Последовательность Коши

Последовательность точек, которые постепенно приближаются друг к другу

В математике последовательность Коши — это последовательность , элементы которой становятся сколь угодно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности. ^[1] Точнее, при любом небольшом положительном расстоянии все, исключая конечное число элементов последовательности, меньше заданного расстояния друг от друга. Последовательности Коши названы в честь Огюстена-Луи Коши ; иногда их можно назвать фундаментальными последовательностями . ^[2]

Недостаточно, чтобы каждый член стал сколь угодно близким к предыдущему члену. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел:

$${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}},}$$

$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}}$$

nnndm,друг к другу ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d.}$

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (в котором известно, что все такие последовательности сходятся к пределу ) критерий сходимости зависит только от членов самой последовательности, в отличие от определения конвергенция, в которой используются как предельное значение, так и термины. Это часто используется в алгоритмах , как теоретических, так и прикладных, где можно относительно легко показать, что итерационный процесс создает последовательность Коши, состоящую из итераций, тем самым выполняя логическое условие, например завершение.

Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных равномерных пространствах существуют в виде фильтров Коши и сетей Коши .

В реальных цифрах

Последовательность

$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$

положительногочисло Nнатуральных чисел ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle m,n>N,}$

$${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,}$$

абсолютное значениекомплексных чиселбесконечно малымmn ${\displaystyle x_{m}-x_{n}}$

Для любого действительного числа r последовательность усеченных десятичных разложений r образует последовательность Коши. Например, когда эта последовательность равна (3, 3.1, 3.14, 3.141,...). Члены m и n отличаются максимум, когда m < n , и по мере роста m это становится меньше любого фиксированного положительного числа. ${\displaystyle r=\pi ,}$ ${\displaystyle 10^{1-m}}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Модуль сходимости Коши

Если это последовательность в множестве , то модуль сходимости Коши для последовательности - это функция от множества натуральных чисел к самой себе, такая, что для всех натуральных чисел и натуральных чисел ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$ ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля для последовательности Коши следует из свойства хорошего порядка натуральных чисел (пусть будет наименьшим из возможных в определении последовательности Коши, приняв за ). Существование модуля следует также из принципа счетного выбора . Регулярные последовательности Коши — это последовательности с заданным модулем сходимости Коши (обычно или ). Любая последовательность Коши с модулем сходимости Коши эквивалентна регулярной последовательности Коши; это можно доказать без использования какой-либо формы аксиомы выбора. ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не хотят использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы конструктивного анализа. Регулярные последовательности Коши использовались Бишопом (2012) и Бриджесом (1997) в учебниках конструктивной математики.

В метрическом пространстве

Поскольку определение последовательности Коши включает только метрические понятия, его легко обобщить на любое метрическое пространство X . Для этого абсолютное значение заменяется расстоянием (где d обозначает метрику ) между и ${\displaystyle \left|x_{m}-x_{n}\right|}$ ${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Формально для данного метрического пространства последовательность ${\displaystyle (X,d),}$

$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$

действительного числачисло ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$

$${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .}$$

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу, что предполагает, что последовательность должна иметь предел по X. Тем не менее, такой предел не всегда существует внутри X : свойство пространства, согласно которому каждая последовательность Коши сходится в пространстве, называется полнотой и подробно описано ниже.

Полнота

Метрическое пространство ( X , d ), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу из X , называется полным .

Примеры

Действительные числа полны в метрике, индуцированной обычным абсолютным значением, и одна из стандартных конструкций действительных чисел включает в себя последовательности Коши рациональных чисел . В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста, то есть каждый класс последовательностей, сколь угодно близких друг к другу, является действительным числом.

Совершенно другой тип примера представляет собой метрическое пространство X , имеющее дискретную метрику (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к конечному повторяющемуся члену.

Непример: рациональные числа

Рациональные числа не являются полными (для обычного расстояния): существуют последовательности рациональных чисел, которые сходятся (в ) к иррациональным числам ; это последовательности Коши, не имеющие предела. Фактически , если действительное число x иррационально, то последовательность ( x _n ), n -й член которой является усечением до n десятичных знаков десятичного разложения x , дает последовательность Коши рациональных чисел с иррациональным пределом x . Иррациональные числа, безусловно, существуют, например: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• Последовательность, определяемая, состоит из рациональных чисел (1, 3/2, 17/12,...), что ясно из определения; однако он сходится к иррациональному квадратному корню из 2 , см. вавилонский метод вычисления квадратного корня . ${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$
• Последовательность отношений последовательных чисел Фибоначчи , которая, если она вообще сходится, сходится к пределу, удовлетворяющему условиям , и ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако если рассматривать это как последовательность действительных чисел, то она сходится к действительному числу — золотому сечению , которое иррационально. ${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$
• Значения экспоненты, синуса и косинуса, exp( x ), sin( x ), cos( x ), как известно, иррациональны для любого рационального значения, но каждая из них может быть определена как предел рациональной последовательности Коши, используя, например, ряд Маклорена . ${\displaystyle x\neq 0,}$

Непример: открытый интервал

Открытый интервал в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в не является полным пространством: в нем существует последовательность , которая является Коши (при сколь угодно малом расстоянии ограничивает все члены соответствия в интервале), однако не сходится в — его «предел», номер 0, не принадлежит пространству ${\displaystyle X=(0,2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n>1/d}$ ${\displaystyle (0,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Другие объекты недвижимости

• Каждая сходящаяся последовательность (скажем, с пределом s ) является последовательностью Коши, поскольку для любого действительного числа за пределами некоторой фиксированной точки каждый член последовательности находится на расстоянии s , поэтому любые два члена последовательности находятся на расстоянии друг от друга. . ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \varepsilon /2}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши ограничена (поскольку для некоторого N все члены последовательности, начиная с N -го и далее, находятся на расстоянии 1 друг от друга, и если M - наибольшее расстояние между и любые члены до N -th, то ни один член последовательности не имеет расстояния больше, чем от ). ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle M+1}$ ${\displaystyle x_{N}}$
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши, имеющая сходящуюся подпоследовательность с пределом s , сама является сходящейся (с тем же пределом), поскольку для любого действительного числа r > 0, за пределами некоторой фиксированной точки в исходной последовательности, каждый член подпоследовательности находится на расстоянии r /2 от s , а любые два члена исходной последовательности находятся на расстоянии r /2 друг от друга, поэтому каждый член исходной последовательности находится на расстоянии r от s .

Эти последние два свойства вместе с теоремой Больцано-Вейерштрасса дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано-Вейерштрасса, так и с теоремой Гейне-Бореля . Любая последовательность Коши действительных чисел ограничена, следовательно, по Больцано-Вейерштрассу, имеет сходящуюся подпоследовательность и, следовательно, сама сходится. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиому наименьшей верхней границы . Альтернативный подход, упомянутый выше, заключающийся в построении действительных чисел как пополнения рациональных чисел, делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одной из стандартных иллюстраций преимуществ возможности работать с последовательностями Коши и использования полноты является рассмотрение суммирования бесконечного ряда действительных чисел (или, в более общем смысле, элементов любого полного нормированного линейного пространства ). или банахово пространство ). Такой ряд считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходится последовательность частичных сумм , причем определить, является ли последовательность частичных сумм Коши или нет, является обычным делом, поскольку для натуральных чисел ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle (s_{m})}$ ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$ ${\displaystyle p>q,}$

$${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

Если — равномерно непрерывное отображение между метрическими пространствами M и N и ( x _n ) — последовательность Коши в M , то — последовательность Коши в N. Если и — две последовательности Коши рациональных, действительных или комплексных чисел, то сумма и произведение также являются последовательностями Коши. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

Обобщения

В топологических векторных пространствах

Существует также концепция последовательности Коши для топологического векторного пространства : выберите локальную базу примерно для 0; тогда ( ) является последовательностью Коши, если для каждого члена существует такое число, что всякий раз, когда является элементом Если топология совместима с трансляционно-инвариантной метрикой, два определения согласуются. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V\in B,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$

В топологических группах

Поскольку определение последовательности Коши в топологическом векторном пространстве требует только того, чтобы существовала непрерывная операция «вычитания», ее с тем же успехом можно сформулировать в контексте топологической группы : Последовательность в топологической группе является последовательностью Коши, если для каждого открытого окрестности тождества в существует некоторое число такое, что всякий раз, когда следует , что Как и выше, достаточно проверить это для окрестностей в любой локальной базе тождества в ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle G.}$

Как и при построении пополнения метрического пространства , можно, кроме того, определить в нем бинарное отношение к последовательностям Коши, которые эквивалентны , если для каждой открытой окрестности единицы существует такое число , что всякий раз, когда из этого следует, что это отношение является Отношение эквивалентности : оно рефлексивно, поскольку последовательности являются последовательностями Коши. Он симметричен, поскольку в силу непрерывности обратного является еще одной открытой окрестностью единицы. Это транзитивно , поскольку где и являются открытыми окрестностями единицы, такими что ; такие пары существуют в силу непрерывности групповой операции. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$ ${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U''}$ ${\displaystyle U'U''\subseteq U}$

В группах

Существует также понятие последовательности Коши в группе : Пусть – убывающая последовательность нормальных подгрупп конечного индекса . Тогда последовательность в называется Коши (относительно ), если и только если для любого существует такое, что для всех ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H=(H_{r})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

Технически это то же самое, что топологическая группа, последовательность Коши для конкретного выбора топологии именно той, для которой является локальной базой. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$

Множество таких последовательностей Коши образует группу (для покомпонентного произведения), а множество нулевых последовательностей (последовательностей таких , что ) является нормальной подгруппой Фактор -группы называется пополнением по отношению к ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle C/C_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$

Затем можно показать, что это пополнение изоморфно обратному пределу последовательности ${\displaystyle (G/H_{r}).}$

Примером этой конструкции, знакомой в теории чисел и алгебраической геометрии , является конструкция -адического пополнения целых чисел относительно простого числа . В этом случае являются ли целые числа сложенными, и является ли аддитивная подгруппа, состоящая из целых кратных чисел ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle p_{r}.}$

Если - конфинальная последовательность (т. е. любая нормальная подгруппа конечного индекса содержит некоторое ), то это пополнение каноническое в том смысле, что оно изоморфно обратному пределу где меняется по всем нормальным подгруппам конечного индекса . Подробнее см. гл. I.10 в «Алгебре» Ланга . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle (G/H)_{H},}$ ${\displaystyle H}$

В гиперреальном континууме

Вещественная последовательность имеет естественное гипервещественное расширение, определенное для сверхъестественных значений H индекса n в дополнение к обычному натуральному n . Последовательность является Коши тогда и только тогда, когда для любых бесконечных H и K значения и бесконечно близки или эквивалентны , то есть ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$ ${\displaystyle u_{H}}$ ${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

где «st» — стандартная функция детали .

Дополнение категорий по Коши

Краузе (2020) ввел понятие пополнения категории по Коши . Применительно к (категории, объекты которой являются рациональными числами и существует морфизм от x к y тогда и только тогда, когда ) это пополнение Коши дает (опять интерпретируется как категория, использующая ее естественный порядок). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$

Смотрите также

• Режимы конвергенции (аннотированный указатель)  – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции.
• Дедекиндов разрез  - Метод построения действительных чисел.

Рекомендации

1. Ланг 1992.
2. Эббингауз, Хайнц-Дитер (1991). Числа . Нью-Йорк: Спрингер. п. 40.

дальнейшее чтение

• Епископ, Эрретт Альберт (2012). Основы конструктивного анализа . Иши Пресс. ISBN 9784871877145.

• Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра (под ред. английского перевода). Аддисон-Уэсли / Германн. ISBN 0-201-00644-8.

• Бриджес, Дуглас Сазерленд (1997). Основы конструктивного анализа . Спрингер. ISBN 978-0-387-98239-7.

• Краузе, Хеннинг (2020). «Завершение совершенных комплексов: с приложениями Тобиаса Бартеля и Бернхарда Келлера». Mathematische Zeitschrift . 296 (3–4): 1387–1427. arXiv : 1805.10751 . дои : 10.1007/s00209-020-02490-z .

• Ланг, Серж (1992). Алгебра (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison Wesley. ISBN 978-0-201-55540-0. Збл  0848.13001.

• Спивак, Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-89-6. Архивировано из оригинала 17 мая 2007 г. Проверено 26 мая 2007 г.

• Троэльстра, AS ; Ван Дален, Д. Конструктивизм в математике: введение .(для использования в конструктивной математике)

Внешние ссылки

• «Последовательность Коши», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]