Леопольд Кронекер ( нем. [ˈkʁoːnɛkɐ] ; 7 декабря 1823 — 29 декабря 1891) — немецкий математик , работавший над теорией чисел , алгеброй и логикой , а также критиковавший работу Георга Кантора по теории множеств . Генрих Вебер цитировал Кронекера [1] , который сказал: « Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk » («Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека»). [2] Кронекер был учеником и другом Эрнста Куммера на протяжении всей жизни .
Леопольд Кронекер родился 7 декабря 1823 года в Лигнице , Пруссия (ныне Легница, Польша ) в богатой еврейской семье. Его родители, Исидор и Иоганна (урожденная Праусницеп), заботились об образовании своих детей и предоставляли им частные уроки на дому — младший брат Леопольда Гуго Кронекер также пошел по научному пути, позже став известным физиологом . Затем Кронекер пошел в гимназию Лигница , где интересовался широким кругом тем, включая науку , историю и философию , а также занимался гимнастикой и плаванием. В гимназии его преподавал Эрнст Куммер , который заметил и поощрял интерес мальчика к математике. [3]
В 1841 году Кронекер стал студентом Берлинского университета , где его интерес не был сразу сосредоточен на математике, а скорее распространился на несколько предметов, включая астрономию и философию. Он провел лето 1843 года в Боннском университете, изучая астрономию, а 1843–44 годы — в Университете Бреслау, следуя за своим бывшим учителем Куммером. Вернувшись в Берлин, Кронекер изучал математику у Петера Густава Лежена Дирихле и в 1845 году защитил диссертацию по алгебраической теории чисел, написанную под руководством Дирихле. [4]
Получив степень, Кронекер не стал следовать своему интересу к исследованиям на академическом карьерном пути. Он вернулся в свой родной город, чтобы управлять большим фермерским поместьем, построенным дядей его матери, бывшим банкиром. В 1848 году он женился на своей кузине Фанни Праусницэр, и у пары было шестеро детей. В течение нескольких лет Кронекер сосредоточился на бизнесе, и хотя он продолжал изучать математику в качестве хобби и переписывался с Куммером, он не опубликовал никаких математических результатов. [5] В 1853 году он написал мемуары об алгебраической разрешимости уравнений, расширяющие работу Эвариста Галуа по теории уравнений .
Благодаря своей деловой активности Кронекер был финансово обеспечен, и поэтому он смог вернуться в Берлин в 1855 году, чтобы заняться математикой в качестве частного ученого. Дирихле, чья жена Ребекка происходила из богатой семьи Мендельсон , познакомил Кронекера с берлинской элитой. Он стал близким другом Карла Вейерштрасса , который недавно присоединился к университету, и его бывшего учителя Куммера, который только что занял кафедру математики Дирихле. [3] В последующие годы Кронекер опубликовал множество статей, являющихся результатом его независимых исследований предыдущих лет. В результате этого опубликованного исследования он был избран членом Берлинской академии в 1861 году.
Хотя он не занимал официальной университетской должности, Кронекер имел право как член Академии проводить занятия в Берлинском университете, и он решил это сделать, начиная с 1862 года. В 1866 году, когда умер Риман , Кронекеру предложили кафедру математики в Геттингенском университете (ранее ее занимали Карл Фридрих Гаусс и Дирихле), но он отказался, предпочтя сохранить свою должность в Академии. Только в 1883 году, когда Куммер ушел из университета, Кронекеру было предложено стать его преемником и стать обычным профессором. [6] Кронекер был научным руководителем Курта Гензеля , Адольфа Кнезера , Матиаса Лерха и Франца Мертенса , среди прочих.
Его философские взгляды на математику привели к конфликту с несколькими математиками на протяжении многих лет, особенно к напряжению в отношениях с Вейерштрассом, который почти решил покинуть университет в 1888 году. [4] Кронекер умер 29 декабря 1891 года в Берлине, через несколько месяцев после смерти своей жены. В последний год своей жизни он принял христианство . [3] Он похоронен на кладбище Alter St Matthäus Kirchhof в Берлине - Шёнеберг , рядом с Густавом Кирхгофом .
Важная часть исследований Кронекера была сосредоточена на теории чисел и алгебре . В статье 1853 года по теории уравнений и теории Галуа он сформулировал теорему Кронекера–Вебера , однако не предложил окончательного доказательства (теорема была полностью доказана гораздо позже Давидом Гильбертом ). Он также ввел структурную теорему для конечно-порожденных абелевых групп . Кронекер изучал эллиптические функции и выдвинул гипотезу о своей « liebster Jugendtraum » («самая дорогая мечта юности»), обобщении, которое позже было выдвинуто Гильбертом в измененной форме как его двенадцатая проблема . [7] В статье 1850 года « О решении общего уравнения пятой степени » Кронекер решил уравнение пятой степени , применив теорию групп (хотя его решение не было в терминах радикалов: это уже было доказано теоремой Абеля –Руффини ).
В алгебраической теории чисел Кронекер ввел теорию делителей как альтернативу теории идеалов Дедекинда , которую он не нашел приемлемой по философским причинам. Хотя общее принятие подхода Дедекинда привело к тому, что теория Кронекера долгое время игнорировалась, его делители были признаны полезными и были возрождены несколькими математиками в 20 веке. [8]
Кронекер также внес вклад в концепцию непрерывности , реконструировав форму иррациональных чисел в действительных числах . В анализе Кронекер отверг формулировку непрерывной, нигде не дифференцируемой функции своего коллеги Карла Вейерштрасса .
Также в честь Кронекера названы предельная формула Кронекера , сравнение Кронекера , дельта Кронекера , гребень Кронекера , символ Кронекера , произведение Кронекера , метод Кронекера для факторизации многочленов, подстановка Кронекера , теорема Кронекера в теории чисел, лемма Кронекера и числа Эйзенштейна–Кронекера .
Финитизм Кронекера сделал его предшественником интуиционизма в основаниях математики .
Кронекер был избран членом нескольких академий: [3]
В его честь назван астероид 25624 Кронекер .
