Грассманиан

Математическое пространство

В математике грассманиан (названный в честь Германа Грассмана ) — это дифференцируемое многообразие , которое параметризует множество всех -мерных линейных подпространств -мерного векторного пространства над полем . Например, грассманиан — это пространство прямых, проходящих через начало координат в , поэтому оно совпадает с проективным пространством на одну размерность ниже . ^{[1] [2]} Когда — действительное или комплексное векторное пространство, грассманиан — это компактные гладкие многообразия размерности . ^[3] В общем случае они имеют структуру неособого проективного алгебраического многообразия . ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{1}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k(n-k)}$

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиусу Плюккеру , который изучал множество проективных прямых в действительном проективном 3-пространстве, что эквивалентно , параметризуя их тем, что сейчас называется координатами Плюккера . (См. § Координаты Плюккера и соотношения Плюккера ниже.) Позднее Герман Грассман ввел эту концепцию в общем виде. ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R} ^{4})}$

Обозначения для грассманианов различаются у разных авторов и включают , , , для обозначения грассманиана -мерных подпространств -мерного векторного пространства . ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

Мотивация

Придавая набору подпространств векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространств или открытых и замкнутых наборах подпространств. Придавая им далее структуру дифференцируемого многообразия , можно говорить о гладких выборах подпространства.

Естественный пример — касательные расслоения гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство . Предположим, что у нас есть многообразие размерности, вложенное в . В каждой точке касательное пространство к можно рассматривать как подпространство касательного пространства , которое также является просто . Отображение, назначающее его касательному пространству, определяет отображение из M в . (Чтобы сделать это, мы должны перенести касательное пространство в каждом так, чтобы оно проходило через начало координат, а не , и, следовательно, определяет -мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на отображение Гаусса для поверхностей в 3-мерном пространстве.) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$

Это можно с некоторыми усилиями распространить на все векторные расслоения над многообразием , так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из в соответствующим образом обобщенный грассманиан — хотя для этого необходимо доказать различные теоремы вложения . Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих отображений. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопные отображения в грассманиан, изоморфны . Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Низкие габариты

При k = 1 грассманиан Gr (1, n ) представляет собой пространство прямых, проходящих через начало координат в n -пространстве, поэтому оно совпадает с проективным пространством n − 1 измерений. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$

При k = 2 грассманиан — это пространство всех 2-мерных плоскостей, содержащих начало координат. В евклидовом 3-мерном пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется одной и единственной прямой, проходящей через начало координат, которая перпендикулярна этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства Gr (2, 3) , Gr (1, 3) и P ² ( проективная плоскость ) могут быть отождествлены друг с другом.

Простейшим грассманианом, не являющимся проективным пространством, является Gr (2, 4) .

Грассманиан как дифференцируемое многообразие

Чтобы наделить структурой дифференцируемое многообразие, выберем базис для . Это эквивалентно отождествлению с , со стандартным базисом, обозначенным , рассматриваемым как векторы-столбцы. Тогда для любого -мерного подпространства , рассматриваемого как элемент , мы можем выбрать базис, состоящий из линейно независимых векторов-столбцов . Однородные координаты элемента состоят из элементов прямоугольной матрицы максимального ранга , -й вектор-столбец которой равен , . Поскольку выбор базиса произволен, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга и представляют один и тот же элемент тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{k})}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle {\tilde {W}}=Wg}$

для некоторого элемента общей линейной группы обратимых матриц с элементами в . Это определяет отношение эквивалентности между матрицами ранга , для которых классы эквивалентности обозначаются . ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [W]}$

Теперь определим координатный атлас. Для любой однородной координатной матрицы мы можем применить элементарные операции над столбцами (что равносильно умножению на последовательность элементов ), чтобы получить ее сокращенную форму эшелона столбцов . Если первые строки линейно независимы, результат будет иметь вид ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}}$

и аффинная координатная матрица с записями определяет . В общем случае первые строки не обязательно должны быть независимыми, но поскольку имеет максимальный ранг , существует упорядоченный набор целых чисел, такой что подматрица , строки которой являются -ыми строками, является невырожденной . Мы можем применить операции со столбцами, чтобы свести эту подматрицу к единичной матрице , а оставшиеся записи однозначно определяют . Следовательно, мы имеем следующее определение: ${\displaystyle (n-k)\times k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a_{ij})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$

Для каждого упорядоченного набора целых чисел пусть будет набором элементов , для которого при любом выборе однородной координатной матрицы подматрица , -я строка которой является -й строкой , является невырожденной. Аффинные координатные функции на тогда определяются как элементы матрицы , строки которой являются строками матрицы, дополнительной к , записанными в том же порядке. Выбор однородной координатной матрицы при представлении элемента не влияет на значения аффинной координатной матрицы, представляющей w в координатной окрестности . Более того, координатные матрицы могут принимать произвольные значения, и они определяют диффеоморфизм из в пространство -значных матриц. Обозначим через ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle (n-k)\times k}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [W]}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (n-k)\times k}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1}}$

однородная координатная матрица, имеющая единичную матрицу в качестве подматрицы со строками и аффинную координатную матрицу в последовательных дополнительных строках. При перекрытии между любыми двумя такими координатными окрестностями значения аффинной координатной матрицы и связаны соотношениями перехода ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},}$

где и обратимы. Это может быть эквивалентно записано как ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle W_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},}$

где — обратимая матрица, чья строка — это строка . Поэтому функции перехода рациональны в матричных элементах , и дают атлас для как дифференцируемого многообразия, а также как алгебраического многообразия. ${\displaystyle {\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle j_{l}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle \{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

Грассманиан как набор ортогональных проекций

Альтернативный способ определения действительного или комплексного грассманиана как многообразия — рассматривать его как набор ортогональных проекционных операторов (Milnor & Stasheff (1974) проблема 5-C). Для этого выберите положительно определенное действительное или эрмитово скалярное произведение на , в зависимости от того, является ли оно действительным или комплексным. -мерное подпространство определяет уникальный ортогональный проекционный оператор , изображение которого разбивается на ортогональную прямую сумму ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P_{w}:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=w\oplus w^{\perp }}$

и его ортогональное дополнение и определение ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{\perp }}$

${\displaystyle P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\perp }.\end{cases}}}$

Наоборот, каждый оператор проекции ранга определяет подпространство как свой образ. Поскольку ранг ортогонального оператора проекции равен его следу , мы можем отождествить многообразие Грассмана с множеством операторов ортогональной проекции ранга : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{P}:=\mathrm {Im} (P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}.}$

В частности, взяв или это дает совершенно явные уравнения для вложения грассманианов , в пространство действительных или комплексных матриц , , соответственно. ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n\times n}}$

Поскольку это определяет грассманиан как замкнутое подмножество сферы, это один из способов увидеть, что грассманиан является компактным хаусдорфовым пространством. Эта конструкция также превращает грассманиан в метрическое пространство с метрикой ${\displaystyle \{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,}$

для любой пары -мерных подпространств, где ‖ ⋅ ‖ обозначает норму оператора . Точное используемое скалярное произведение не имеет значения, поскольку другое скалярное произведение даст эквивалентную норму на , и, следовательно, эквивалентную метрику. ${\displaystyle w,w'\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

Для случая действительных или комплексных грассманианов ниже приведен эквивалентный способ выражения вышеприведенной конструкции в терминах матриц.

ГрассманианыГр(к,Рн) иГр(к,Сн) как аффинные алгебраические многообразия

Обозначим пространство действительных матриц и подмножество матриц, удовлетворяющих трем условиям: ${\displaystyle M(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {R} )}$

• ${\displaystyle P}$является оператором проекции : . ${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$симметрично : .​ ${\displaystyle P^{T}=P}$
• ${\displaystyle P}$имеет след . ${\displaystyle \operatorname {tr} (P)=k}$

Существует биективное соответствие между и грассманианом -мерных подпространств заданного путем отправки в -мерное подпространство , натянутое на его столбцы, и, наоборот, отправкой любого элемента в матрицу проекции ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P\in P(k,n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T},}$

где — любой ортонормированный базис для , рассматриваемый как действительные компонентные векторы-столбцы. ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Аналогичная конструкция применяется к комплексному грассманиану , отождествляя его биективно с подмножеством комплексных матриц, удовлетворяющих ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle P}$является оператором проекции : . ${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$является самосопряженным (эрмитовым): . ${\displaystyle P^{\dagger }=P}$
• ${\displaystyle P}$имеет след , ${\displaystyle {\rm {{tr}(P)=k}}}$

где самосопряженность относится к эрмитову внутреннему произведению , в котором стандартные базисные векторы ортогональны. Формула для ортогональной проекционной матрицы на комплексное -мерное подпространство, охватываемое ортонормированными (унитарными) базисными векторами , имеет вид ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle P_{w}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.}$

Грассманиан как однородное пространство

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру — выразить его как однородное пространство . Во-первых, напомним, что общая линейная группа действует транзитивно на -мерных подпространствах . Поэтому, если мы выберем подпространство размерности , любой элемент можно выразить как ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w_{0}\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle w=g(w_{0})}$

для некоторого элемента группы , где определяется только с точностью до правого умножения на элементы стабилизатора : ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{h\in H\}}$ ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\}\subset \mathrm {GL} (V)}$

под действием. ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Поэтому мы можем отождествить себя с фактор-пространством ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H}$

левых смежных классов . ${\displaystyle H}$

Если базовое поле есть или и рассматривается как группа Ли , эта конструкция делает грассманиан гладким многообразием относительно фактор-структуры. В более общем случае, над основным полем группа является алгебраической группой , и эта конструкция показывает, что грассманиан является неособым алгебраическим многообразием . Из существования вложения Плюккера следует , что грассманиан является полным как алгебраическое многообразие. В частности, является параболической подгруппой . ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Над или также становится возможным использовать меньшие группы в этой конструкции. Чтобы сделать это над , зафиксируем евклидово скалярное произведение на . Действительная ортогональная группа действует транзитивно на множестве -мерных подпространств , а стабилизатор -пространства есть ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle O(V,q)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{0}\subset V}$

${\displaystyle O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})}$,

где — ортогональное дополнение в . Это дает идентификацию как однородного пространства ${\displaystyle w_{0}^{\perp }}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{w^{\perp }})\right)}$.

Если мы возьмем и (первые компоненты), то получим изоморфизм ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right).}$

Над C , если мы выберем эрмитово скалярное произведение , унитарная группа действует транзитивно, и мы аналогично находим ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U(V,h)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^{\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right),}$

или, для и , ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right).}$

В частности, это показывает, что грассманиан компактен и имеет (действительную или комплексную) размерность k ( n − k ) .

Грассманиан как схема

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему , выразив его как представимый функтор . ^[4]

Представимый функтор

Пусть будет квазикогерентным пучком на схеме . Зафиксируем положительное целое число . Тогда каждой -схеме , грассманов функтор сопоставляет множество фактормодулей ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}}$

локально свободный от ранга на . Обозначим это множество через . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})}$

Этот функтор представим с помощью отделенной -схемы . Последняя проективна , если конечно порождена. Когда - спектр поля , то пучок задается векторным пространством и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие сопряженного пространства , а именно: . По построению грассманова схема совместима с базовыми заменами: для любой -схемы мы имеем канонический изоморфизм ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})}$

В частности, для любой точки канонический морфизм индуцирует изоморфизм из слоя в обычный грассманиан над полем вычетов . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{s\}={\text{Spec}}K(s)\rightarrow S}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))}$ ${\displaystyle K(s)}$

Универсальная семья

Поскольку грассмановская схема представляет собой функтор, она поставляется с универсальным объектом, , который является объектом и, следовательно, фактор-модулем , локально свободным от ранга над . Фактор- гомоморфизм индуцирует замкнутое погружение из проективного расслоения: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).}$

Для любого морфизма S -схем:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),}$

это закрытое погружение вызывает закрытое погружение

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Наоборот, любое такое замкнутое погружение происходит из сюръективного гомоморфизма -модулей из в локально свободный модуль ранга . ^[5] Следовательно, элементы из являются в точности проективными подрасслоениями ранга в ${\displaystyle O_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

При таком отождествлении, когда есть спектр поля и задается векторным пространством , множество рациональных точек соответствует проективным линейным подпространствам размерности в , а образ в ${\displaystyle T=S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)}$

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

это набор

${\displaystyle \left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\in v\right\}.}$

Вложение Плюккера

Вложение Плюккера [ ^6] является естественным вложением грассманиана в проективизацию -й внешней степени . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle V}$

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).$

Предположим, что является -мерным подпространством -мерного векторного пространства . Чтобы определить , выберем базис для , и пусть будет проективизацией клинового произведения этих базисных элементов: где обозначает класс проективной эквивалентности. ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ $${\displaystyle \iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],}$$ ${\displaystyle [\,\cdot \,]}$

Другой базис для даст другой продукт клина, но они будут отличаться только ненулевым скалярным множителем ( определителем изменения матрицы базиса ). Поскольку правая часть принимает значения в проективизированном пространстве, хорошо определена. Чтобы увидеть, что это вложение, обратите внимание, что можно восстановить из как охват множества всех векторов, таких что ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle v\wedge \iota (w)=0}$.

Координаты Плюккера и соотношения Плюккера

Вложение Плюккера грассманиана удовлетворяет набору простых квадратичных соотношений, называемых соотношениями Плюккера . Они показывают, что грассманиан вкладывается как невырожденное проективное алгебраическое подмногообразие проективизации -й внешней степени и дают другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюккера, зафиксируем базис для , и пусть будет -мерным подпространством с базисом . Пусть будут компонентами относительно выбранного базиса , а -компонентные векторы-столбцы образуют транспонированную соответствующую однородную координатную матрицу: ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle (w_{i1},\cdots ,w_{in})}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (W^{1},\dots ,W^{n})}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},}$

Для любой упорядоченной последовательности положительных целых чисел пусть будет определителем матрицы со столбцами . Элементы называются координатами Плюккера элемента грассманиана (относительно базиса ) . Это линейные координаты образа под отображением Плюккера относительно базиса внешнего степенного пространства, порожденного базисом . Поскольку изменение базиса для приводит к умножению координат Плюккера на ненулевую константу (определитель матрицы изменения базиса), они определены только с точностью до проективной эквивалентности и, следовательно, определяют точку в . ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle [W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]}$ ${\displaystyle \{w_{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Для любых двух упорядоченных последовательностей и положительных целых чисел, соответственно , справедливы следующие однородные квадратные уравнения, известные как соотношения Плюккера или соотношения Плюккера-Грассмана , которые определяют образ при вложении отображения Плюккера: ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{l}}},\dots j_{k+1}}=0,}$

где обозначает последовательность с опущенным членом . Они согласованы, определяя невырожденное проективное алгебраическое многообразие , но они не являются алгебраически независимыми. Они эквивалентны утверждению, что является проективизацией полностью разложимого элемента . ${\displaystyle j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{l}}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

Когда , и (простейший грассманиан, который не является проективным пространством), вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая однородные координаты изображения под отображением Плюккера как , это единственное соотношение Плюккера имеет вид ${\displaystyle \dim(V)=4}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)}$ ${\displaystyle (w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})}$

${\displaystyle w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.}$

В общем случае для определения образа грассманиана в рамках вложения Плюккера требуется гораздо больше уравнений . ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Двойственность

Каждое -мерное подпространство определяет -мерное факторпространство . Это дает естественную короткую точную последовательность : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0.}$

Взяв двойственное к каждому из этих трех пространств и двойственные линейные преобразования, получаем включение в с фактором ${\displaystyle (V/W)^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W^{*}}$

${\displaystyle 0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.}$

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным дуальным показывает, что повторное взятие дуального восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно-однозначное соответствие между -мерными подпространствами и -мерными подпространствами . В терминах грассманиана это дает канонический изоморфизм ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)\leftrightarrow \mathbf {Gr} {(n-k},V^{*})}$

который сопоставляет каждому подпространству его аннулятор . Выбор изоморфизма с , таким образом, определяет (неканонический) изоморфизм между и . Изоморфизм с эквивалентен выбору скалярного произведения, поэтому относительно выбранного скалярного произведения этот изоморфизм грассманианов переводит любое -мерное подпространство в его }-мерное ортогональное дополнение . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle W^{0}\subset V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n-k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$

клетки Шуберта

Детальное изучение грассманианов использует разложение на аффинные подпространства , называемые ячейками Шуберта , которые впервые были применены в исчислительной геометрии . Ячейки Шуберта для определяются в терминах заданного полного флага подпространств размерности . Для любого целочисленного разбиения ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle \mathrm {dim} (V_{i})=i}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})}$

веса

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

состоящий из слабо убывающих неотрицательных целых чисел

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,}$

диаграмма Юнга которой вписывается в прямоугольную , ячейка Шуберта состоит из тех элементов , пересечения которых с подпространствами имеют следующие размеры ${\displaystyle (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}})=j\}.}$

Это аффинные пространства, а их замыкания (в топологии Зарисского ) известны как многообразия Шуберта .

В качестве примера техники рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики грассманиана k -мерных подпространств R ⁿ . Зафиксируем -мерное подпространство и рассмотрим разбиение на те k -мерные подпространства R ^{n ,} которые содержат R , и те, которые не содержат. Первое есть , а второе есть ранговое векторное расслоение над . Это дает рекурсивные формулы: ${\displaystyle \chi _{k,n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})}$

${\displaystyle \chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

Решение этих рекурсивных соотношений дает формулу: если четно и нечетно и ${\displaystyle \chi _{k,n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor \end{pmatrix}}}$

в противном случае.

Кольцо когомологий комплексного грассманиана

Каждая точка в комплексном многообразии Грассмана определяет -плоскость в -пространстве. Расслоение этих плоскостей над грассмановой плоскостью приводит к векторному расслоению , которое обобщает тавтологическое расслоение проективного пространства . Аналогично -мерные ортогональные дополнения этих плоскостей дают ортогональное векторное расслоение . Интегральные когомологии грассманианов порождаются, как кольцо , классами Черна . В частности, все интегральные когомологии имеют четную степень, как и в случае проективного пространства. ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$

Эти генераторы подчиняются набору отношений, который определяет кольцо. Определяющие отношения легко выразить для большего набора генераторов, который состоит из классов Черна и . Тогда отношения просто утверждают, что прямая сумма расслоений и тривиальна. Функториальность полных классов Черна позволяет записать это отношение как ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

Квантовое когомологическое кольцо было вычислено Эдвардом Виттеном . ^[7] Генераторы идентичны генераторам классического когомологического кольца, но верхнее соотношение изменено на

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-k}}$

отражая существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона с фермионными нулевыми модами , который нарушает степень когомологий, соответствующих состоянию, на единицы . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$

Сопутствующая мера

Когда — -мерное евклидово пространство, мы можем определить равномерную меру на следующим образом. Пусть — единичная мера Хаара на ортогональной группе и зафиксируем . Тогда для множества , определим ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.}$

Эта мера инвариантна относительно действия группы ; то есть, ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)}$

для всех . Так как , то . Более того, является мерой Радона относительно топологии метрического пространства и является однородной в том смысле, что каждый шар того же радиуса (относительно этой метрики) имеет ту же меру. ${\displaystyle g\in O(n)}$ ${\displaystyle \theta _{n}(O(n))=1}$ ${\displaystyle \gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1}$ ${\displaystyle \gamma _{k,n}}$

Ориентированный Грассманиан

Это многообразие, состоящее из всех ориентированных -мерных подпространств . Оно является двойным покрытием и обозначается . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})}$

Как однородное пространство его можно выразить как:

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})=\operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (k)\times \operatorname {SO} (n-k)).}$

Ортогональные изотропные грассманианы

Для данной вещественной или комплексной невырожденной симметричной билинейной формы на -мерном пространстве (т.е. скалярного произведения) полностью изотропный грассманиан определяется как подмногообразие, состоящее из всех -мерных подпространств , для которых ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$

${\displaystyle Q(u,v)=0,\,\forall \,u,v\in w.}$

Максимальные изотропные грассманианы относительно действительного или комплексного скалярного произведения тесно связаны с теорией спиноров Картана . ^[8] При вложении Картана их связные компоненты эквивариантно диффеоморфны проективизированной минимальной спинорной орбите в представлении спина, так называемому проективному чистому спинорному многообразию, которое, подобно образу вложения отображения Плюккера , вырезается как пересечение ряда квадрик, квадрик Картана . ^{[8] [9] [10]}

Приложения

Ключевое применение грассманианов — это «универсальное» пространство вложения для расслоений со связностями на компактных многообразиях. ^{[11] [12]}

Другим важным приложением является исчисление Шуберта , которое является исчислительной геометрией, участвующей в вычислении числа точек, прямых, плоскостей и т. д. в проективном пространстве, пересекающих заданный набор точек, прямых и т. д., с использованием теории пересечения многообразий Шуберта . Подмногообразия ячеек Шуберта также могут быть использованы для параметризации одновременных собственных векторов полных наборов коммутирующих операторов в квантовых интегрируемых спиновых системах, таких как модель Годена , с использованием метода анзаца Бете . ^[13]

Дальнейшее применение — решение иерархий классических полностью интегрируемых систем уравнений с частными производными, таких как уравнение Кадомцева–Петвиашвили и связанная с ним иерархия КП . Они могут быть выражены в терминах потоков абелевых групп на бесконечномерном многообразии Грассмана. ^{[14] [15] [16] [17]} Уравнения КП, выраженные в билинейной форме Хироты в терминах функции тау КП, эквивалентны соотношениям Плюккера . ^{[18] [17]} Аналогичная конструкция справедлива для решений интегрируемой иерархии BКП в терминах потоков абелевых групп на бесконечномерном максимальном изотропном многообразии Грассмана. ^{[15] [16] [19]}

Конечномерные положительные многообразия Грассмана могут быть использованы для выражения солитонных решений уравнений КП, которые являются несингулярными для действительных значений параметров потока КП. ^{[20] [21] [22]}

Амплитуды рассеяния субатомных частиц в максимально суперсимметричной супертеории Янга-Миллса могут быть рассчитаны в плоском пределе с помощью положительной грассмановой конструкции, называемой амплитуэдром . ^[23]

Многообразия Грассмана также нашли применение в задачах компьютерного зрения для распознавания лиц и форм на основе видео ^[24] и используются в технике визуализации данных, известной как « большой тур» .

Смотрите также

• исчисление Шуберта
• Пример использования грассманианов в дифференциальной геометрии см. в разделе Гауссова карта.
• В проективной геометрии см. вложение Плюккера и координаты Плюккера .
• Флаговые многообразия являются обобщениями грассманианов, элементы которых, рассматриваемые геометрически, представляют собой вложенные последовательности подпространств указанных размерностей.
• Многообразия Штифеля представляют собой пучки ортонормированных фреймов над грассманианами.
• Учитывая выделенный класс подпространств, можно определить грассманианы этих подпространств, такие как изотропные грассманианы или лагранжевы грассманианы .
• Изотропный Грассманиан
• Лагранжев Грассманиан
• Грассманианы обеспечивают классифицирующие пространства в K-теории , в частности классифицирующее пространство для U( n ) . В гомотопической теории схем грассманиан играет аналогичную роль для алгебраической K-теории . ^[25]
• Аффинный Грассманиан
• Грассманов пучок
• Граф Грассмана

Примечания

1. Ли 2012, стр. 22, пример 1.36.
2. Шафаревич 2013, стр. 42, Пример 1.24.
3. Милнор и Сташефф (1974), стр. 57–59.
4. Гротендик, Александр (1971). Элементы алгебраической геометрии . Том. 1 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8., Глава I.9
5. ЭГА , II.3.6.3.
6. Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR  1288523, Zbl  0836.14001
7. Виттен, Эдвард (1993). «Алгебра Верлинде и когомологии грассманиана». arXiv : hep-th/9312104 .
8. Картан, Эли (1981) [1938]. Теория спиноров. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-64070-9. МР  0631850.
9. Harnad, J.; Shnider, S. (1992). «Изотропная геометрия и твисторы в высших измерениях. I. Обобщенное соответствие Клейна и спинорные флаги в четных измерениях». Журнал математической физики . 33 (9). Американский институт физики: 3197–3208. Bibcode : 1992JMP....33.3197H. doi : 10.1063/1.529538.
10. Harnad, J.; Shnider, S. (1995). «Изотропная геометрия и твисторы в высших измерениях. II. Нечетные измерения, условия реальности и суперпространства твисторов». Журнал математической физики . 36 (9). Американский институт физики: 1945–1970. Bibcode : 1995JMP....36.1945H. doi : 10.1063/1.531096 .
11. Нарасимхан, М. С.; Раманан, С. (1961). «Существование универсальных связей». Американский журнал математики . 83 (3): 563–572. doi : 10.2307/2372896. hdl : 10338.dmlcz/700905 . JSTOR  2372896. S2CID  123324468.
12. Нарасимхан, М.С.; Раманан, С. (1963). «Существование универсальных связей II». Американский журнал математики . 85 (2): 223–231. doi :10.2307/2373211. JSTOR  2373211.
13. Мухин, Е.; Тарасов, В.; Варченко, А. (2009). «Исчисление Шуберта и представления общей линейной группы». J. Amer. Math. Soc . 22 (4). Американское математическое общество: 909–940. arXiv : 0711.4079 . doi : 10.1090/S0894-0347-09-00640-7 .
14. М. Сато, «Уравнения солитона как динамические системы на бесконечномерных многообразиях Грассмана», Kokyuroku, RIMS, Киотский ун-т , 30–46 (1981).
15. Date, Etsuro; Jimbo, Michio; Kashiwara, Masaki; Miwa, Tetsuji (1981). "Операторный подход к уравнению Кадомцева-Петвиашвили–Группы преобразований для солитонных уравнений III–". Журнал Физического общества Японии . 50 (11). Физическое общество Японии: 3806–3812. Bibcode : 1981JPSJ...50.3806D. doi : 10.1143/jpsj.50.3806. ISSN  0031-9015.
16. Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji (1983). «Солитоны и бесконечномерные алгебры Ли». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 19 (3). Издательство Европейского математического общества: 943–1001. doi : 10.2977/prims/1195182017 . ISSN  0034-5318.
17. Harnad, J. ; Balogh, F. (2021). Тау-функции и их приложения, главы 4 и 5 . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108610902. ISBN 9781108610902. S2CID  222379146.
18. Сато, Микио (октябрь 1981 г.). «Солитонные уравнения как динамические системы на бесконечномерных грассмановых многообразиях (случайные системы и динамические системы) » . 439 : 30–46. hdl : 2433/102800.
19. Harnad, J. ; Balogh, F. (2021). Тау-функции и их приложения, Глава 7 . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108610902. ISBN 9781108610902. S2CID  222379146.
20. Чакраварти, С.; Кодама, И. (июль 2009 г.). «Солитонные решения уравнения КП и их применение к волнам на мелководье». Исследования по прикладной математике . 123 : 83–151. arXiv : 0902.4433 . doi : 10.1111/j.1467-9590.2009.00448.x. S2CID  18390193.
21. Кодама, Юджи; Уильямс, Лорен (декабрь 2014 г.). «KP-солитоны и полная положительность для грассманиана». Inventiones Mathematicae . 198 (3): 637–699. arXiv : 1106.0023 . Bibcode : 2014InMat.198..637K. doi : 10.1007/s00222-014-0506-3. S2CID  51759294.
22. Хартнетт, Кевин (16 декабря 2020 г.). «Непредвиденное путешествие математика по физическому миру». Журнал Quanta . Получено 17 декабря 2020 г.
23. Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2013). «Амплитуэдр». Журнал физики высоких энергий . 2014 (10): 30. arXiv : 1312.2007 . Бибкод : 2014JHEP...10..030A. дои : 10.1007/JHEP10(2014)030. S2CID  7717260.
24. Паван Турага, Ашок Вирарагхаван, Рама Челлаппа: Статистический анализ многообразий Штифеля и Грассмана с приложениями в компьютерном зрении , CVPR 23–28 июня 2008 г., Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2008 г., ISBN 978-1-4244-2242-5 , стр. 1–8 (аннотация, полный текст) 
25. Морель, Фабьен; Воеводский, Владимир (1999). «А1-гомотопическая теория схем» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 90 (90): 45–143. дои : 10.1007/BF02698831. ISSN  1618-1913. МР  1813224. S2CID  14420180 . Проверено 5 сентября 2008 г., см. раздел 4.3., стр. 137–140

Ссылки

• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994). Принципы алгебраической геометрии . Библиотека классических произведений Wiley (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons . стр. 211. ISBN 0-471-05059-8. MR  1288523. Zbl  0836.14001.
• Хэтчер, Аллен (2003). Векторные расслоения и K-теория (PDF) (2.0 ред.).раздел 1.2
• Милнор, Джон В.; Сташефф , Джеймс Д. (1974). Характеристические классы . Annals of Mathematics Studies. Том 76. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.см. главы 5–7
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия: Первый курс. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-97716-3.
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 218 (Второе изд.). New York London: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771.
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
• Шафаревич, Игорь Р. (2013). Основы алгебраической геометрии 1. Springer Science . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.