1 и | p ₂ |↾ _≥1 могут интерферировать, производя ноль | p |↾ _≥1 . Такое вмешательство является ключом к богатству квантовой логики и квантовой механики.

Связь с квантовым измерением

Наблюдаемые объекты Макки

Для заданной ортодополняемой решетки Q наблюдаемое Макки φ является счетно-аддитивным гомоморфизмом из ортодополняемой решетки борелевских подмножеств R в Q. В символах это означает, что для любой последовательности { S _i } _i попарно непересекающихся борелевских подмножеств R {φ( S _i )} _i являются попарно ортогональными предложениями (элементами Q ) и

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).}$

Эквивалентно, наблюдаемая величина Макки является проекционно-значной мерой на R.

Теорема ( Спектральная теорема ). Если Q — решетка замкнутых подпространств Гильберта H , то существует биективное соответствие между наблюдаемыми Макки и плотно определенными самосопряженными операторами на H.

Квантовые вероятностные меры

Квантовая вероятностная мера — это функция P, определенная на Q со значениями в [0,1] такими, что P("⊥)=0, P(⊤)=1 и если { E _i } _i — последовательность попарно ортогональных элементов Q , то

${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(\bigvee _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).}$

Каждая квантовая вероятностная мера на замкнутых подпространствах гильбертова пространства индуцируется матрицей плотности  — неотрицательным оператором следа 1. Формально ,

Теорема . ^[25] Предположим, что Q — решетка замкнутых подпространств сепарабельного гильбертова пространства комплексной размерности не менее 3. Тогда для любой квантовой вероятностной меры P на Q существует единственный оператор следового класса S такой, что для любой самосопряженной проекции E в Q . $${\displaystyle \operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)}$$

Связь с другими логиками

Квантовая логика встраивается в линейную логику ^[26] и модальную логику B. ^[16] Действительно, современные логики для анализа квантовых вычислений часто начинаются с квантовой логики и пытаются привить к ней желаемые черты расширения классической логики; результаты затем обязательно встраивают квантовую логику. ^{[27] [28]}

Ортодополненная решетка любого набора квантовых предложений может быть встроена в булеву алгебру, которая затем поддается классической логике. ^[29]

Ограничения

Хотя многие трактовки квантовой логики предполагают, что базовая решетка должна быть ортомодулярной, такие логики не могут обрабатывать множественные взаимодействующие квантовые системы. В примере, полученном Фулисом и Рэндаллом, существуют ортомодулярные предложения с конечномерными моделями Гильберта, спаривание которых не допускает ортомодулярной модели. ^[8] Аналогично, квантовая логика с ортомодулярным законом фальсифицирует теорему дедукции . ^[30]

Квантовая логика не допускает разумных материальных условных предложений ; любая связочка , которая является монотонной в определенном техническом смысле, сводит класс предложений к булевой алгебре . ^[31] Следовательно, квантовая логика изо всех сил пытается представить течение времени. ^[26] Одним из возможных обходных путей является теория квантовых фильтраций , разработанная в конце 1970-х и 1980-х годах Белавкиным . ^{[32] [33]} Известно, однако, что система BV , глубокий выводной фрагмент линейной логики , который очень близок к квантовой логике, может обрабатывать произвольные дискретные пространства-времена . ^[34]

Смотрите также

• Нечеткая логика
• HPO-формализм (подход к темпоральной квантовой логике)
• Линейная логика
• Математическая формулировка квантовой механики
• Многозначная логика
• Квантовый байесианизм
• Квантовое познание
• Квантовая контекстуальность
• Квантовая теория поля
• Квантовая вероятность
• Теория квазимножеств
• Теорема Солера
• Векторная логика

Примечания

1. По техническим причинам невозможно представить эти предложения как квантово-механические операторы . Они представлены здесь, поскольку они достаточно просты, чтобы обеспечить интуицию, и могут рассматриваться как предельные случаи операторов, которые являются осуществимыми. Подробнее см. в § Квантовая логика как логика наблюдаемых и далее.

Цитаты

1. Питер Форрест, «Квантовая логика» в Энциклопедии философии Раутледжа , т. 7, 1998. стр. 882 и далее: «[Квантовая логика] отличается от стандартного исчисления высказываний... Наиболее заметное отличие состоит в том, что распределительные законы не работают, будучи заменены более слабым законом, известным как ортомодулярность».
2. фон Нейман 1932.
3. Биркгоф и фон Нейман 1936.
4. Макки 1963.
5. Пирон:
   • К. Пирон, «Квантовая аксиоматика» (на французском языке), Helvetica Physica Acta vol. 37, 1964. DOI: 10.5169/seals-113494.
   • Пирон 1976.
   Людвиг:
   • Гюнтер Людвиг, «Попытка аксиоматического обоснования квантовой механики и более общих теорий» II, Commun. Math. Phys. , т. 4, 1967. стр. 331-348.
   • Людвиг 1954
6. Модлин 2005.
7. Патнэм 1969.
8. Wilce.
9. Т. А. Броди, «О квантовой логике», Основы физики , т. 14, № 5, 1984. стр. 409-430.
10. Bacciagaluppi 2009.
11. Dalla Chiara & Giuntini 2002, стр. 94: «Квантовые логики, без всякого сомнения, являются логиками. Как мы видели, они удовлетворяют всем каноническим условиям, которые современное сообщество логиков требует, чтобы назвать данный абстрактный объект логикой».
12. Модлин 2005, стр. 159-161.
13. Броуди 1984.
14. Броди 1984, стр. 428–429.
15. Модлин 2005, стр. 174.
16. Далла Кьяра и Джунтини 2002.
17. Терри Тао , «Диаграммы типа Венна и Эйлера для векторных пространств и абелевых групп» в What's New (блог), 2021.
18. Далла Кьяра, Джунтини и Лепорини 2003.
19. Megill 2019.
20. Кальмбах 1974 и Кальмбах 1983
21. NJ Cutland; PF Gibbins (сентябрь 1982 г.). «Регулярное секвенциальное исчисление для квантовой логики, в котором ∨ и ∧ являются дуальными». Logique et Analyse . Nouvelle Série. 25 (99): 221–248. JSTOR  44084050.
22. • Хироказу Нисимура (январь 1994 г.). «Теория доказательств для минимальной квантовой логики I». Международный журнал теоретической физики . 33 (1): 103–113. Bibcode : 1994IJTP...33..103N. doi : 10.1007/BF00671616. S2CID  123183879.
    • Хирокадзу Нисимура (июль 1994 г.). «Теория доказательств для минимальной квантовой логики II». International Journal of Theoretical Physics . 33 (7): 1427–1443. Bibcode : 1994IJTP...33.1427N. doi : 10.1007/bf00670687. S2CID  189850106.
23. Уве Эгли; Ханс Томпитс (1999). Генценовские методы в квантовой логике (PDF) . 8-я Международная конференция по автоматизированным рассуждениям с аналитическими таблицами и связанными с ними методами (TABLEAUX). SUNY Albany . CiteSeerX 10.1.1.88.9045 . 
24. Dalla Chiara & Giuntini 2002 и de Ronde, Domenech & Freytes. Несмотря на предположения в Josef Jauch, Foundations of Quantum Mechanics , Addison-Wesley Series in Advanced Physics; Addison-Wesley, 1968, это свойство не может быть использовано для вывода структуры векторного пространства, поскольку оно не свойственно (до)гильбертовым пространствам. Аналогичное утверждение справедливо для большинства категорий ; см. John Harding, "Decompositions in Quantum Logic," Transactions of the AMS , т. 348, № 5, 1996. стр. 1839-1862.
25. A. Gleason , «Меры в замкнутых подпространствах гильбертова пространства», Indiana University Mathematics Journal , т. 6, № 4, 1957. стр. 885–893. DOI: 10.1512/iumj.1957.6.56050. Перепечатано в The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics , University of Western Ontario Series in Philosophy of Science 5a, ed. C. A. Hooker; D. Riedel, c. 1975–1979. стр. 123–133.
26. Vaughan Pratt, "Linear logic for generalized quantum mechanics," в трудах Workshop on Physics and Computation (PhysComp '92) . См. также обсуждение на nLab, Revision 42, где цитируется GD Crown, "On some orthomodular posets of vector bundles," Journ. of Natural Sci. and Math. , т. 15, выпуск 1-2: стр. 11–25, 1975.
27. Балтаг и Сметс 2006.
28. Балтаг и др. 2014.
29. Джеффри Баб и Уильям Демопулос, «Интерпретация квантовой механики», в Logical and Epistemological Studies in Contemporary Physics , Boston Studies in the Philosophy of Science 13, ред. Роберт С. Коэн и Маркс В. Вартофски; Д. Ридель, 1974. стр. 92-122. DOI: 10.1007/978-94-010-2656-7. ISBN 978-94-010-2656-7 . 
30. Кальмбах 1981.
31. Роман, Л.; Румбос, Б. (1991). «Квантовая логика снова» (PDF) . Основы физики . 21 (6): 727–734. Bibcode : 1991FoPh...21..727R. doi : 10.1007/BF00733278. S2CID  123383431.
32. • В. П. Белавкин (1978). «Оптимальная квантовая фильтрация маковских сигналов». Проблемы теории управления и информации . 7 (5): 345–360.
    • VP Belavkin (1992). «Квантовое стохастическое исчисление и квантовая нелинейная фильтрация». Журнал многомерного анализа . 42 (2): 171–201. arXiv : math/0512362 . doi :10.1016/0047-259X(92)90042-E. S2CID  3909067.
33. Люк Бутен; Рамон ван Гендель; Мэтью Р. Джеймс (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». Обзор SIAM . 51 (2): 239–316. arXiv : math/0606118 . Bibcode : 2009SIAMR..51..239B. doi : 10.1137/060671504. S2CID  10435983.
34. Ричард Блют, Алессио Гульельми, Иван Т. Иванов, Пракаш Панангаден, Лутц Страсбургер, «Логическая основа квантовой эволюции и запутанности» в книге « Категории и типы в логике, языке и физике: эссе, посвященные Джиму Ламбеку по случаю его 90-летия» ; Springer, 2014. стр. 90–107. DOI: 10.1007/978-3-642-54789-8_6. HAL 01092279.

Источники

Исторические труды

Расположено в хронологическом порядке

• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , перевод Robert T. Beyer, ред. Nicholas A. Wheeler; Princeton University Press, 2018 (оригинал 1932). стр. 160-164. JSTOR  j.ctt1wq8zhp. Издание 1955 года доступно в Internet Archive .
• Г. Биркгоф и Дж. фон Нейман , «Логика квантовой механики», Annals of Mathematics , серия II, т. 37, выпуск 4, стр. 823–843, 1936. JSTOR 1968621. DOI 10.2307/1968621.
• Г. Макки , Математические основы квантовой механики , У. А. Бенджамин, 1963. HathiTrust 2027/mdp.39015001329567.
• Х. Патнэм , Является ли логика эмпирической?, Бостонские исследования по философии науки V, ред. Роберт С. Коэн и Маркс В. Вартофски, 1969.
• Г. Калмбах Ортомодулярная логика , З. Логик унд Грундл. Матем., вып. 20, 1974, стр. 395–406.
• G. Kalmbach Orthomodular Logic as a Hilbert Type Calculus , в Current Issues in Quantum Logic, Plenum Press, Нью-Йорк, ред. E. Beltrametti et al., 1981, стр. 333-340
• G. Kalmbach Orthomodular Lattices , Academic Press, Лондон, 1983

Современные философские взгляды

• Гвидо Баччагалуппи, «Является ли логика эмпирической?», в Handbook of Quantum Logic и Quantum Structures: Quantum Logic , под ред. К. Энгессера, Д. М. Габбея и Д. Лемана; Elsevier, 2009. стр. 49-78.
• Тим Модлин , «История квантовой логики» в книге Хилари Патнэма ; Издательство Кембриджского университета, серия «Современная философия в фокусе», 2005. DOI: 10.1017/CBO9780511614187.006 ISBN 9780521012546 . 
• де Ронд, К.; Доменек, Ж.; Фрейтес, Х. «Квантовая логика в исторической и философской перспективе». Интернет-энциклопедия философии .
• Wilce, Alexander. «Квантовая логика и теория вероятностей». В Zalta, Edward N. (ред.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .

Математическое исследование и вычислительные приложения

• А. Балтаг и С. Сметс, «LQP: динамическая логика квантовой информации», Математические структуры в информатике , т. 16, выпуск 3, стр. 491-525, 2006. DOI 10.1017/S0960129506005299 arXiv 2110.01361
• A. Baltag, J. Bergfeld, K. Kishida, J. Sack, S. Smets и S. Zhong, «PLQP & Company: разрешимые логики для квантовых алгоритмов», Международный журнал теоретической физики , т. 53, выпуск 10, стр. 3628-3647, 2014.
• M. L. Dalla Chiara и R. Giuntini, «Квантовая логика», в Handbook of Philosophical Logic , т. 6, D. Gabbay и F. Guenthner (ред.), Kluwer, 2002. arXiv quant-ph/0101028
• M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini и R. Leporini, «Quantum Computational Logics: A Survey», в Trends in Logic , т. 21, V. F. Hendricks и J. Malinowski (ред.), Springer, 2003. arXiv quant-ph/0305029
• Норман Мегилл, исследователь квантовой логики на конференции Metamath , 2019.
• Н. Папаниколау, «Формальное рассуждение о квантовых системах: обзор», ACM SIGACT News , 36(3), 2005. стр. 51–66. arXiv cs/0508005.

Квантовые основы

• Д. Коэн, Введение в гильбертово пространство и квантовую логику , Springer-Verlag, 1989. Элементарно и хорошо иллюстрировано; подходит для продвинутых студентов.
• Гюнтер Людвиг, Der Grundlagen der Quantenmechanik (на немецком языке), Springer, 1954. Окончательная работа. Выпущено на английском языке как:
  • Гюнтер Людвиг, Основы квантовой механики , т. 1, перевод Карла А. Хайна; Springer-Verlag, 1983.
  • Гюнтер Людвиг, Аксиоматическая основа квантовой механики , т. 1: «Вывод структуры гильбертова пространства», перевод Лео Ф. Борона, под ред. Карла Юста; Springer, 1985. DOI: 10.1007/978-3-642-70029-3. ISBN 978-3-642-70029-3 . 
• Квантовая логика в n Lab
• C. Piron , Основы квантовой физики , W. A. ​​Benjamin, 1976.