В математике гармоническое делительное число или число Оре — это положительное целое число , делители которого имеют гармоническое среднее , которое является целым числом. Первые несколько гармонических делительных чисел — это
Гармонические делители чисел были введены Эйстейном Оре , который показал, что каждое совершенное число является гармоническим делителем чисел, и высказал гипотезу, что не существует нечетных гармонических делителей чисел, отличных от 1.
Число 6 имеет четыре делителя 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом: Таким образом, 6 является гармоническим делителем. Аналогично, число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее является Поскольку 5 является целым числом, 140 является гармоническим делителем.
Гармоническое среднее H ( n ) делителей любого числа n можно выразить в виде формулы , где σ i ( n ) — сумма i - х степеней делителей числа n : σ 0 — количество делителей, а σ 1 — сумма делителей (Cohen 1997). Все члены в этой формуле мультипликативны , но не полностью мультипликативны . Поэтому гармоническое среднее H ( n ) также мультипликативно. Это означает, что для любого положительного целого числа n гармоническое среднее H ( n ) можно выразить как произведение гармонических средних простых степеней в разложении числа n .
Например, у нас есть и
Для любого целого числа M , как заметил Оре, произведение среднего гармонического и среднего арифметического его делителей равно самому M , как видно из определений. Следовательно, M является гармоническим, со средним гармоническим делителей k , тогда и только тогда, когда среднее его делителей является произведением M с единичной дробью 1/ k .
Оре показал, что каждое совершенное число является гармоническим. Чтобы убедиться в этом, заметим, что сумма делителей совершенного числа M равна в точности 2M ; следовательно, среднее арифметическое делителей равно M (2/τ( M )), где τ( M ) обозначает количество делителей M . Для любого M , τ( M ) нечетно тогда и только тогда, когда M является квадратным числом , иначе каждый делитель d числа M может быть сопряжен с другим делителем M / d . Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известной формы четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q α , где α ≡ 1 ( mod 4). Следовательно, для совершенного числа M , τ( M ) четно, а среднее арифметическое делителей равно произведению M с единичной дробью 2/τ( M ); таким образом, M является гармоническим делителем числа.
Оре предположил , что не существует нечетных гармонических делителей чисел, отличных от 1. Если гипотеза верна, это означало бы несуществование нечетных совершенных чисел .
WH Mills (неопубликовано; см. Muskat) показал, что любое нечетное гармоническое делительное число выше 1 должно иметь простой множитель, больший 10 7 , а Коэн показал, что любое такое число должно иметь по крайней мере три различных простых множителя. Коэн и Сорли (2010) показали, что не существует нечетных гармонических делительных чисел, меньших 10 24 .
Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск, перечислив все малые гармонические делители. Из этих результатов известны списки всех гармонических делителей до 2 × 10 9 и всех гармонических делителей, для которых гармоническое среднее делителей не превышает 300.
