Мартин Дэвид Крускал ( / ˈk r ʌ s k əl / ; 28 сентября 1925 – 26 декабря 2006) [1] был американским математиком и физиком . Он внес фундаментальный вклад во многие области математики и науки, от физики плазмы до общей теории относительности и от нелинейного анализа до асимптотического анализа . Его наиболее известный вклад был в теорию солитонов . [4]
Он был студентом Чикагского университета и Нью-Йоркского университета , где он получил степень доктора философии под руководством Ричарда Куранта в 1952 году. Он провел большую часть своей карьеры в Принстонском университете , в качестве научного сотрудника в Лаборатории физики плазмы, начиная с 1951 года, а затем как профессор астрономии (1961), основатель и председатель Программы прикладной и вычислительной математики (1968) и профессор математики (1979). Он ушел из Принстонского университета в 1989 году и присоединился к математическому факультету Ратгерского университета , заняв кафедру математики Дэвида Гильберта.
Помимо серьезной математической работы, Крускал был известен математическими развлечениями. Например, он изобрел счет Краскала , магический эффект, который, как известно, сбивает с толку профессиональных фокусников, поскольку он был основан не на ловкости рук, а на математическом явлении.
Мартин Дэвид Крускал родился в еврейской семье [5] в Нью-Йорке и вырос в Нью-Рошелле . Он был известен миру как Мартин, а своей семье — как Дэвид. Его отец, Джозеф Б. Крускал-старший, был успешным оптовым торговцем мехами. Его мать, Лилиан Роуз Форхаус Крускал Оппенгеймер , стала известным пропагандистом искусства оригами в раннюю эпоху телевидения и основала Центр оригами Америки в Нью-Йорке, который позже стал OrigamiUSA. [6] Он был одним из пяти детей. Его двумя братьями, оба выдающимися математиками, были Джозеф Крускал (1928–2010; открыватель многомерного масштабирования , теоремы о дереве Крускала и алгоритма Крускала ) и Уильям Крускал (1919–2005; открыватель теста Крускала–Уоллиса ).
Жена Мартина Крускала, Лора Крускала, была лектором и писателем об оригами и создателем многих новых моделей. [7] Они были женаты 56 лет. Мартин Крускала также изобрел несколько моделей оригами, включая конверт для отправки секретных сообщений. Конверт можно было легко развернуть, но его нельзя было легко сложить снова, чтобы скрыть документ. [8] [ проверка не удалась ] Их трое детей — Карен (юрист [9] ), Керри (автор детских книг [10] ) и Клайд , компьютерный учёный.
Научные интересы Мартина Крускала охватывали широкий спектр тем в чистой математике и приложениях математики к наукам. Он всю жизнь интересовался многими темами в частных дифференциальных уравнениях и нелинейном анализе и разработал фундаментальные идеи об асимптотических разложениях , адиабатических инвариантах и многочисленных связанных темах.
Его докторская диссертация, написанная под руководством Ричарда Куранта и Бернарда Фридмана в Нью-Йоркском университете , была на тему «Теорема моста для минимальных поверхностей ». Он получил докторскую степень в 1952 году.
В 1950-х и начале 1960-х годов он в основном работал над физикой плазмы, развивая многие идеи, которые сейчас являются фундаментальными в этой области. Его теория адиабатических инвариантов сыграла важную роль в исследованиях по термоядерному синтезу. Важные концепции физики плазмы, которые носят его имя, включают неустойчивость Крускала-Шафранова и моды Бернштейна-Грина-Крускала (БГК) . Совместно с И. Б. Бернстайном, Э. А. Фриманом и Р. М. Кулсрудом он разработал принцип МГД (или магнитогидродинамический [11] ) энергии. Его интересы распространялись на плазменную астрофизику, а также на лабораторную плазму.
В 1960 году Крускал открыл полную классическую структуру пространства-времени простейшего типа черной дыры в общей теории относительности . Сферически симметричное пространство-время можно описать решением Шварцшильда , которое было открыто в ранние дни общей теории относительности. Однако в своей первоначальной форме это решение описывает только область, внешнюю по отношению к горизонту событий черной дыры. Крускал (параллельно с Джорджем Секерешем ) открыл максимальное аналитическое продолжение решения Шварцшильда, которое он элегантно продемонстрировал, используя то, что сейчас называется координатами Крускала–Секереша .
Это привело Краскала к удивительному открытию, что внутренняя часть черной дыры выглядит как « кротовая нора », соединяющая две идентичные, асимптотически плоские вселенные. Это был первый реальный пример решения червоточины в общей теории относительности. Червоточина коллапсирует в сингулярность до того, как какой-либо наблюдатель или сигнал сможет переместиться из одной вселенной в другую. Теперь считается, что это общая судьба червоточин в общей теории относительности. В 1970-х годах, когда была открыта тепловая природа физики черных дыр , свойство червоточины решения Шварцшильда оказалось важным ингредиентом. В настоящее время оно считается фундаментальной подсказкой в попытках понять квантовую гравитацию .
Наиболее широко известной работой Крускала было открытие в 1960-х годах интегрируемости некоторых нелинейных уравнений в частных производных, включающих функции одной пространственной переменной, а также времени. Эти разработки начались с пионерского компьютерного моделирования Крускала и Нормана Забуски (с некоторой помощью Гарри Дайма ) нелинейного уравнения, известного как уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ). Уравнение КдФ является асимптотической моделью распространения нелинейных дисперсионных волн. Но Крускал и Забуски сделали поразительное открытие решения «уединенной волны» уравнения КдФ, которое распространяется недисперсионно и даже восстанавливает свою форму после столкновения с другими такими волнами. Из-за корпускулярных свойств такой волны они назвали ее « солитоном », термин, который прижился почти сразу.
Эта работа была частично мотивирована парадоксом почти повторяемости , который наблюдался в очень раннем компьютерном моделировании [12] определенной нелинейной решетки Энрико Ферми , Джоном Пастой , Станиславом Уламом и Мэри Цингоу в Лос-Аламосе в 1955 году. Эти авторы наблюдали долговременное почти повторяющееся поведение одномерной цепочки ангармонических осцилляторов, в отличие от быстрой термализации, которая ожидалась. Крускал и Забуски смоделировали уравнение КдФ, которое Крускал получил как континуальный предел этой одномерной цепочки, и обнаружили солитонное поведение, которое является противоположностью термализации. Это оказалось сутью явления.
Феномен одиночных волн был загадкой 19-го века, восходящей к работе Джона Скотта Рассела , который в 1834 году наблюдал то, что мы сейчас называем солитоном, распространяющимся в канале, и преследовал его верхом на лошади. [13] Несмотря на свои наблюдения солитонов в экспериментах в волновом бассейне, Скотт Рассел никогда не признавал их таковыми из-за своего внимания к «большой волне перевода», самой большой амплитуде одиночной волны. Его экспериментальные наблюдения, представленные в его Отчете о волнах Британской ассоциации содействия развитию науки в 1844 году, были восприняты со скептицизмом Джорджем Эйри и Джорджем Стоксом, поскольку их линейные теории водных волн не могли их объяснить. Джозеф Буссинеск (1871) и лорд Рэлей (1876) опубликовали математические теории, обосновывающие наблюдения Скотта Рассела. В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Фриз сформулировали уравнение КдВ для описания волн на мелководье (таких, как волны в канале, которые наблюдал Рассел), но основные свойства этого уравнения не были поняты до работы Крускала и его коллег в 1960-х годах.
Солитонное поведение предполагает, что уравнение КдФ должно иметь законы сохранения помимо очевидных законов сохранения массы, энергии и импульса. Четвертый закон сохранения был открыт Джеральдом Уиземом , а пятый — Крускалом и Забуски. Несколько новых законов сохранения были вручную открыты Робертом Миурой , который также показал, что существует много законов сохранения для связанного уравнения, известного как модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (MKdV). [14] С помощью этих законов сохранения Миура показал связь (называемую преобразованием Миуры) между решениями уравнений КдФ и MKdV. Это была подсказка, которая позволила Крускалу вместе с Клиффордом С. Гарднером , Джоном М. Грином и Миурой (GGKM) [15] открыть общую технику для точного решения уравнения КдФ и понимания его законов сохранения. Это был метод обратного рассеяния , удивительный и элегантный метод, который демонстрирует, что уравнение КдФ допускает бесконечное число сохраняющихся величин , коммутирующих Пуассона, и является полностью интегрируемым. Это открытие дало современную основу для понимания явления солитона: уединенная волна воссоздается в исходящем состоянии, поскольку это единственный способ удовлетворить всем законам сохранения. Вскоре после GGKM Питер Лакс прославился интерпретацией метода обратного рассеяния в терминах изоспектральных деформаций и пар Лакса .
Метод обратного рассеяния имел поразительное разнообразие обобщений и приложений в различных областях математики и физики. Сам Крускал был пионером некоторых обобщений, таких как существование бесконечного числа сохраняющихся величин для уравнения синус-Гордона . Это привело к открытию метода обратного рассеяния для этого уравнения MJ Ablowitz , DJ Kaup, AC Newell и H. Segur (AKNS). [16] Уравнение синус-Гордона является релятивистским волновым уравнением в 1+1 измерениях, которое также демонстрирует явление солитона и которое стало важной моделью разрешимой релятивистской теории поля. В основополагающей работе, предшествовавшей AKNS, Захаров и Шабат открыли метод обратного рассеяния для нелинейного уравнения Шредингера.
В настоящее время известно, что солитоны повсеместно встречаются в природе, от физики до биологии. В 1986 году Крускал и Забуски разделили золотую медаль Говарда Н. Поттса от Института Франклина «за вклад в математическую физику и ранние творческие комбинации анализа и вычислений, но особенно за основополагающую работу по свойствам солитонов». Присуждая премию Стила 2006 года Гарднеру, Грину, Крускалу и Миуре, Американское математическое общество заявило, что до их работы «не существовало общей теории для точного решения любого важного класса нелинейных дифференциальных уравнений». AMS добавило: «В приложениях математики солитоны и их потомки (кинки, антикинки, инстантоны и бризеры) вошли и изменили такие разнообразные области, как нелинейная оптика, физика плазмы, а также науки об океане, атмосфере и планетах. Нелинейность претерпела революцию: от помехи, которую нужно устранить, до нового инструмента, который нужно использовать».
В 1993 году Крускал получил Национальную научную медаль «за его влияние в качестве лидера в нелинейной науке на протяжении более чем двух десятилетий и главного архитектора теории солитонных решений нелинейных уравнений эволюции».
В статье [17], посвященной обзору состояния математики на рубеже тысячелетий, выдающийся математик Филип А. Гриффитс писал, что открытие интегрируемости уравнения КдФ «наиболее прекрасным образом продемонстрировало единство математики. Оно повлекло за собой развитие вычислений и математического анализа, который является традиционным способом изучения дифференциальных уравнений. Оказывается, что можно понять решения этих дифференциальных уравнений с помощью некоторых очень элегантных конструкций в алгебраической геометрии . Решения также тесно связаны с теорией представлений , поскольку эти уравнения, как оказалось, имеют бесконечное число скрытых симметрий. Наконец, они связаны с проблемами элементарной геометрии».
В 1980-х годах Крускал проявил острый интерес к уравнениям Пенлеве . Они часто возникают как симметрийные редукции солитонных уравнений, и Крускал был заинтригован тесной связью, которая, как оказалось, существовала между свойствами, характеризующими эти уравнения, и полностью интегрируемыми системами. Большая часть его последующих исследований была обусловлена желанием понять эту связь и разработать новые прямые и простые методы изучения уравнений Пенлеве. Крускал редко удовлетворялся стандартными подходами к дифференциальным уравнениям.
Шесть уравнений Пенлеве обладают характерным свойством, называемым свойством Пенлеве: их решения являются однозначными вокруг всех сингулярностей, местоположение которых зависит от начальных условий. По мнению Крускала, поскольку это свойство определяет уравнения Пенлеве, можно было бы начать с этого, без каких-либо дополнительных ненужных структур, чтобы выработать всю необходимую информацию об их решениях. Первым результатом было асимптотическое исследование уравнений Пенлеве с Налини Джоши , необычное в то время, поскольку оно не требовало использования связанных линейных задач. Его настойчивое сомнение в классических результатах привело к прямому и простому методу, также разработанному с Джоши, для доказательства свойства Пенлеве уравнений Пенлеве.
В более поздней части своей карьеры одним из главных интересов Крускала была теория сюрреалистических чисел . Сюрреалистические числа, которые определяются конструктивно, обладают всеми основными свойствами и операциями действительных чисел. Они включают действительные числа наряду со многими типами бесконечностей и бесконечно малых. Крускал внес вклад в основание теории, в определение сюрреалистических функций и в анализ их структуры. Он обнаружил замечательную связь между сюрреалистическими числами, асимптотикой и экспоненциальной асимптотикой. Главный открытый вопрос, поднятый Конвеем, Крускалом и Нортоном в конце 1970-х годов и исследованный Крускалом с большим упорством, заключается в том, обладают ли достаточно хорошо ведущие себя сюрреалистические функции определенными интегралами. На этот вопрос был дан отрицательный ответ в полной общности, на которую надеялись Конвей и др., Костином, Фридманом и Эрлихом в 2015 году. [18] Однако анализ Костина и др. показывает, что определенные интегралы существуют для достаточно широкого класса сюрреалистических функций, для которых видение асимптотического анализа Крускала, в широком смысле, проходит. На момент своей смерти Крускаль был в процессе написания книги по сюрреалистическому анализу с О. Костином.
Крускал ввел термин асимптотология для описания «искусства работы с прикладными математическими системами в предельных случаях». [19] Он сформулировал семь принципов асимптотологии: 1. Принцип упрощения; 2. Принцип рекурсии; 3. Принцип интерпретации; 4. Принцип дикого поведения; 5. Принцип уничтожения; 6. Принцип максимального равновесия; 7. Принцип математической бессмыслицы.
Термин асимптотология не так широко используется, как термин солитон . Асимптотические методы различных типов успешно применялись практически с самого зарождения науки. Тем не менее, Крускал пытался показать, что асимптотология — это особая отрасль знания, промежуточная, в некотором смысле, между наукой и искусством. Его предложение оказалось весьма плодотворным. [20] [21] [22]
Среди почестей и наград Краскала:
