В теории категорий , разделе математики , если задан морфизм f : X → Y и морфизм g : Z → Y , то подъемом или поднятием f в Z называется морфизм h : X → Z такой, что f = g ∘ h . Мы говорим, что f пропускается через h .
Подъемы встречаются повсеместно; например, определение расслоений (см. Свойство подъема гомотопии ) и оценочные критерии разделенных и собственных отображений схем формулируются в терминах существования и (в последнем случае) единственности определенных подъемов.
В алгебраической топологии и гомологической алгебре тензорное произведение и функтор Hom являются сопряженными ; однако они не всегда могут подниматься до точной последовательности . Это приводит к определению функтора Tor и функтора Ext .
Базовым примером в топологии является поднятие пути в одном топологическом пространстве до пути в покрывающем пространстве . [1] Например, рассмотрим отображение противоположных точек на сфере в одну и ту же точку, непрерывное отображение из сферы, покрывающей проективную плоскость . Путь в проективной плоскости является непрерывным отображением из единичного интервала [0,1]. Мы можем поднять такой путь до сферы, выбрав одну из двух точек сферы, отображающихся в первую точку на пути, а затем сохранить непрерывность. В этом случае каждая из двух начальных точек заставляет уникальный путь на сфере, поднятие пути в проективной плоскости. Таким образом, в категории топологических пространств с непрерывными отображениями в качестве морфизмов, мы имеем
Нотации логики предикатов первого порядка упрощаются, когда квантификаторы относят к установленным областям и диапазонам бинарных отношений . Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер проиллюстрировали метод подъема традиционных логических выражений топологии до исчисления отношений в своей книге «Реляционная топология» . [2] Они стремятся «поднять концепции до реляционного уровня, сделав их свободными от точек и квантификаторов, тем самым освободив их от стиля логики предикатов первого порядка и приблизившись к ясности алгебраических рассуждений».
Например, частичная функция M соответствует включению , где обозначает отношение тождества в диапазоне M. «Обозначение для квантификации скрыто и остается глубоко включенным в типизацию реляционных операций (в данном случае транспозиции и композиции) и их правил».
Для карт окружности определение подъема на действительную прямую немного отличается (обычным применением является вычисление числа вращения ). Если задана карта на окружности, , подъем , , — это любая карта на действительную прямую, , для которой существует проекция (или, покрывающая карта ), , такая, что . [3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (путь проективной плоскости)}}\\g\colon \,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (отображение покрытия)}}\\h\colon \,&[0,1]\to S^{2}&&\ {\text{ (путь сферы)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94309ac4e26b4364471069b349c643e2d12234f8)
