Разнообразие чау-чау

В математике , в частности в области алгебраической геометрии , многообразие Чжоу — это алгебраическое многообразие , точки которого соответствуют эффективным алгебраическим циклам фиксированной размерности и степени на заданном проективном пространстве . Точнее, многообразие Чжоу ^[1] — это тонкое многообразие модулей, параметризующее все эффективные алгебраические циклы размерности и степени в . ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Многообразие Чжоу может быть построено посредством вложения Чжоу в достаточно большое проективное пространство. Это прямое обобщение построения многообразия Грассмана посредством вложения Плюккера , поскольку грассманианцы являются случаем многообразий Чжоу. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle d=1}$

Многообразия Чжоу отличаются от групп Чжоу , которые являются абелевой группой всех алгебраических циклов на многообразии (не обязательно проективном пространстве) с точностью до рациональной эквивалентности. Оба названы в честь Вэй-Ляна Чжоу (周煒良), пионера в изучении алгебраических циклов.

Справочная информация об алгебраических циклах

Если X — замкнутое подмногообразие размерности , то степень X — это число точек пересечения между X и общим ^[2] -мерным проективным подпространством . [ ^3] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Степень постоянна в семействах ^[4] подмногообразий, за исключением некоторых вырожденных пределов. Чтобы увидеть это, рассмотрим следующее семейство, параметризованное t.

${\displaystyle X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$.

Всякий раз , когда , является коникой (неприводимым подмногообразием степени 2), но вырождается в линию (имеющую степень 1). Существует несколько подходов к решению этой проблемы, но самый простой — объявить ее линией кратности 2 (и, в более общем случае, присвоить кратности подмногообразиям), используя язык алгебраических циклов . ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

-мерный алгебраический цикл — это конечная формальная линейная комбинация ${\displaystyle (k-1)}$

${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$.

в котором s являются -мерными неприводимыми замкнутыми подмногообразиями в , а s являются целыми числами. Алгебраический цикл эффективен , если каждый . Степень алгебраического цикла определяется как ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\geq 0}$

${\displaystyle \deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})}$.

Однородный многочлен или однородный идеал от n-многих переменных определяет эффективный алгебраический цикл в , в котором кратность каждого неприводимого компонента равна порядку исчезновения в этом компоненте. В семействе алгебраических циклов, определяемом , цикл равен 2, умноженному на линию , которая имеет степень 2. В более общем случае степень алгебраического цикла постоянна в семействах, и поэтому имеет смысл рассмотреть проблему модулей эффективных алгебраических циклов фиксированной размерности и степени. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{2}-tyz}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Примеры разновидностей чау-чау

Существует три особых класса разновидностей чау-чау с особенно простым строением.

Степень 1: Подпространства

Эффективный алгебраический цикл в размерности k-1 и степени 1 — это проективизация k-мерного подпространства n-мерного аффинного пространства. Это дает изоморфизм грассманову многообразию : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,1,n)\simeq \operatorname {Gr} (k,n)}$

Последнее пространство имеет особую систему однородных координат , заданную координатами Плюккера .

Измерение 0: Очки

Эффективный алгебраический цикл в размерности 0 и степени d — это (неупорядоченный) d-кортеж точек в , возможно, с повторениями. Это дает изоморфизм симметричной степени : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (1,d,n)\simeq \operatorname {Sym} _{d}\mathbb {P} ^{n-1}}$.

Коразмерность 1: Делители

Эффективный алгебраический цикл в коразмерности 1 ^[5] и степени d может быть определен путем обращения в нуль одного многочлена степени d от n-многих переменных, и этот многочлен является единственным с точностью до масштабирования. Обозначая векторное пространство многочленов степени d от n-многих переменных, это дает изоморфизм проективному пространству : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle V_{d,n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-1,d,n)\simeq \mathbb {P} V_{d,n}}$.

Обратите внимание, что последнее пространство имеет выделенную систему однородных координат , которые сопоставляют многочлену коэффициент фиксированного одночлена.

Нетривиальный пример

Разнообразие Чжоу параметризует циклы размерности 1, степени 2 в . Это разнообразие Чжоу имеет две неприводимые компоненты. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

• Модули коник, содержащихся в проективной плоскости (и их вырождения).
• Модули пар линий.

Эти два 8-мерных компонента пересекаются по модулям копланарных пар прямых, что является особым локусом в . Это показывает, что, в отличие от особых случаев выше, многообразия Чжоу не обязательно должны быть гладкими или неприводимыми. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$

Вложение Чоу

Пусть X — неприводимое подмногообразие в размерности k-1 и степени d. По определению степени большинство -мерных проективных подпространств пересекают X в d-множестве точек. Напротив, большинство -мерных проективных подпространств вообще не пересекаются в точке X. Это можно усилить следующим образом. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-k-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Лемма. ^[6] Множество , параметризующее подпространства , которых пересекают X нетривиально, является неприводимой гиперповерхностью степени ^[7] d. ${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Как следствие, существует форма степени d ^[8] , на которой обращается в нуль точно на , и эта форма единственна с точностью до масштабирования. Эту конструкцию можно расширить до алгебраического цикла, объявив, что . Каждому алгебраическому циклу степени d это сопоставляет форму степени d на , называемую формой Чжоу X, которая хорошо определена с точностью до масштабирования. ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$ ${\displaystyle Z(X)}$ ${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

Пусть обозначает векторное пространство форм степени d на . ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

Теорема Чжоу-ван-дер-Вардена. ^[9] Отображение , которое посылает, является замкнутым вложением многообразий. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle X\mapsto R_{X}}$

В частности, эффективный алгебраический цикл X определяется его формой Чжоу . ${\displaystyle R_{X}}$

Если базис для выбран, отправка коэффициентов в этом базисе дает систему однородных координат на многообразии Чжоу , называемую координатами Чжоу . Однако, поскольку нет единого мнения относительно «лучшего» базиса для , этот термин может быть неоднозначным. ${\displaystyle V_{k,d,n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{k,d,n}}$

С основополагающей точки зрения, приведенная выше теорема обычно используется в качестве определения . То есть многообразие Чжоу обычно определяется как подмногообразие , и только затем показывается, что оно является прекрасным пространством модулей для рассматриваемой проблемы модулей. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$

Связь со схемой Гильберта

Более сложным решением проблемы «правильного» подсчета степени вырожденного подмногообразия является работа с подсхемами , а не с подмногообразиями. Схемы могут отслеживать бесконечно малую информацию, которую не могут отслеживать многообразия и алгебраические циклы. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

Например, если две точки в многообразии сближаются в алгебраическом семействе, то предельное подмногообразие является единственной точкой, предельный алгебраический цикл является точкой с кратностью 2, а предельная подсхема является «жирной точкой», которая содержит направление касательной, вдоль которой столкнулись две точки.

Схема Гильберта — это тонкая схема модулей замкнутых подсхем размерности k-1 и степени d внутри . ^[10] Каждая замкнутая подсхема определяет эффективный алгебраический цикл, а индуцированное отображение ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$.

называется отображением циклов или морфизмом Гильберта-Чжоу . Это отображение в общем случае является изоморфизмом над точками в , соответствующими неприводимым подмногообразиям степени d, но слои над непростыми алгебраическими циклами могут быть более интересными. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$

Коэффициент потребления пищи

Фактор Чжоу параметризует замыкания общих орбит. Он строится как замкнутое подмногообразие многообразия Чжоу.

Теорема Капранова утверждает, что пространство модулей устойчивых кривых рода нуль с n отмеченными точками является отношением Чжоу грассманиана по стандартному максимальному тору. ${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$

Смотрите также

• сорт Пикард
• Коэффициент ЖКТ

Ссылки

1. Обозначения сортов чау-чау не являются стандартными в разных источниках.
2. Здесь и далее мы предполагаем, что базовое поле алгебраически замкнуто и имеет характеристику 0, поэтому мы можем определить «родовое» как любое явление, характеризующееся открытым условием Зарисского. Степень может быть определена в большей общности, но подсчет родовых пересечений, возможно, является наиболее интуитивным.
3. Обратите внимание, что степень не является неотъемлемой частью X как многообразия, а скорее свойством его вложения в . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$
4. Предполагается, что все семейства являются плоскими .
5. Алгебраический цикл коразмерности 1 также называется делителем Вейля .
6. [GKZ94, Глава 3, Предложение 2.2]
7. «Степень» была определена в этой статье только для подмногообразий проективного пространства. Однако координаты Плюккера допускают аналогичное определение степени для подмногообразий грассманианов.
8. Форма степени d в этом контексте означает однородную координату степени d. Для грассманиана это может быть задано полиномом степени d в координатах Плюккера и хорошо определено с точностью до соотношений Плюккера.
9. см. [GKZ94, Глава 4, Теорема 1.1]
10. Существует значительное различие в том, как используется термин «схема Гильберта». Некоторые авторы не подразделяют по размерности или степени, другие предполагают размерность 0 (т. е. схема Гильберта точек), а третьи рассматривают более общие схемы, чем . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

• Чоу, В.-Л. ; ван дер Варден, БЛ (1937), «Zur алгебраическая геометрия IX.», Mathematische Annalen , 113 : 692–704, doi : 10.1007/BF01571660, S2CID  125073468
• Гельфанд, Израиль М .; Капранов Михаил Михайлович ; Зелевинский, И. Андрей В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные детерминанты . Биркхойзер , Бостон, Массачусетс. ISBN 978-0-8176-4771-1.
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, том I (книга II) . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5. МР  0028055.
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрики и многообразия Грассмана . Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46901-2. МР  0048065.
• Михаил Капранов, Частные Чоу грассманиана, Сборник семинаров И. М. Гельфанда, 29–110, Adv. Soviet Math., 16, Часть 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag
• Коллар, Янош , «Глава 1», Книга о модулях поверхностей
• Куликов, Вал.С. (2001) [1994], "Разновидность чоу", Энциклопедия математики , EMS Press
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.