Функция Мертенса

Сумматорная функция функции Мёбиуса

Функция Мертенса к n  ​​= 10 000

Функция Мертенса к n  ​​= 10 000 000

В теории чисел функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n как

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),}$

где – функция Мёбиуса . Функция названа в честь Франца Мертенса . Это определение можно распространить на положительные действительные числа следующим образом: ${\displaystyle \mu (k)}$

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

Менее формально, это подсчет целых чисел без квадратов до x , которые имеют четное количество простых множителей, за вычетом количества тех, которые имеют нечетное число. ${\displaystyle M(x)}$

Первые 143 значения M ( n ) — это (последовательность A002321 в OEIS )

Функция Мертенса медленно растет в положительном и отрицательном направлениях как в среднем, так и в пиковом значении, колеблясь, по-видимому, хаотично, проходя через ноль при n , имеющем значения

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 7, 428, ... (последовательность A028442 в OEIS ).

Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса движется медленно, и не существует x такого, что | М ( Икс )| >  х . Х. Давенпорт ^[1] показал, что для любого фиксированного h

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

равномерно в . Это подразумевает, что для этого ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

Гипотеза Мертенса пошла еще дальше, заявив, что не будет x , где абсолютное значение функции Мертенса превышает квадратный корень из x . Гипотеза Мертенса была опровергнута в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле . Однако гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M ( x ), а именно M ( x ) = O ( x1 ^{/2 + ε} ). Поскольку высокие значения M ( x ) растут по крайней мере так же быстро, как , это накладывает довольно жесткие ограничения на скорость его роста. Здесь O относится к большой записи O. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

Истинная скорость роста M ( x ) неизвестна. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека утверждает, что

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

Вероятностные доказательства этой гипотезы дает Натан Нг. ^[2] В частности, Нг дает условное доказательство того, что функция имеет предельное распределение на . То есть для всех ограниченных липшицевых непрерывных функций на действительных числах имеем следующее: ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

если предположить различные гипотезы о дзета-функции Римана .

Представительства

Как интеграл

Используя произведение Эйлера , можно найти, что

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

где – дзета-функция Римана , а произведение берется по простым числам. Затем, используя этот ряд Дирихле с формулой Перрона , получаем ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),}$

где с > 1.

И наоборот, имеется преобразование Меллина

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

что справедливо для . ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

Любопытное соотношение, данное самим Мертенсом, касающееся второй функции Чебышева :

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .}$

Предполагая, что дзета-функция Римана не имеет кратных нетривиальных нулей, по теореме о вычетах получается «точная формула» :

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Вейль предположил, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}$

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , B — числа Бернулли , а все производные по t вычисляются при t  = 0.

Существует также формула следов, включающая сумму по функции Мёбиуса и нулям дзета-функции Римана в виде

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

где первая сумма в правой части берется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана, а ( g ,  h ) связаны преобразованием Фурье , так что

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

Как сумма по последовательностям Фарея

Другая формула функции Мертенса:

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

где – последовательность Фарея порядка n . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля–Ландау . ^[3]

В качестве определяющего фактора

M ( n ) — определитель матрицы Редхеффера размера n  ×  n , матрицы (0, 1), в которой a _ij равен 1, если либо j равен 1, либо i делит j .

Как сумма количества баллов подн-мерные гиперболоиды

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Эта формулировка ^{[ нужна цитация ]} расширяющая функцию Мертенса, предлагает асимптотические границы, полученные при рассмотрении проблемы делителей Пильца , которая обобщает проблему делителей Дирихле вычисления асимптотических оценок для суммирующей функции функции делителей .

Другие объекты недвижимости

Из ^[4] мы имеем

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .}$

Кроме того, из ^[5]

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,}$

где – суммирующая функция Тотиента . ${\displaystyle \Phi (n)}$

Расчет

Ни один из упомянутых ранее методов не приводит к практическим алгоритмам расчета функции Мертенса. Используя ситовые методы, аналогичные тем, которые используются при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел до возрастающего диапазона x . ^{[6] [7]}

Функция Мертенса для всех целых значений до x может быть вычислена за время O ( x log log x ) . Комбинаторный алгоритм постепенно разрабатывался, начиная с 1870 года, Эрнстом Мейселем , ^[8] Лемером , ^[9] Лагариасом - Миллером - Одлызко , ^[10] и Делеглизом-Риватом ^[11] , который вычисляет изолированные значения M ( x ) в O ( x ^2/3 (log log x ) ^1/3 ) времени; дальнейшее улучшение Харальда Хелфготта и Лолы Томпсон в 2021 году улучшает это значение до O ( x ^3/5 (log x ) ^3/5+ε ) , ^[12] , а алгоритм Лагариаса и Одлизко, основанный на интегралах дзета-функции Римана, достигает время работы O ( x ^1/2+ε ) . ^[13]

См. OEIS : A084237 для значений M ( x ) в степени 10.

Известные верхние границы

Нг отмечает, что гипотеза Римана (RH) эквивалентна

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

для некоторой положительной константы . Другие верхние оценки были получены Майером, Монтгомери и Саундараджаном, предполагая, что RH включает ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

Известные явные верхние оценки без предположения RH даются следующим образом: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

Приведенное выше выражение можно упростить до менее ограничительной, но наглядной формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Формула Перрона
• Функция Лиувилля

Примечания

1. Давенпорт, Х. (ноябрь 1937 г.). «О некоторых бесконечных рядах, включающих арифметические функции (Ii)». Ежеквартальный математический журнал . Оригинальный сериал. 8 (1): 313–320. doi : 10.1093/qmath/os-8.1.313.
2. Натан Нг (25 октября 2018 г.). «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса». arXiv : math/0310381 .
3. Эдвардс, Ч. 12.2.
4. Леман, RS (1960). «О функции Лиувилля». Математика. Вычислить . 14 : 311–320.
5. Канемицу, С.; Ёсимото, М. (1996). «Ряд Фэри и гипотеза Римана». Акта Арифметика . 75 (4): 351–374. дои : 10.4064/aa-75-4-351-374 .
6. Котник, Тадей; ван де Луне, январь (ноябрь 2003 г.). «Дальнейшие систематические вычисления суммирующей функции функции Мёбиуса». Моделирование, анализ и симуляция . МАС-Р0313.
7. Херст, Грег (2016). «Расчеты функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [math.NT].
8. Мейсель, Эрнст (1870). «Ueber die Bestimmung der Primzahlenmenge Internalhalb Gegebener Grenzen». Mathematische Annalen (на немецком языке). 2 (4): 636–642. дои : 10.1007/BF01444045. ISSN  0025-5831. S2CID  119828499.
9. Лемер, Деррик Генри (1 апреля 1958 г.). «О ТОЧНОМ КОЛИЧЕСТВЕ ПРОСТЫХ МЕНЬШИХ ДАННОГО ПРЕДЕЛА». Иллинойс Дж. Математика . 3 (3): 381–388 . Проверено 1 февраля 2017 г.
10. Лагариас, Джеффри; Миллер, Виктор; Одлызко, Андрей (11 апреля 1985 г.). «Вычисления: метод Мейселя-Лемера» (PDF) π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} . Математика вычислений . 44 (170): 537–560. дои : 10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5 . Проверено 13 сентября 2016 г.
11. Риват, Джул; Делеглиз, Марк (1996). «Вычисление суммирования функции Мёбиуса». Экспериментальная математика . 5 (4): 291–295. дои : 10.1080/10586458.1996.10504594. ISSN  1944-950Х. S2CID  574146.
12. Хелфготт, Харальд; Томпсон, Лола (2023). «Суммирование: более быстрый элементарный алгоритм». Исследования в области теории чисел . 9 (1): 6. дои : 10.1007/s40993-022-00408-8. ISSN  2363-9555. ПМК 9731940 . ПМИД  36511765. 
13. Лагариас, Джеффри; Одлызко, Андрей (июнь 1987 г.). «Вычисления: аналитический метод». Журнал алгоритмов . 8 (2): 173–191. дои : 10.1016/0196-6774(87)90037-X.
14. Эль Марраки, М. (1995). «Fonction sommatoire de la fonction de Möbius, 3. Асимптотические мажорные эффективные сильные стороны». Journal de theorie des nombres de Bordeaux . 7 (2).

Рекомендации

• Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-41740-9.
• Мертенс, Ф. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Кляйне Зитцунгсбер, IIA . 106 : 761–830.
• Одлизко, А.М. ; те Риле, Герман (1985). «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Журнал для королевы и математики . 357 : 138–160.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мертенса». Математический мир .
• Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
• Делеглиз М. и Рива Ж. «Вычисление суммирования функции Мёбиуса». Экспериментируйте. Математика. 5, 291-295, 1996. Вычисление суммирования функции Мёбиуса.
• Херст, Грег (2016). «Расчеты функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [math.NT].
• Натан Нг, «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса», Proc. Лондонская математика. Соц. (3) 89 (2004) 361-389. [1]