В геометрии и топологии нотация многогранников Конвея , изобретенная Джоном Хортоном Конвеем и продвигаемая Джорджем У. Хартом , используется для описания многогранников на основе затравочного многогранника, модифицированного различными префиксными операциями . [ 1] [2]
Конвей и Харт расширили идею использования операторов, таких как усечение , как определено Кеплером , для построения связанных многогранников с одинаковой симметрией. Например, tC представляет собой усеченный куб , а taC , разбираемый как t ( aC ) , является ( топологически ) усеченным кубооктаэдром . Простейший оператор dual меняет местами элементы вершины и грани ; например, дуальный куб является октаэдром : dC = O. Применяемые последовательно, эти операторы позволяют генерировать множество многогранников более высокого порядка. Конвей определил операторы a (ambo), b ( bevel ), d ( dual ), e (expand), g (gyro), j (join), k (kis), m (meta), o (ortho), s ( snub ) и t ( truncate ), в то время как Харт добавил r ( reflect ) и p (propellor). [3] Более поздние реализации назвали дополнительные операторы, иногда называемые «расширенными» операторами. [4] [5] Базовых операций Конвея достаточно для генерации архимедовых и каталоновых тел из платоновых тел . Некоторые базовые операции могут быть сделаны как составные части других: например, ambo, примененное дважды, является операцией расширения ( aa = e ), в то время как усечение после ambo дает скос ( ta = b ).
Многогранники можно изучать топологически, с точки зрения того, как их вершины, ребра и грани соединяются вместе, или геометрически, с точки зрения размещения этих элементов в пространстве. Различные реализации этих операторов могут создавать многогранники, которые геометрически различны, но топологически эквивалентны. Эти топологически эквивалентные многогранники можно рассматривать как одно из многих вложений многогранного графа на сфере. Если не указано иное, в этой статье (и в литературе по операторам Конвея в целом) топология является основным интересом. Многогранники с родом 0 (т. е. топологически эквивалентные сфере) часто приводятся к канонической форме, чтобы избежать двусмысленности.
В нотации Конвея операции над многогранниками применяются как функции, справа налево. Например, кубооктаэдр — это куб-амбо , [6] т.е. , а усеченный кубооктаэдр — . Повторное применение оператора можно обозначить экспонентой: j 2 = o . В общем случае операторы Конвея не являются коммутативными .
Отдельные операторы можно визуализировать в терминах фундаментальных доменов (или камер), как показано ниже. Каждый прямоугольный треугольник является фундаментальным доменом . Каждая белая камера является повернутой версией других, как и каждая цветная камера. Для ахиральных операторов цветные камеры являются отражением белых камер, и все они транзитивны. В терминах группы ахиральные операторы соответствуют диэдральным группам D n , где n — число сторон грани, в то время как хиральные операторы соответствуют циклическим группам C n , не обладающим отражательной симметрией диэдральных групп. Ахиральные и хиральные операторы также называются локальными операциями сохранения симметрии (LSP) и локальными операциями, сохраняющими симметрию, сохраняющую ориентацию (LOPSP), соответственно. [7] [8] [9] LSP следует понимать как локальные операции, сохраняющие симметрию, а не как операции, сохраняющие локальную симметрию. Опять же, это симметрии в топологическом смысле, а не в геометрическом: точные углы и длины ребер могут отличаться.
Харт ввел оператор отражения r , который дает зеркальное изображение многогранника. [6] Это не совсем LOPSP, поскольку он не сохраняет ориентацию: он меняет ее на противоположную, меняя местами белые и красные камеры. r не оказывает никакого влияния на ахиральные многогранники, кроме ориентации, а rr = S возвращает исходный многогранник. Для указания другой хиральной формы оператора можно использовать черту сверху: s = rsr .
Операция неприводима, если она не может быть выражена как композиция операторов, отличных от d и r . Большинство исходных операторов Конвея неприводимы: исключениями являются e , b , o и m .
Связь между числом вершин, ребер и граней семени и многогранника, созданного перечисленными в этой статье операциями, можно выразить в виде матрицы . Когда x — оператор, — вершины, ребра и грани семени (соответственно), а — вершины, ребра и грани результата, то
Матрица для композиции двух операторов — это просто произведение матриц для двух операторов. Различные операторы могут иметь одну и ту же матрицу, например, p и l . Количество граней результата — это целое число, кратное d от количества семян: это называется скоростью инфляции или фактором граней. [7]
Простейшие операторы, оператор тождества S и двойственный оператор d , имеют простые матричные формы:
Два двойных оператора сокращаются; dd = S , а квадрат является единичной матрицей . При применении к другим операторам двойной оператор соответствует горизонтальным и вертикальным отражениям матрицы. Операторы можно сгруппировать в группы по четыре (или меньше, если некоторые формы одинаковы), определив операторы x , xd (оператор двойного), dx (дуальный оператор) и dxd (сопряженный оператор). В этой статье приводится только матрица для x , поскольку остальные являются простыми отражениями.
Число LSP для каждого уровня инфляции начинается с уровня инфляции 1. Однако не все LSP обязательно производят многогранник, ребра и вершины которого образуют 3-связный граф , и, как следствие теоремы Штейница, не обязательно производят выпуклый многогранник из выпуклого семени. Число 3-связных LSP для каждого уровня инфляции равно . [8]
Строго говоря, семя ( S ), игла ( n ) и молния ( z ) не были включены Конвеем, но они связаны с исходными операциями Конвея двойственностью, поэтому включены сюда.
С этого момента операции визуализируются на семенах куба, нарисованных на поверхности этого куба. Синие грани пересекают ребра семени, а розовые грани лежат над вершинами семени. Существует некоторая гибкость в точном размещении вершин, особенно с хиральными операторами.
Любой многогранник может служить затравкой, если над ним можно выполнять операции . Обычным затравкам присвоена буква. Платоновы тела обозначаются первой буквой своего имени ( Тетраэдр , Октаэдр , Куб , Косаэдр , Додекаэдр ); призмы ( Pn ) для n - угольных форм ; антипризмы ( An ) ; купола ( Un ) ; антикуполы ( Vn ) ; и пирамиды ( Yn ) . Любое тело Джонсона можно обозначить как Jn , для n = 1..92 .
Все пять Платоновых тел могут быть получены из призматических генераторов с нулевым или двумя операторами: [14]
Обычные евклидовы мозаики также можно использовать в качестве семян:
Это операции, созданные после оригинального набора Конвея. Обратите внимание, что существует гораздо больше операций, чем было названо; то, что операции здесь нет, не означает, что ее не существует (или она не является LSP или LOPSP). Для упрощения в этот список включены только неприводимые операторы: другие могут быть созданы путем объединения операторов.
Несколько операторов можно сгруппировать по некоторым критериям или изменить их поведение с помощью индекса. [4] Они записываются как оператор с нижним индексом: x n .
Операции аугментации сохраняют исходные ребра. Они могут быть применены к любому независимому подмножеству граней или могут быть преобразованы в форму соединения путем удаления исходных ребер. Нотация Конвея поддерживает необязательный индекс для этих операторов: 0 для формы соединения или 3 или выше для количества сторон затронутых граней. Например, k 4 Y 4 =O: взятие пирамиды с квадратным основанием и приклеивание другой пирамиды к квадратному основанию дает октаэдр.
Оператор усечения t также имеет индексную форму t n , указывающую, что усекаются только вершины определенной степени. Он эквивалентен dk n d .
Некоторые из расширенных операторов могут быть созданы в особых случаях с помощью операторов k n и t n . Например, скошенный куб , cC , может быть построен как t 4 daC , как ромбический додекаэдр , daC или jC , с усеченными вершинами степени 4. Лофтированный куб, lC , такой же, как t 4 kC . Квинтододекаэдр, qD, может быть построен как t 5 daaD или t 5 deD или t 5 oD , дельтовидный гексаконтаэдр , deD или oD , с усеченными вершинами степени 5.
Meta добавляет вершины в центре и вдоль ребер, в то время как bevel добавляет грани в центре, начальные вершины и вдоль ребер. Индекс — это количество вершин или граней, добавленных вдоль ребер. Meta (в его неиндексированной форме) также называется cantitruncation или omnitruncation . Обратите внимание, что 0 здесь не означает то же самое, что и для операций аугментации: это означает, что вдоль ребер добавлено ноль вершин (или граней). [4]
Medial похож на meta, за исключением того, что он не добавляет ребра из центра к каждой исходной вершине. Форма индекса 1 идентична операторам орто и расширения Конвея: expand также называется cantellation и expansion . Обратите внимание, что o и e имеют свои собственные индексированные формы, описанные ниже. Также обратите внимание, что некоторые реализации начинают индексацию с 0 вместо 1. [4]
Операторы Голдберга-Коксетера (GC) Конвея — это два бесконечных семейства операторов, которые являются расширением конструкции Голдберга-Коксетера . [16] [17] Конструкция GC может рассматриваться как взятие треугольной секции треугольной решетки или квадратной секции квадратной решетки и наложение ее на каждую грань многогранника. Эту конструкцию можно распространить на любую грань, определив камеры треугольника или квадрата («главный многоугольник»). [7] Операторы в треугольном семействе могут использоваться для создания многогранников Голдберга и геодезических многогранников : см. Список геодезических многогранников и многогранников Голдберга для формул.
Два семейства — это треугольное семейство GC, c a,b и u a,b , и четырехугольное семейство GC, e a,b и o a,b . Оба семейства GC индексируются двумя целыми числами и . Они обладают многими хорошими качествами:
Операторы делятся на три класса (примеры написаны на языке c , но применимы ко всем 4 операторам):
Из исходных операций Конвея единственные, которые не попадают в семейство GC, это g и s (гироскоп и слаб). Мета и скос ( m и b ) могут быть выражены в терминах одного оператора из треугольного семейства и одного из четырехугольного семейства.
Согласно базовой теории чисел, для любых значений a и b , .
Исходный набор операторов Конвея может создать все архимедовы тела и каталонские тела , используя платоновы тела в качестве затравок. (Обратите внимание, что оператор r не является необходимым для создания обеих хиральных форм.)
Усеченный икосаэдр , tI , можно использовать в качестве затравки для создания более визуально привлекательных многогранников, хотя они не являются ни вершинно- , ни гранно-транзитивными .
Каждую из выпуклых однородных мозаик и их двойственных мозаик можно создать, применяя операторы Конвея к правильным мозаикам Q , H и Δ .
Операторы Конвея также можно применять к тороидальным многогранникам и многогранникам с несколькими отверстиями.
