Обратная полугруппа

В теории групп обратная полугруппа (иногда называемая инверсионной полугруппой ^[1] ) S — это полугруппа , в которой каждый элемент x в S имеет единственный обратный y в S в том смысле, что x = xyx и y = yxy , т. е. регулярная полугруппа , в которой каждый элемент имеет единственный обратный. Обратные полугруппы появляются в различных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичных симметрий . ^[2]

(В этой статье будет принято соглашение о записи функции справа от ее аргумента, например, x  f, а не f ( x ), и составлении функций слева направо — соглашение, часто соблюдаемое в теории полугрупп.)

Происхождение

Инверсные полугруппы были введены независимо Виктором Владимировичем Вагнером ^[3] в Советском Союзе в 1952 году ^[4] и Гордоном Престоном в Соединенном Королевстве в 1954 году ^[5]. Оба автора пришли к инверсным полугруппам через изучение частичных биекций множества : частичное преобразование α множества X является функцией из A в B , где A и B являются подмножествами X. Пусть α и β являются частичными преобразованиями множества X ; α и β могут быть составлены (слева направо) на наибольшей области , на которой «имеет смысл» их составление:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

где α ⁻¹ обозначает прообраз под  α . Частичные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп . ^[6] Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений . ^[7] Он также признал, что областью композиции двух частичных преобразований может быть пустое множество , поэтому он ввел пустое преобразование , чтобы учесть это. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится всюду определенной ассоциативной бинарной операцией . При этой композиции совокупность всех частичных однозначных преобразований множества X образует обратную полугруппу, называемую симметричной обратной полугруппой (или моноидом) на X , с обратным — функциональным обратным, определенным от образа к области (эквивалентно, обратное отношение ). ^[8] Это «архетипическая» обратная полугруппа, таким же образом, как симметричная группа является архетипической группой . Например, подобно тому, как каждая группа может быть вложена в симметричную группу , каждая обратная полугруппа может быть вложена в симметричную обратную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп ниже). ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$

Основы

Обратный элемент x инверсной полугруппы S обычно записывается как x ⁻¹ . Обратные элементы в инверсной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и обратные элементы в группе , например, ( ab ) −1 ⁼ b −1 ^a −1 ^. В инверсном моноиде xx ⁻¹ и x ⁻¹ x не обязательно равны единице, но они оба идемпотентны . ^[9] Инверсный моноид S , в котором xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x , для всех x из S ( унипотентный инверсный моноид), является, конечно, группой .

Существует ряд эквивалентных характеристик инверсной полугруппы S : ^[10]

• Каждый элемент S имеет уникальный обратный элемент в указанном выше смысле.
• Каждый элемент S имеет по крайней мере один обратный элемент ( S — регулярная полугруппа ), а идемпотенты коммутируют (то есть идемпотенты S образуют полурешетку ).
• Каждый -класс и каждый -класс содержит ровно один идемпотент , где и - два отношения Грина . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Идемпотент в -классе s есть s ⁻¹ s , в то время как идемпотент в -классе s есть ss ⁻¹ . Поэтому существует простая характеристика соотношений Грина в инверсной полугруппе: ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

Если не указано иное, E(S) будет обозначать полурешетку идемпотентов инверсной полугруппы S.

Примеры инверсных полугрупп

• Частичные биекции на множестве X образуют обратную полугруппу относительно композиции.
• Каждая группа является инверсной полугруппой.
• Бициклическая полугруппа является обратной, причем ( a , b ) ⁻¹ = ( b , a ) .
• Каждая полурешетка является обратной.
• Полугруппа Брандта является обратной.
• Полугруппа Манна является обратной.

Пример таблицы умножения. Она ассоциативна и каждый элемент имеет свою собственную обратную согласно aba = a , bab = b . Она не имеет тождества и не коммутативна.

Естественный частичный порядок

Инверсная полугруппа S обладает естественным отношением частичного порядка ≤ (иногда обозначаемым как ω), которое определяется следующим образом: ^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

для некоторого идемпотента e в S. Эквивалентно,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

для некоторого (в общем случае, другого) идемпотента f в S. Фактически, e можно взять равным aa ⁻¹ , а f — равным a ⁻¹ a . ^[13]

Естественный частичный порядок совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть ^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

и

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

В группе этот частичный порядок просто сводится к равенству, поскольку тождество является единственным идемпотентом . В симметричной обратной полугруппе частичный порядок сводится к ограничению отображений, т. е. α ≤ β тогда и только тогда, когда область α содержится в области β и xα = xβ для всех x в области α . ^[15]

Естественный частичный порядок на инверсной полугруппе взаимодействует с отношениями Грина следующим образом: если s ≤ t и s t , то s = t . Аналогично, если s t . ^[16] ${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$ ${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

На E ( S ) естественный частичный порядок становится:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку относительно операции произведения, произведения на E ( S ) дают наименьшие верхние границы относительно ≤.

Если E ( S ) конечен и образует цепь (т.е. E ( S ) полностью упорядочен по ≤), то S является объединением групп . ^[17] Если E ( S ) является бесконечной цепью , то можно получить аналогичный результат при дополнительных гипотезах относительно S и E ( S ) . ^[18]

Гомоморфизмы и представления инверсных полугрупп

Гомоморфизм (или морфизм ) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любой другой полугруппы: для инверсных полугрупп S и T функция θ из S в T является морфизмом , если ( sθ ) ( tθ ) = ( st ) θ , для всех s , t из S . Определение морфизма инверсных полугрупп можно было бы расширить, включив условие ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θ , однако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения с помощью следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный образ инверсной полугруппы является инверсной полугруппой; инверсия элемента всегда отображается в инверсию образа этого элемента. ^[19]

Одним из самых ранних результатов, доказанных относительно инверсных полугрупп, была теорема Вагнера–Престона , которая является аналогом теоремы Кэли для групп :

Теорема Вагнера–Престона. Если S — обратная полугруппа, то функция φ из S в , заданная формулой ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( aφ ) = Sa ⁻¹ и x ( aφ ) = xa

является точным представлением S. [ ²⁰ ]

Таким образом, любая обратная полугруппа может быть вложена в симметричную обратную полугруппу, причем с образом, замкнутым относительно обратной операции над частичными биекциями. Обратно, любая подполугруппа симметричной обратной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметричной обратной полугруппы, замкнутой относительно обратных операций, тогда и только тогда, когда S является обратной полугруппой.

Сравнения на инверсных полугруппах

Конгруэнтность определяется на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: конгруэнтность ρ — это отношение эквивалентности , совместимое с умножением полугрупп, т. е.

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

Особый интерес представляет отношение , определяемое на инверсной полугруппе S соотношением ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$существует с ^[22] ${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle c\leq a,b.}$

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, это групповая конгруэнция , что означает, что фактор-полугруппа S / σ является группой. В множестве всех групповых конгруэнций на полугруппе S минимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S является обратной полугруппой, σ является наименьшей конгруэнцией на S такой, что S / σ является группой, то есть, если τ является любой другой конгруэнцией на S с S / τ группой, то σ содержится в τ . Конгруэнция σ называется минимальной групповой конгруэнцией на S . ^[23] Минимальная групповая конгруэнция может быть использована для характеристики E -унитарных инверсных полугрупп (см. ниже).

Конгруэнция ρ на инверсной полугруппе S называется идемпотентно чистой , если

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

Э-унитарные инверсные полугруппы

Одним из классов инверсных полугрупп , который интенсивно изучался на протяжении многих лет, является класс E -унитарных инверсных полугрупп: инверсная полугруппа S (с полурешеткой E идемпотентов ) является E -унитарной , если для всех e из E и всех s из S ,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Еще одна характеристика E -унитарной инверсной полугруппы S следующая: если e принадлежит E и e ≤ s для некоторого s из S , то s принадлежит E. ^[26]

Теорема. Пусть S — инверсная полугруппа с полурешеткой E идемпотентов и минимальной групповой конгруэнтностью σ . Тогда следующие условия эквивалентны: ^[27]

• S является E -унитарным;
• σ — идемпотентно чистый;
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

где — отношение совместимости на S , определяемое формулой ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$являются идемпотентными.

Теорема покрытия Макалистера. Каждая обратная полугруппа S имеет E-унитарное покрытие; то есть существует идемпотентный разделяющий сюръективный гомоморфизм из некоторой E-унитарной полугруппы T на S. ^[28]

Центральным в изучении E -унитарных обратных полугрупп является следующая конструкция. ^[29] Пусть будет частично упорядоченным множеством с порядком ≤, и пусть будет подмножеством со свойствами, которые ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$является нижней полурешеткой , то есть каждая пара элементов A , B в имеет точную нижнюю грань A B в (относительно ≤); ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$является порядковым идеалом , то есть для A , B из , если A принадлежит и B ≤ A , то B принадлежит . ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Теперь пусть G — группа , действующая на (слева), такая, что ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• для всех g в G и всех A , B в , gA = gB тогда и только тогда, когда A = B ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для каждого g в G и каждого B в существует A в такой, что gA = B ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для всех A , B в , A ≤ B тогда и только тогда, когда gA ≤ gB ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для всех g , h в G и всех A в , g ( hA ) = ( gh ) A . ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Предполагается также, что тройка обладает следующими свойствами: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• для каждого X из , существует g из G и A из , такие что gA = X ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• для всех g из G , g и имеют непустое пересечение. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Такая тройка называется тройкой Макалистера . Тройка Макалистера используется для определения следующего: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

вместе с умножением

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

Тогда — инверсная полугруппа относительно этого умножения, с ( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ ) . Одним из основных результатов в изучении E -унитарных инверсных полугрупп является P-теорема Макалистера : ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

P-теорема Макалистера. Пусть — тройка Макалистера. Тогда — E -унитарная обратная полугруппа. Обратно, каждая E -унитарная обратная полугруппа изоморфна одной из этого типа. ^[30] ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

Ф-обратные полугруппы

Говорят, что инверсная полугруппа является F -инверсной, если каждый элемент имеет единственный максимальный элемент над собой в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ -класс имеет максимальный элемент. Каждая F -инверсная полугруппа является E -унитарным моноидом. Теорема покрытия Макалистера была улучшена М. В. Лоусоном до:

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F -обратное покрытие. ^[31]

P -теорема Макалистера также использовалась для характеристики F -обратных полугрупп. Тройка Макалистера является F -обратной полугруппой тогда и только тогда, когда является главным идеалом и является полурешеткой. ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Свободные инверсные полугруппы

Для инверсных полугрупп возможна конструкция, аналогичная свободной группе . Представление свободной инверсной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая свободную полугруппу с инволюцией , где инволюция — это взятие инверсии, а затем взятие фактора по сравнению Вагнера

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

Проблема слов для свободных обратных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области принадлежит У. Д. Манну, который показал, что элементы свободной обратной полугруппы можно естественным образом рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на деревьях Манна, которые по сути состоят из перекрывающихся общих частей деревьев. (см. Lawson 1998 для получения дополнительных подробностей)

Любая свободная инверсная полугруппа является F -инверсной. ^[31]

Связи с теорией категорий

Вышеуказанная композиция частичных преобразований множества порождает симметричную обратную полугруппу. Существует другой способ композиции частичных преобразований, который является более ограничительным, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составляются тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β ; в противном случае композиция αβ не определена. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных взаимно-однозначных преобразований множества образует не обратную полугруппу, а индуктивный группоид в смысле теории категорий . Эта тесная связь между обратными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в теореме Эресмана–Шейна–Намбурипада , которая утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из обратной полугруппы, и наоборот. ^[32] Точнее, инверсная полугруппа — это в точности группоид в категории частично упорядоченных множеств, который является этальным группоидом относительно своей (двойственной) топологии Александрова и частично упорядоченный набор объектов которого является полурешеткой встреч.

Обобщения инверсных полугрупп

Как отмечено выше, инверсная полугруппа S может быть определена условиями (1) S является регулярной полугруппой и (2) идемпотенты в S коммутируют; это привело к двум различным классам обобщений инверсной полугруппы: полугруппы, в которых (1) выполняется, но (2) не выполняется, и наоборот.

Примерами регулярных обобщений инверсной полугруппы являются: ^[33]

• Регулярные полугруппы : полугруппа S является регулярной , если каждый элемент имеет хотя бы один обратный; эквивалентно, для каждого a из S существует x из S , такой что axa = a .
• Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально инверсной, если eSe является инверсной полугруппой для каждого идемпотента e .
• Ортодоксальные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальной , если ее подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой , если ее идемпотенты образуют нормальную связку, т. е. xyzx = xzyx , для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенно -инверсных полугрупп является пересечением класса локально-инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп. ^[34]

Среди нерегулярных обобщений инверсной полугруппы: ^[35]

• (Левая, правая, двусторонняя) адекватные полугруппы.
• (Левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.
• (Левые, правые, двусторонние) полуадекватные полугруппы.
• Слабо (левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.

Обратная категория

Это понятие инверсии также легко обобщается на категории . Инверсная категория — это просто категория, в которой каждый морфизм f  : X → Y имеет обобщенную инверсию g  : Y → X такую, что fgf = f и gfg = g . Инверсная категория является самодвойственной . Категория множеств и частичных биекций — яркий пример. ^[36]

Обратные категории нашли различные применения в теоретической информатике . ^[37]

Смотрите также

• Православная полугруппа
• Биоупорядоченное множество
• Псевдогруппа
• Частичные симметрии
• Регулярная полугруппа
• Полурешетка
• отношения Грина
• Теория категорий
• Специальные классы полугрупп
• Слабая обратная
• заказ Намбурипада

Примечания

1. Weisstein, Eric W. (2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (2-е изд.). CRC Press. стр. 1528. ISBN 978-1-4200-3522-3.
2. Лоусон 1998
3. Поскольку его отец был немцем, Вагнер предпочел немецкую транслитерацию своего имени (с «W», а не с «V») кириллицей – см. Schein 1981.
4. Сначала краткое объявление в Wagner 1952, затем гораздо более полное изложение в Wagner 1953.
5. Престон 1954a,b,c.
6. См., например, Gołab 1939.
7. Шейн 2002, стр. 152
8. Хауи 1995, стр. 149
9. Хауи 1995, Предложение 5.1.2(1)
10. Хауи 1995, Теорема 5.1.1
11. Хауи 1995, Предложение 5.1.2(1)
12. Вагнер 1952
13. Хауи 1995, Предложение 5.2.1
14. Хауи 1995, стр. 152–3
15. Хауи 1995, стр. 153
16. Лоусон 1998, Предложение 3.2.3
17. Клиффорд и Престон 1967, Теорема 7.5
18. Гонсалвес, Д.; Соботтка, М.; Старлинг, К. (2017). «Обратные полугрупповые сдвиги над счетными алфавитами». Semigroup Forum . 96 (2): 203–240. arXiv : 1510.04117 . doi : 10.1007/s00233-017-9858-5Следствие 4.9{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
19. Клиффорд и Престон 1967, Теорема 7.36
20. Howie 1995, Теорема 5.1.7 Первоначально Вагнер 1952 и, независимо, Престон 1954c.
21. Хауи 1995, стр. 22
22. Лоусон 1998, стр. 62
23. Лоусон 1998, Теорема 2.4.1
24. Лоусон 1998, стр. 65
25. Хауи 1995, стр. 192
26. Лоусон 1998, Предложение 2.4.3
27. Лоусон 1998, Теорема 2.4.6
28. Grillet, PA (1995). Полугруппы: Введение в теорию структур. CRC Press. стр. 248. ISBN 978-0-8247-9662-4.
29. Хауи 1995, стр. 193–4
30. Howie 1995, Теорема 5.9.2. Первоначально, McAlister 1974a,b.
31. Lawson 1998, стр. 230
32. Лоусон 1998, 4.1.8
33. Хауи 1995, Раздел 2.4 и Глава 6
34. Хауи 1995, стр. 222
35. Фонтан 1979, Гулд
36. Грандис, Марко (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологии с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами. World Scientific. стр. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.
37. Хайнс, Питер; Браунштейн, Сэмюэл Л. (2010). «Структура частичных изометрий». В Гей и Саймон; Маки, Ян (ред.). Семантические методы в квантовых вычислениях . Cambridge University Press. стр. 369. ISBN 978-0-521-51374-6.

Ссылки

• Клиффорд, AH; Престон, GB (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Математические обзоры Американского математического общества. Том 7. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, JB (1979). «Адекватные полугруппы». Труды Эдинбургского математического общества . 22 (2): 113–125. doi : 10.1017/S0013091500016230 .
• Голаб, ул. (1939). "Über den Begriff der "Pseudogruppe von Transformationen""". Mathematische Annalen (на немецком языке). 116 : 768–780. doi : 10.1007/BF01597390.
• Эксель, Р. (1998). «Частичные действия групп и действия обратных полугрупп». Труды Американского математического общества . 126 (12): 3481–4. arXiv : funct-an/9511003 . doi :10.1090/S0002-9939-98-04575-4.
• Gould, V. "(Слабо) левые E-обильные полугруппы". Архивировано из оригинала (Postscript) 2005-08-26 . Получено 2006-08-28 .
• Хауи, Дж. М. (1995). Основы теории полугрупп . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Лоусон, М. В. (1998). Обратные полугруппы: Теория частичных симметрий . World Scientific. ISBN 9810233167.
• Макалистер, ДБ (1974a). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы». Труды Американского математического общества . 192 : 227–244. doi :10.2307/1996831. JSTOR  1996831.
• Макалистер, ДБ (1974б). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II». Труды Американского математического общества . 196 : 351–370. doi : 10.2307/1997032 . JSTOR  1997032.
• Петрич, М. (1984). Инверсные полугруппы . Уайли. ISBN 0471875457.
• Престон, ГБ (1954а). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 396–403. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.396.
• Престон, ГБ (1954б). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 404–411. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.404.
• Престон, ГБ (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 411–9. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.411.
• Шейн, Б. М. (1981). "Некролог: Виктор Владимирович Вагнер (1908–1981)". Форум полугруппы . 28 : 189–200. doi : 10.1007/BF02676643 .
• Шейн, Б. М. (2002). «Обзор книги: «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий» Марка В. Лоусона». Semigroup Forum . 65 : 149–158. doi :10.1007/s002330010132.
• Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия Академии наук СССР . 84 : 1119–1122. Перевод на английский язык (PDF)
• Вагнер, В. В. (1953). «Теория обобщенных груд и обобщенных групп». Математический сборник . Новая серия. 32 (74): 545–632.

Дальнейшее чтение

• Краткое введение в обратные полугруппы см. в Clifford & Preston 1967, Глава 7 или Howie 1995, Глава 5.
• Более подробные введения можно найти в работах Петрича (1984) и Лоусона (1998).
• Линкельман, М. (2012). "Об обратных категориях и переносе в когомологиях" (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . 56 : 187. doi :10.1017/S0013091512000211.Препринт открытого доступа