число Маха

Отношение скорости объекта, движущегося в жидкости, к локальной скорости звука

Число Маха ( M или Ma ), часто просто Маха ( / mɑːk / ; нем. [max] ) — безразмерная величина в гидродинамике , представляющая отношение скорости потока за границей к локальной скорости звука . ^{[1] [2]} Оно названо в честь австрийского физика и философа Эрнста Маха .

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}},}$

где:

М — местное число Маха,

u — локальная скорость потока относительно границ (внутренних, например, объекта, погруженного в поток, или внешних, например, канала), и

c — скорость звука в среде, которая в воздухе изменяется пропорционально квадратному корню из термодинамической температуры .

По определению, при числе Маха  1 локальная скорость потока u равна скорости звука. При числе Маха  0,65 u составляет 65% скорости звука (дозвуковая), а при числе Маха  1,35 u на 35% превышает скорость звука (сверхзвуковая). Пилоты высотных аэрокосмических аппаратов используют число Маха полета для выражения истинной воздушной скорости аппарата , но поле потока вокруг аппарата изменяется в трех измерениях с соответствующими изменениями локального числа Маха.

Самолет F/A-18 Hornet создает конус пара на околозвуковой скорости непосредственно перед достижением скорости звука.

Локальная скорость звука и, следовательно, число Маха зависят от температуры окружающего газа. Число Маха в первую очередь используется для определения приближения, с которым поток можно рассматривать как несжимаемый поток . Среда может быть газом или жидкостью. Граница может перемещаться в среде или может быть неподвижной, пока среда течет вдоль нее, или они обе могут двигаться с разными скоростями : важна их относительная скорость по отношению друг к другу. Граница может быть границей объекта, погруженного в среду, или канала, такого как сопло , диффузор или аэродинамическая труба, направляющего среду. Поскольку число Маха определяется как отношение двух скоростей, оно является безразмерной величиной. Если M  < 0,2–0,3 и поток является квазистационарным и изотермическим , эффекты сжимаемости будут небольшими, и можно использовать упрощенные уравнения потока несжимаемой жидкости. ^{[1] [2]}

Этимология

Число Маха названо в честь физика и философа Эрнста Маха ^[3] по предложению авиационного инженера Якоба Акерета в 1929 году. ^[4] Слово Маха всегда пишется с заглавной буквы, поскольку оно происходит от имени собственного, и поскольку число Маха является безразмерной величиной, а не единицей измерения , число следует после слова Маха; второе число Маха — это Маха  2 вместо 2  Маха (или Маха). Это несколько напоминает раннюю современную единицу измерения глубины океана ( синоним слова fatom ), которая также была первой единицей измерения и, возможно, повлияла на использование термина Маха. В десятилетие, предшествовавшее сверхзвуковому полету человека , авиационные инженеры называли скорость звука числом Маха , а не Махом 1. [ ^5]

Обзор

Скорость звука (синяя) зависит только от изменения температуры на высоте (красная) и может быть рассчитана из нее, поскольку изолированные эффекты плотности и давления на скорость звука компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за эффектов нагрева в этих областях.

Число Маха является мерой характеристик сжимаемости потока жидкости : жидкость (воздух) ведет себя под влиянием сжимаемости аналогичным образом при заданном числе Маха, независимо от других переменных. ^[6] Как смоделировано в Международной стандартной атмосфере , сухом воздухе на среднем уровне моря , стандартной температуре 15 °C (59 °F), скорость звука составляет 340,3 метра в секунду (1116,5 фута/с; 761,23 мили в час; 1225,1 км/ч; 661,49 узла). ^[7] Скорость звука не является постоянной величиной; в газе она увеличивается пропорционально квадратному корню абсолютной температуры , и поскольку температура атмосферы обычно уменьшается с увеличением высоты между уровнем моря и 11 000 метров (36 089 футов), скорость звука также уменьшается. Например, стандартная модель атмосферы понижает температуру до -56,5 °C (-69,7 °F) на высоте 11 000 метров (36 089 футов) с соответствующей скоростью звука (  1 Маха) 295,0 метров в секунду (967,8 фута/с; 659,9 миль/ч; 1062 км/ч; 573,4 узла), что составляет 86,7% от значения на уровне моря.

Появление в уравнении непрерывности

В качестве меры сжимаемости потока число Маха может быть получено из соответствующего масштабирования уравнения неразрывности . ^[8] Полное уравнение неразрывности для общего потока жидкости имеет вид: где — производная материала , — плотность , а — скорость потока . Для изэнтропических изменений плотности, вызванных давлением, где — скорость звука. Тогда уравнение неразрывности может быть немного изменено для учета этого соотношения: Следующий шаг — обезразмерить переменные как таковые: где — характерный масштаб длины, — характерный масштаб скорости, — опорное давление, а — опорная плотность. Тогда безразмерную форму уравнения неразрывности можно записать как: где число Маха . В пределе, когда , уравнение неразрывности сводится к — это стандартное требование для несжимаемого потока . $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {u}})=0\equiv -{1 \over {\rho }}{D\rho \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$ ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ${\displaystyle dp=c^{2}d\rho }$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle -{1 \over {\rho c^{2}}}{Dp \over {Dt}}=\nabla \cdot {\bf {u}}}$$ $${\displaystyle {\bf {x}}^{*}={\bf {x}}/L,\quad t^{*}=Ut/L,\quad {\bf {u}}^{*}={\bf {u}}/U,\quad p^{*}=(p-p_{\infty })/\rho _{0}U^{2},\quad \rho ^{*}=\rho /\rho _{0}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ $${\displaystyle -{U^{2} \over {c^{2}}}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}\implies -{\text{M}}^{2}{1 \over {\rho ^{*}}}{Dp^{*} \over {Dt^{*}}}=\nabla ^{*}\cdot {\bf {u}}^{*}}$$ ${\displaystyle {\text{M}}=U/c}$ ${\displaystyle {\text{M}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {u}}=0}$

Классификация режимов Маха

В то время как термины дозвуковой и сверхзвуковой , в чистом смысле, относятся к скоростям ниже и выше локальной скорости звука соответственно, аэродинамики часто используют те же термины, чтобы говорить о конкретных диапазонах значений Маха. Это происходит из-за наличия трансзвукового режима вокруг полета (свободного потока) M = 1, где приближения уравнений Навье-Стокса , используемые для дозвукового проектирования, больше не применимы; самое простое объяснение состоит в том, что поток вокруг планера самолета локально начинает превышать M = 1, даже если число Маха свободного потока ниже этого значения.

Между тем, сверхзвуковой режим обычно используется для разговора о наборе чисел Маха, для которых может быть использована линеаризованная теория, где, например, поток ( воздуха ) не вступает в химическую реакцию и где теплопередачей между воздухом и транспортным средством можно обоснованно пренебречь в расчетах.

В следующей таблице имеются в виду режимы или диапазоны значений числа Маха , а не чистые значения слов «дозвуковой» и «сверхзвуковой» .

Как правило, NASA определяет высокую гиперзвуковую скорость как любое число Маха от 10 до 25, а скорость входа в атмосферу — как все, что больше 25 Маха. К самолетам, работающим в этом режиме, относятся « Спейс шаттл» и различные космические самолеты, находящиеся в разработке.

Высокоскоростной поток вокруг объектов

Полеты можно условно разделить на шесть категорий:

Для сравнения: требуемая скорость для низкой околоземной орбиты составляет примерно 7,5 км/с = 25,4 Маха в воздухе на больших высотах.

На околозвуковых скоростях поле течения вокруг объекта включает как дозвуковые, так и сверхзвуковые части. Трансзвуковой период начинается, когда вокруг объекта появляются первые зоны течения с M > 1. В случае аэродинамического профиля (например, крыла самолета) это обычно происходит над крылом. Сверхзвуковой поток может замедлиться до дозвукового только в нормальном скачке уплотнения; обычно это происходит перед задней кромкой. (Рис. 1а)

С ростом скорости зона течения M > 1 увеличивается как по направлению к передней, так и к задней кромке. По достижении и прохождении M = 1 прямой скачок уплотнения достигает задней кромки и становится слабым косым скачком уплотнения: течение замедляется над скачком уплотнения, но остается сверхзвуковым. Прямой скачок уплотнения создается впереди объекта, и единственная дозвуковая зона в поле течения — это небольшая область вокруг передней кромки объекта. (Рис.1b)

Рис. 1. Число Маха при трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля потоком воздуха; M < 1 (а) и M > 1 (б).

Когда самолет превышает число Маха 1 (т. е. звуковой барьер ), прямо перед самолетом создается большая разница давлений . Эта резкая разница давлений, называемая ударной волной , распространяется назад и наружу от самолета в форме конуса (так называемый конус Маха ). Именно эта ударная волна вызывает звуковой удар , слышимый, когда быстро летящий самолет пролетает над головой. Человек внутри самолета этого не услышит. Чем выше скорость, тем уже конус; при значении чуть выше M = 1 это едва ли конус, а скорее слегка вогнутая плоскость.

На полностью сверхзвуковой скорости ударная волна начинает принимать форму конуса, и поток становится либо полностью сверхзвуковым, либо (в случае тупого предмета) между носом предмета и ударной волной, которую он создает впереди себя, остается лишь очень маленькая область дозвукового потока. (В случае острого предмета между носом и ударной волной нет воздуха: ударная волна начинается с носа.)

С ростом числа Маха увеличивается и сила ударной волны , а конус Маха становится все уже. По мере того, как поток жидкости пересекает ударную волну, его скорость уменьшается, а температура, давление и плотность увеличиваются. Чем сильнее ударная волна, тем больше изменения. При достаточно больших числах Маха температура над ударной волной увеличивается настолько, что начинается ионизация и диссоциация молекул газа за ударной волной. Такие потоки называются гиперзвуковыми.

Очевидно, что любой объект, движущийся с гиперзвуковой скоростью, будет подвергаться воздействию тех же экстремальных температур, что и газ за носовой ударной волной, поэтому выбор термостойких материалов становится важным.

Высокоскоростной поток в канале

Когда поток в канале становится сверхзвуковым, происходит одно существенное изменение. Сохранение массового расхода приводит к тому, что можно ожидать, что сужение канала потока увеличит скорость потока (т. е. сужение канала приведет к более быстрому потоку воздуха), и на дозвуковых скоростях это справедливо. Однако, как только поток становится сверхзвуковым, соотношение площади потока и скорости меняется на противоположное: расширение канала фактически увеличивает скорость.

Очевидный результат заключается в том, что для разгона потока до сверхзвуковой скорости необходимо сходящееся-расходящееся сопло, где сходящаяся часть разгоняет поток до звуковых скоростей, а расходящаяся часть продолжает разгон. Такие сопла называются соплами Лаваля , и в экстремальных случаях они способны достигать гиперзвуковых скоростей (13 Маха (15 900 км/ч; 9 900 миль/ч) при 20 °C).

Махометр самолета или электронная система полетной информации ( EFIS ) может отображать число Маха, полученное на основе давления торможения ( трубка Пито ) и статического давления.

Расчет

Если известна скорость звука, число Маха, с которым летит самолет, можно рассчитать по формуле:

${\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {u}{c}}}$

где:

М — число Маха

u - скорость движущегося самолета и

c — скорость звука на данной высоте (точнее, температура)

а скорость звука изменяется в зависимости от термодинамической температуры следующим образом:

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}},}$

где:

${\displaystyle \gamma \,}$это отношение удельной теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме (1,4 для воздуха)

${\displaystyle R_{*}}$— удельная газовая постоянная для воздуха.

${\displaystyle T,}$статическая температура воздуха.

Если скорость звука неизвестна, число Маха можно определить, измерив различные давления воздуха (статическое и динамическое) и используя следующую формулу, которая выведена из уравнения Бернулли для чисел Маха менее 1,0. Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке имеет вид: ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,}$

где:

q _c — ударное давление (динамическое давление) и

p — статическое давление

${\displaystyle \gamma \,}$это отношение удельной теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме (1,4 для воздуха)

Формула для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке выводится из уравнения Рэлея для сверхзвукового потока:

${\displaystyle {\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}}$

Расчет числа Маха по давлению в трубке Пито

Число Маха является функцией температуры и истинной скорости полета. Однако приборы для полета самолета работают, используя перепад давления для вычисления числа Маха, а не температуры.

Предполагая, что воздух является идеальным газом , формула для вычисления числа Маха в дозвуковом сжимаемом потоке находится из уравнения Бернулли для M < 1 (выше): ^[9]

${\displaystyle \mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,}$

Формулу для вычисления числа Маха в сверхзвуковом сжимаемом потоке можно найти из уравнения Рэлея-Пито для сверхзвукового потока (выше) с использованием параметров для воздуха:

${\displaystyle \mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}}$

где:

q _c — динамическое давление, измеренное за нормальным скачком уплотнения.

Как можно видеть, M появляется в обеих частях уравнения, и для практических целей алгоритм поиска корня должен быть использован для численного решения (уравнение является септическим уравнением относительно M2 ^, и хотя некоторые из них могут быть решены явно, теорема Абеля–Руффини гарантирует, что не существует общей формы для корней этих многочленов). Сначала определяется, действительно ли M больше 1,0, путем вычисления M из дозвукового уравнения. Если M больше 1,0 в этой точке, то значение M из дозвукового уравнения используется в качестве начального условия для итерации неподвижной точки сверхзвукового уравнения, которое обычно сходится очень быстро. ^[9] В качестве альтернативы можно также использовать метод Ньютона .

Смотрите также

• Критическое число Маха  – понятие в аэродинамике
• Махметр  – прибор для измерения полета
• ПВРД  – сверхзвуковой атмосферный реактивный двигатель
• Scramjet  – реактивный двигатель, в котором сгорание происходит в сверхзвуковом потоке воздуха.
• Скорость звука  – Скорость звуковой волны в упругой среде.
• Истинная воздушная скорость  — скорость самолета относительно воздушной массы, через которую он летит.
• Порядки величин (скорости)  – Сравнение широкого диапазона скоростей.

Примечания

1. Young, Donald F.; Munson, Bruce R.; Okiishi, Theodore H .; Huebsch, Wade W. (21 декабря 2010 г.). Краткое введение в механику жидкости (5-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 95. ISBN 978-0-470-59679-1. LCCN  2010038482. OCLC  667210577. OL  24479108M.
2. Graebel, William P. (19 января 2001 г.). Engineering Fluid Mechanics (1-е изд.). CRC Press . стр. 16. ISBN 978-1-56032-733-2. OCLC  1034989004. OL  9794889M.
3. "Эрнст Мах". Encyclopaedia Britannica . 2016. Получено 6 января 2016 .
4. Якоб Акерет: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (октябрь 1929 г.), стр. 179–183. См. также: Н. Ротт: Якоб Аккерт и история числа Маха. Ежегодный обзор механики жидкости 17 (1985), стр. 1–9.
5. Боди, Уоррен М., Lockheed P-38 Lightning , Widewing Publications ISBN 0-9629359-0-5 . 
6. Нэнси Холл (ред.). «Число Маха». NASA .
7. Клэнси, Л. Дж. (1975), Аэродинамика, Таблица 1, Pitman Publishing London, ISBN 0-273-01120-0 
8. Кунду, П. Дж.; Коэн, И. М.; Доулинг, Д. Р. (2012). Механика жидкости (5-е изд.). Academic Press. С. 148–149. ISBN 978-0-12-382100-3.
9. Olson, Wayne M. (2002). "AFFTC-TIH-99-02, Летные испытания летательных аппаратов ". (PDF). Летно-испытательный центр ВВС, авиабаза Эдвардс, Калифорния, ВВС США. Архивировано 4 сентября 2011 г. на Wayback Machine

Внешние ссылки

• Gas Dynamics Toolbox Рассчитать число Маха и параметры нормальной ударной волны для смесей идеальных и неидеальных газов.
• Страница НАСА о числе Маха. Интерактивный калькулятор числа Маха.
• NewByte стандартный калькулятор атмосферы и преобразователь скорости