Ортогональная проекция (также ортогональная проекция и аналемма ) [a] — это средство представления трехмерных объектов в двух измерениях . Ортогональная проекция — это форма параллельной проекции , в которой все линии проекции ортогональны плоскости проекции , [2] в результате чего каждая плоскость сцены появляется в аффинном преобразовании на поверхности просмотра. Лицевая сторона ортогональной проекции — это косая проекция , которая является параллельной проекцией, в которой линии проекции не ортогональны плоскости проекции.
Термин ортографический иногда означает технику в многовидовой проекции , в которой главные оси или плоскости объекта также параллельны плоскости проекции для создания основных видов . [2] Если главные плоскости или оси объекта в ортографической проекции не параллельны плоскости проекции, изображение называется аксонометрическим или вспомогательным видом . ( Аксонометрическая проекция является синонимом параллельной проекции .) Подтипы основных видов включают планы , фасады и сечения ; подтипы вспомогательных видов включают изометрические , диметрические и триметрические проекции .
Объектив, обеспечивающий ортографическую проекцию, называется телецентрическим объективом пространства объектов .
Простую ортографическую проекцию на плоскость z = 0 можно определить с помощью следующей матрицы:
Для каждой точки v = ( v x , v y , v z ) преобразованная точка Pv будет иметь вид
Часто бывает полезнее использовать однородные координаты . Преобразование выше можно представить для однородных координат как
Для каждого однородного вектора v = ( v x , v y , v z , 1) преобразованный вектор Pv будет иметь вид
В компьютерной графике одна из наиболее распространенных матриц, используемых для ортографической проекции , может быть определена 6-кортежем , ( слева , справа , снизу , сверху , рядом , далеко ), который определяет плоскости отсечения . Эти плоскости образуют коробку с минимальным углом в точке ( слева , снизу , - близко ) и максимальным углом в точке ( справа , сверху , - далеко ). [3]
Куб перемещается таким образом, чтобы его центр находился в начале координат, затем он масштабируется до единичного куба, который определяется минимальным углом в точке (−1,−1,−1) и максимальным углом в точке (1,1,1).
Ортографическое преобразование можно задать следующей матрицей:
что может быть задано как масштабирование S, за которым следует трансляция T в форме
Инверсия проекционной матрицы P −1 , которая может быть использована в качестве непроекционной матрицы, определяется следующим образом:
Три подтипа ортогональной проекции — изометрическая проекция , диметрическая проекция и триметрическая проекция , в зависимости от точного угла, на который вид отклоняется от ортогонального. [2] [4] Обычно в аксонометрическом чертеже, как и в других типах изобразительных материалов, одна ось пространства изображается вертикальной.
В изометрической проекции , наиболее часто используемой форме аксонометрической проекции в инженерном черчении, [5] направление взгляда таково, что три оси пространства кажутся одинаково укороченными , и между ними существует общий угол 120°. Поскольку искажение, вызванное укорочением, однородно, пропорциональность между длинами сохраняется, и оси имеют общий масштаб; это облегчает возможность проводить измерения непосредственно с чертежа. Другое преимущество заключается в том, что углы в 120° легко построить, используя только циркуль и линейку .
В диметрической проекции направление зрения таково, что две из трех осей пространства кажутся одинаково укороченными, причем соответствующий масштаб и углы представления определяются в соответствии с углом зрения; масштаб третьего направления определяется отдельно.
В триметрической проекции направление взгляда таково, что все три оси пространства кажутся неравномерно укороченными. Масштаб вдоль каждой из трех осей и углы между ними определяются отдельно в зависимости от угла зрения. Триметрическая перспектива редко используется в технических чертежах. [4]
В многовидовой проекции создается до шести изображений объекта, называемых первичными видами , причем каждая плоскость проекции параллельна одной из осей координат объекта. Виды располагаются относительно друг друга в соответствии с одной из двух схем: проекция первого угла или проекция третьего угла . В каждой из них вид видов можно рассматривать как проецирование на плоскости, которые образуют шестигранный ящик вокруг объекта. Хотя можно нарисовать шесть различных сторон, обычно три вида чертежа дают достаточно информации, чтобы создать трехмерный объект. Эти виды известны как вид спереди (также вертикальный ), вид сверху (также план ) и вид с торца (также разрез ). Когда плоскость или ось изображаемого объекта не параллельна плоскости проекции и когда на одном изображении видны несколько сторон объекта, это называется вспомогательным видом . Таким образом, изометрическая проекция , диметрическая проекция и триметрическая проекция будут считаться вспомогательными видами в многовидовой проекции. Типичной характеристикой многовидовой проекции является то, что одна ось пространства обычно отображается как вертикальная.
Ортографическая проекция карты — это проекция карты в картографии . Подобно стереографической проекции и гномонической проекции , ортографическая проекция — это перспективная (или азимутальная) проекция , в которой сфера проецируется на касательную или секущую плоскость . Точка перспективы для ортографической проекции находится на бесконечном расстоянии. Она изображает полусферу земного шара , как она выглядит из космоса , где горизонт представляет собой большой круг . Формы и области искажены , особенно вблизи краев. [6] [7]
Ортографическая проекция известна с античности, и ее картографическое применение хорошо документировано. Гиппарх использовал проекцию во 2 веке до нашей эры для определения мест восхода и захода звезд. Около 14 года до нашей эры римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и вычисления положения солнца. [7]
Витрувий также, по-видимому, придумал термин «ортографический» — от греческого orthos («прямой») и graphē («чертеж») — для проекции. Однако название « analemma », которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было общепринятым названием до тех пор, пока Франсуа д'Агилон из Антверпена не ввел его нынешнее название в 1613 году. [7]
Самые ранние сохранившиеся карты в проекции представляют собой гравюры на дереве земных глобусов 1509 года (аноним), 1533 и 1551 годов (Йоханнес Шёнер) и 1524 и 1551 годов (Апиан). [7]
