Конформная группа

В математике конформная группа пространства внутреннего произведения — это группа преобразований из пространства в себя, которые сохраняют углы. Более формально, это группа преобразований, которые сохраняют конформную геометрию пространства.

Некоторые конкретные конформные группы особенно важны:

• Конформная ортогональная группа . Если V — векторное пространство с квадратичной формой Q , то конформная ортогональная группа CO( V , Q ) — это группа линейных преобразований T пространства V , для которой существует скаляр λ такой, что для всех x из V

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

Для определенной квадратичной формы конформная ортогональная группа равна ортогональной группе, умноженной на группу растяжений .

• Конформная группа сферы порождается инверсиями в окружностях . Эта группа также известна как группа Мёбиуса .
• В евклидовом пространстве E ⁿ , n > 2 , конформная группа порождается инверсиями в гиперсферах .
• В псевдоевклидовом пространстве E ^{p , q} конформная группа имеет вид Conf( p , q ) ≃ O( p + 1, q + 1) / Z ₂ . ^[1]

Все конформные группы являются группами Ли .

Анализ угла

В евклидовой геометрии можно ожидать, что стандартный круговой угол будет характерным, но в псевдоевклидовом пространстве есть также гиперболический угол . При изучении специальной теории относительности различные системы отсчета для переменной скорости относительно покоящейся системы связаны быстротой , гиперболическим углом. Один из способов описания усиления Лоренца — это гиперболическое вращение , которое сохраняет дифференциальный угол между быстротами. Таким образом, они являются конформными преобразованиями относительно гиперболического угла.

Метод создания подходящей конформной группы заключается в имитации шагов группы Мёбиуса как конформной группы обычной комплексной плоскости . Псевдоевклидова геометрия поддерживается альтернативными комплексными плоскостями, где точки являются расщепленными комплексными числами или дуальными числами . Так же, как группа Мёбиуса требует сферы Римана , компактного пространства , для полного описания, так и альтернативные комплексные плоскости требуют компактификации для полного описания конформного отображения. Тем не менее, конформная группа в каждом случае задается линейными дробно-множественными преобразованиями на соответствующей плоскости. ^[2]

Математическое определение

Для ( псевдо- ) риманова многообразия с конформным классом конформная группа — это группа конформных отображений из в себя. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Более конкретно, это группа сохраняющих угол гладких отображений из в себя. Однако, когда сигнатура не определена, «угол» является гиперуглом , который потенциально бесконечен. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$

Для псевдоевклидова пространства определение немного отличается. ^[3] — это конформная группа многообразия, возникающего из конформной компактификации псевдоевклидова пространства (иногда отождествляемого с после выбора ортонормированного базиса ). Эта конформная компактификация может быть определена с помощью , рассматриваемого как подмногообразие нулевых точек в включением (где рассматривается как один вектор пространства-времени). Тогда конформная компактификация с идентифицированными «антиподальными точками». Это происходит путем проективизации пространства . Если — конформная компактификация, то . В частности, эта группа включает инверсию , которая не является отображением из в себя, поскольку отображает начало координат в бесконечность и отображает бесконечность в начало координат. ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle N^{p,q}}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q):={\text{Conf}}(N^{p,q})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

Конф(п,д)

Для псевдоевклидова пространства алгебра Ли конформной группы задается базисом со следующими коммутационными соотношениями: ^[4] и со всеми остальными скобками, равными нулю. Здесь — метрика Минковского . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

На самом деле, эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли группы Лоренца с одним дополнительным пространственным и одним дополнительным временным измерением, то есть . Можно легко проверить, что размерности совпадают. Чтобы продемонстрировать явный изоморфизм, определим Затем можно показать, что генераторы с подчиняются соотношениям алгебры Лоренца с метрикой . ${\displaystyle {\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J_{ab}}$ ${\displaystyle a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q}$ ${\displaystyle {\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)}$

Конформная группа в двух измерениях пространства-времени

Для двумерного евклидова пространства или одномерного пространства-времени пространство конформных симметрий гораздо больше. В физике иногда говорят, что конформная группа бесконечномерна, но это не совсем верно, поскольку, хотя алгебра Ли локальных симметрий бесконечномерна, они не обязательно распространяются на группу Ли четко определенных глобальных симметрий.

Для пространственно-временного измерения все локальные конформные симметрии распространяются на глобальные симметрии. Для евклидова пространства после перехода к комплексной координате локальные конформные симметрии описываются бесконечномерным пространством векторных полей вида Следовательно, локальные конформные симметрии двумерного евклидова пространства являются бесконечномерной алгеброй Витта . ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ $${\displaystyle l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.}$$

Конформная группа пространства-времени

В 1908 году Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем , два молодых исследователя из Ливерпульского университета , выдвинули идею конформной группы пространства-времени ^{[5] [6] [7]} Они утверждали, что кинематические группы по необходимости являются конформными, поскольку они сохраняют квадратичную форму пространства-времени и родственны ортогональным преобразованиям , хотя и по отношению к изотропной квадратичной форме . Свободы электромагнитного поля не ограничиваются кинематическими движениями, а скорее должны быть только локально пропорциональны преобразованию, сохраняющему квадратичную форму. В статье Гарри Бейтмана 1910 года изучалась матрица Якоби преобразования, сохраняющего световой конус , и было показано, что она обладает конформным свойством (пропорциональна сохраняющему форму). ^[8] Бейтман и Каннингем показали, что эта конформная группа является «наибольшей группой преобразований, оставляющих уравнения Максвелла структурно инвариантными». ^[9] Конформная группа пространства-времени обозначается как C(1,3) ^[10]

Исаак Яглом внес вклад в математику конформных преобразований пространства-времени в расщепленно-комплексных и дуальных числах . ^[11] Поскольку расщепленно-комплексные и дуальные числа образуют кольца , а не поля , дробно-линейные преобразования требуют проективной прямой над кольцом, чтобы быть биективными отображениями.

Со времен работы Людвика Зильберштейна 1914 года стало традицией использовать кольцо бикватернионов для представления группы Лоренца . Для конформной группы пространства-времени достаточно рассмотреть дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени были названы Бейтманом преобразованиями сферических волн . Особенности изучения квадратичной формы пространства-времени были включены в геометрию сферы Ли .

Комментируя сохраняющийся интерес к физической науке, А.О. Барут писал в 1985 году: «Одной из главных причин интереса к конформной группе является то, что она, возможно, является самой важной из больших групп, содержащих группу Пуанкаре ». ^[12]

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная симметрия

Ссылки

1. Джейме Ваз-младший; Ролдан да Роча-младший (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета. п. 140. ИСБН 9780191085789.
2. Цурусабуро Такасу (1941) «Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, Hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometry», 2, Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR 14282
3. Шоттенлохер, Мартин (2008). Математическое введение в конформную теорию поля (PDF) . Springer Science & Business Media. стр. 23. ISBN 978-3540686255.
4. Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387947853.
5. Бейтман, Гарри (1908). «Конформные преобразования пространства четырех измерений и их применение к геометрической оптике»  . Труды Лондонского математического общества . 7 : 70–89. doi :10.1112/plms/s2-7.1.70.
6. Бейтман, Гарри (1910). «Преобразование электродинамических уравнений»  . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. doi :10.1112/plms/s2-8.1.223.
7. Каннингем, Эбенезер (1910). «Принцип относительности в электродинамике и его расширение»  . Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. doi :10.1112/plms/s2-8.1.77.
8. Уорик, Эндрю (2003). Мастера теории: Кембридж и подъем математической физики . Чикаго: Издательство Чикагского университета . С. 416–24. ISBN 0-226-87375-7.
9. Роберт Гилмор (1994) [1974] Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , стр. 349, Robert E. Krieger Publishing ISBN 0-89464-759-8 MR 1275599 
10. Борис Косяков (2007) Введение в классическую теорию частиц и полей, стр. 216, Springer books через Google Books
11. Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR 520230 
12. AO Barut & H.-D. Doebner (1985) Конформные группы и связанные с ними симметрии: физические результаты и математическое обоснование , Lecture Notes in Physics #261 Springer books , см. предисловие для цитаты

Дальнейшее чтение

• Кобаяши, С. (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Классика математики. Springer. ISBN 3-540-58659-8. OCLC  31374337.
• Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
• Питер Шерк (1960) «Некоторые концепции конформной геометрии», American Mathematical Monthly 67(1): 1−30 doi :10.2307/2308920
• Мартин Шоттенлохер, Конформная группа, глава 2 Математического введения в конформную теорию поля, 2008 (pdf)
• Конформная группа в nLab