Барон Огюстен-Луи Коши FRS FRSE ( Великобритания : / k ˈ oʊ ʃ i / KOH -shee , / k ˈ aʊ ʃ i / KOW -shee , [1] [2] США : / k oʊ ʃ ˈ iː / koh- SHEE , [2] [3] Франция: / ˈ o ɡ y s t ɛ̃ ˈ l w ˈ i k ˈ o ʃ ˈ i / , OH -gus- TEY loo- EE KOH - SHEE ; [4] 21 августа 1789 – 23 май 1857) — французский математик , инженер и физик , внесший новаторский вклад в несколько разделов математики, включая математический анализ и механику сплошных сред . Он был одним из первых, кто сформулировал и строго доказал теоремы исчисления , отвергая эвристический принцип общности алгебры более ранних авторов. Он — один из основоположников комплексного анализа и исследования групп перестановок в абстрактной алгебре .
Глубокий математик, Коши имел большое влияние на своих современников и последователей; [5] Ганс Фрейденталь заявил:
Коши был плодовитым писателем; он написал около восьмисот научных статей и пять полных учебников по различным темам в области математики и математической физики .
Коши был сыном Луи Франсуа Коши (1760–1848) и Мари-Мадлен Десестр. У Коши было два брата: Александр Лоран Коши (1792–1857), который стал председателем отделения апелляционного суда в 1847 году и судьей кассационного суда в 1849 году, и Эжен Франсуа Коши (1802–1877), публицист, написавший также несколько математических работ.
Коши женился на Алоизе де Буре в 1818 году. Она была близкой родственницей издателя, опубликовавшего большинство работ Коши. У них было две дочери, Мари Франсуаза Алисия (1819 г.) и Мария Матильда (1823 г.).
Отец Коши был высокопоставленным чиновником парижской полиции Старого режима , но потерял эту должность из-за Французской революции (14 июля 1789 года), которая разразилась за месяц до рождения Огюстена-Луи. [a] Семья Коши пережила революцию и последующее господство террора в 1793–1794 годах, сбежав в Аркей , где Коши получил свое первое образование от своего отца. [7] После казни Робеспьера в 1794 году семья могла безопасно вернуться в Париж. Там Луи-Франсуа Коши нашел бюрократическую работу в 1800 году [8] и быстро продвинулся по карьерной лестнице. Когда Наполеон пришел к власти в 1799 году, Луи-Франсуа Коши получил дальнейшее повышение и стал генеральным секретарем Сената, работая непосредственно под руководством Лапласа (который сейчас более известен своими работами по математической физике). Математик Лагранж также был другом семьи Коши. [5]
По совету Лагранжа, Огюстен-Луи осенью 1802 года был зачислен в Центральную школу Пантеона , лучшую среднюю школу Парижа того времени. [7] Большая часть учебной программы состояла из классических языков; амбициозный Коши, будучи блестящим учеником, выиграл множество премий по латыни и гуманитарным наукам. Несмотря на эти успехи, Коши выбрал карьеру инженера и готовился к вступительным экзаменам в Политехническую школу .
В 1805 году он занял второе место из 293 претендентов на этом экзамене и был принят. [7] Одной из основных целей этой школы было дать будущим гражданским и военным инженерам научное и математическое образование высокого уровня. В школе действовала военная дисциплина, что вызвало у Коши некоторые проблемы с адаптацией. Тем не менее, он закончил курс в 1807 году, в возрасте 18 лет, и поступил в École des Ponts et Chaussées (Школу мостов и дорог). Он окончил инженерно-строительный факультет с высшим отличием.
После окончания школы в 1810 году Коши устроился на работу младшим инженером в Шербур, где Наполеон намеревался построить военно-морскую базу. Здесь Коши пробыл три года, получил задание на проект канала Урк и моста Сен-Клу , а также работал в гавани Шербура. [7] Хотя у него была чрезвычайно загруженная управленческая работа, он все же нашел время для подготовки трех математических рукописей, которые он представил в Première Classe (Первый класс) Института Франции . [b] Первые две рукописи Коши (о многогранниках ) были приняты; третий (о направляющих конических сечений ) был отвергнут.
В сентябре 1812 года, в возрасте 23 лет, Коши вернулся в Париж после того, как заболел от переутомления. [7] Другой причиной его возвращения в столицу было то, что он терял интерес к своей инженерной работе, его все больше и больше привлекала абстрактная красота математики; в Париже у него будет гораздо больше шансов найти должность, связанную с математикой. Когда в 1813 году его здоровье улучшилось, Коши решил не возвращаться в Шербур. [7] Хотя формально он сохранил свою инженерную должность, его перевели из списочного состава Морского министерства в Министерство внутренних дел. Следующие три года Коши в основном находился в неоплачиваемом отпуске по болезни; свое время он проводил плодотворно, занимаясь математикой (над смежными темами симметрических функций , симметрической группы и теории алгебраических уравнений высшего порядка). Он пытался поступить в первый класс Института Франции, но трижды потерпел неудачу в период с 1813 по 1815 год. В 1815 году Наполеон потерпел поражение при Ватерлоо, и вновь назначенный король Людовик XVIII взялся за восстановление. Академия наук была восстановлена в марте 1816 года; Лазар Карно и Гаспар Монж были исключены из этой Академии по политическим мотивам, а на место одного из них король назначил Коши. Реакция коллег Коши была резкой; они считали принятие его членства в Академии возмутительным, и Коши нажил много врагов в научных кругах.
В ноябре 1815 года Луи Пуансо , который был доцентом Политехнической школы, попросил освободить его от преподавательских обязанностей по состоянию здоровья. Коши к тому времени был восходящей математической звездой. Одним из его крупнейших успехов в то время было доказательство теоремы Ферма о многоугольных числах . Он оставил свою инженерную работу и получил годовой контракт на преподавание математики студентам второго курса Политехнической школы. В 1816 году эта бонапартистская, нерелигиозная школа была реорганизована, а несколько либеральных профессоров были уволены; Коши получил звание профессора.
Когда Коши было 28 лет, он все еще жил со своими родителями. Его отец нашел время женить сына; он нашел ему подходящую невесту, Алоизу де Буре, которая была на пять лет младше его. Семья де Буре занималась типографией и книготорговлей и опубликовала большую часть работ Коши. [9] Алоиза и Огюстен поженились 4 апреля 1818 года с торжественной римско-католической церемонией в церкви Сен-Сюльпис. В 1819 году у пары родилась первая дочь Мари Франсуаза Алисия, а в 1823 году вторая и последняя дочь Мари Матильда. [10]
Консервативный политический климат, продолжавшийся до 1830 года, идеально подходил Коши. В 1824 году Людовик XVIII умер, и ему наследовал его еще более консервативный брат Карл X. В эти годы Коши работал очень продуктивно и публиковал один важный математический трактат за другим. Он получил перекрестные назначения в Коллеж де Франс и на факультете наук Парижа .
В июле 1830 года во Франции произошла Июльская революция . Карл X бежал из страны, и ему наследовал Луи-Филипп . Беспорядки, в которых активное участие приняли студенты Политехнической школы в форме, бушевали недалеко от дома Коши в Париже.
Эти события стали поворотным моментом в жизни Коши и перерывом в его математической продуктивности. Потрясенный падением правительства и движимый глубокой ненавистью к либералам, пришедшим к власти, Коши покинул Францию и уехал за границу, оставив свою семью. [11] Он провел короткое время во Фрибурге в Швейцарии, где ему пришлось решить, принесет ли он необходимую присягу на верность новому режиму. Он отказался сделать это и, следовательно, потерял все свои должности в Париже, за исключением членства в Академии, для которого не требовалась присяга. В 1831 году Коши отправился в итальянский город Турин и через некоторое время там принял предложение короля Сардинии (правившего Турином и окрестным регионом Пьемонт) о создании кафедры теоретической физики, созданной специально для него. Он преподавал в Турине в 1832–1833 годах. В 1831 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук , а в следующем году — иностранным почётным членом Американской академии искусств и наук . [12]
В августе 1833 года Коши уехал из Турина в Прагу , чтобы стать наставником тринадцатилетнего герцога Бордо Анри д'Артуа (1820–1883), изгнанного наследного принца и внука Карла X. [13] В качестве профессора. В Политехнической школе Коши был заведомо плохим лектором, предполагая уровень понимания, которого могли достичь лишь немногие из его лучших студентов, и забивая отведенное ему время слишком большим количеством материала. Анри д'Артуа не имел ни вкуса, ни таланта ни к математике, ни к естественным наукам. Хотя Коши очень серьезно относился к своей миссии, он сделал это с большой неуклюжестью и с удивительным отсутствием власти над Анри д'Артуа. Во время своей работы в области гражданского строительства Коши однажды некоторое время отвечал за ремонт нескольких парижских канализационных сетей, и он совершил ошибку, упомянув об этом своему ученику; Анри д'Артуа с большой злобой заявил, что Коши начал свою карьеру в канализационных трубах Парижа. Роль Коши в качестве наставника продолжалась до тех пор, пока Анри д'Артуа не исполнилось восемнадцать лет, в сентябре 1838 года. [11] Коши почти не проводил никаких исследований в течение этих пяти лет, в то время как Анри д'Артуа на всю жизнь приобрел неприязнь к математике. Коши был назван бароном - титул, которому Коши придавал большое значение.
В 1834 году его жена и две дочери переехали в Прагу, и Коши воссоединился с семьей после четырех лет ссылки.
Коши вернулся в Париж и занял свою должность в Академии наук в конце 1838 года. [11] Он не смог восстановить свои преподавательские должности, поскольку все еще отказывался принести присягу на верность.
В августе 1839 года появилась вакансия в Бюро долгот . Это Бюро чем-то напоминало Академию; например, он имел право кооптировать своих членов. Далее считалось, что члены Бюро могли «забыть» о присяге, хотя формально, в отличие от академиков, они были обязаны ее принять. Бюро долгот — организация, основанная в 1795 году для решения проблемы определения положения на море — главным образом по долготной координате, поскольку широту легко определить по положению Солнца. Поскольку считалось, что положение на море лучше всего определяется астрономическими наблюдениями, Бюро превратилось в организацию, напоминающую академию астрономических наук.
В ноябре 1839 года Коши был избран в Бюро и обнаружил, что без присяги не так-то легко обойтись. Без присяги король отказался утвердить его избрание. В течение четырех лет Коши был избран, но не утвержден; соответственно, он не был формальным членом Бюро, не получал оплаты, не мог участвовать в заседаниях и не мог подавать документы. Тем не менее Коши отказывался принимать какие-либо присяги; однако он чувствовал себя достаточно лояльным, чтобы направить свои исследования на небесную механику . В 1840 году он представил в Академию дюжину работ по этой теме. Он описал и проиллюстрировал знаково-цифровое представление чисел — нововведение, представленное в Англии в 1727 году Джоном Колсоном . Непонятное членство в Бюро продлилось до конца 1843 года, когда Коши сменил Пуансо.
На протяжении всего девятнадцатого века французская система образования боролась за отделение церкви от государства. Потеряв контроль над системой государственного образования, католическая церковь стремилась создать свою собственную отрасль образования и нашла в лице Коши верного и выдающегося союзника. Он передал свой престиж и знания École Normale Écclésiastique, парижской школе, которой управляют иезуиты, для подготовки учителей для своих колледжей. Принимал участие в основании Католического института . Целью этого института было противодействовать последствиям отсутствия католического университетского образования во Франции. Эта деятельность не принесла Коши популярности среди его коллег, которые в целом поддерживали идеалы Просвещения Французской революции. Когда в 1843 году в Коллеж де Франс освободилась кафедра математики, Коши подал заявку на нее, но получил лишь три из 45 голосов.
В 1848 году король Луи-Филипп бежал в Англию. Присяга на верность была отменена, и дорога к академическому назначению была для Коши открыта. 1 марта 1849 года он был восстановлен на факультете наук в должности профессора математической астрономии. После политических потрясений на протяжении всего 1848 года Франция решила стать республикой под президентством Наполеона III Франции . В начале 1852 года президент провозгласил себя императором Франции и принял имя Наполеон III .
В бюрократических кругах возникла идея, что было бы полезно вновь потребовать присяги на верность от всех государственных чиновников, включая профессоров университетов. На этот раз член кабинета министров смог убедить императора освободить Коши от присяги. Коши оставался профессором университета до своей смерти в возрасте 67 лет. Он совершил последний обряд и умер от бронхиального заболевания в 4 часа утра 23 мая 1857 года .
Его имя — одно из 72 имен, написанных на Эйфелевой башне .
Гениальность Коши проявилась в его простом решении проблемы Аполлония — описании окружности , касающейся трёх заданных окружностей — которую он открыл в 1805 году, его обобщении формулы Эйлера на многогранники в 1811 году и в ряде других изящных задач. Более важными являются его мемуары о распространении волн , получившие Гран-при Французской академии наук в 1816 году. Работы Коши охватывали важные темы. В теории рядов он развил понятие сходимости и открыл многие основные формулы для q-рядов . В теории чисел и комплексных величин он первым определил комплексные числа как пары действительных чисел. Он также писал по теории групп и подстановок, теории функций, дифференциальных уравнений и определителей. [5]
В теории света он работал над волновой теорией Френеля , а также над дисперсией и поляризацией света. Он также внес вклад в исследования в области механики , заменив принцип непрерывности материи понятием непрерывности геометрических смещений. [14] Он писал о равновесии стержней и упругих мембран, а также о волнах в упругих средах. Он ввел симметричную матрицу чисел 3 × 3, которая теперь известна как тензор напряжений Коши . [15] В области упругости он создал теорию напряжения , и его результаты почти так же ценны, как и результаты Симеона Пуассона . [5]
Другой значительный вклад включает в себя то, что он первым доказал теорему Ферма о многоугольных числах .
Коши наиболее известен своей самостоятельной разработкой теории комплексных функций . Первая основная теорема, доказанная Коши, теперь известная как интегральная теорема Коши , заключалась в следующем:
где f ( z ) — комплекснозначная функция, голоморфная на и внутри несамопересекающейся замкнутой кривой C (контура), лежащей в комплексной плоскости . Контурный интеграл берется по контуру C. Зачатки этой теоремы уже можно найти в статье, которую 24-летний Коши представил Академии наук (тогда еще называвшейся «Первым классом Института») 11 августа 1814 года. В полной форме теорема выглядела так: дано в 1825 году. [16] Статью 1825 года видели многие [ кем? ] как самый важный вклад Коши в математику.
В 1826 году Коши дал формальное определение вычета функции . [17] Эта концепция касается функций, которые имеют полюса — изолированные особенности, т. е. точки, в которых функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Если комплексную функцию f ( z ) можно разложить в окрестности особенности a как
где φ( z ) аналитичен (т. е. корректен и не имеет особенностей), то говорят, что f имеет полюс порядка n в точке a . Если n = 1, полюс называется простым. Коэффициент B1 Коши называет вычетом функции f в точке a . Если f неособа в точке a , то вычет f равен нулю в точке a . Ясно, что в случае простого полюса вычет равен
где мы заменили B 1 современным обозначением остатка.
В 1831 году, находясь в Турине, Коши представил две статьи в Туринскую академию наук. В первой [18] он предложил формулу, известную ныне как интегральная формула Коши :
где f ( z ) аналитично на C и внутри области, ограниченной контуром C , а комплексное число a находится где-то в этой области. Контурный интеграл берется против часовой стрелки. Очевидно, что подынтегральная функция имеет простой полюс в точке z = a . Во второй статье [19] он представил теорему о вычетах
где сумма ведется по всем n полюсам f ( z ) на контуре C и внутри него . Эти результаты Коши до сих пор составляют основу теории сложных функций, которую сегодня преподают физикам и инженерам-электрикам. Современники Коши долгое время игнорировали его теорию, считая ее слишком сложной. Только в 1840-х годах теория начала получать отклик: Пьер Альфонс Лоран стал первым математиком, помимо Коши, внесшим существенный вклад (его работа над тем, что сейчас известно как ряд Лорана , опубликована в 1843 году).
В своей книге «Кур анализа» Коши подчеркнул важность строгости в анализе. Строгость в данном случае означала отказ от принципа общности алгебры (более ранних авторов, таких как Эйлер и Лагранж) и замену его геометрией и бесконечно малыми . [20] Джудит Грабинер писала, что Коши был «человеком, который научил строгому анализу всю Европу». [21] Эту книгу часто называют первым местом, где неравенства и аргументы были введены в исчисление. Здесь Коши определил непрерывность следующим образом: функция f(x) непрерывна по x между заданными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда приводит к бесконечно малому приращению самой функции.
М. Барани утверждает, что Школа потребовала включения бесконечно малых методов вопреки здравому смыслу Коши. [22] Гилен отмечает, что когда в 1825 году часть учебной программы, посвященная алгебраическому анализу, была сокращена, Коши настоял на том, чтобы поместить тему непрерывных функций (и, следовательно, также бесконечно малых) в начало дифференциального исчисления. [23] Лаугвиц (1989) и Бенис-Синасер (1973) отмечают, что Коши продолжал использовать бесконечно малые числа в своих собственных исследованиях даже в 1853 году.
Коши дал явное определение бесконечно малого числа в терминах последовательности, стремящейся к нулю. О понятии Коши «бесконечно малых величин» написано огромное количество литературы, утверждая, что они ведут от всего, от обычных «эпсилонтических» определений до понятий нестандартного анализа . Все согласны с тем, что Коши опустил или оставил неявными важные идеи, чтобы прояснить точное значение бесконечно малых величин, которые он использовал. [24]
Он был первым, кто строго доказал теорему Тейлора , установив свою известную форму остатка. [5] Он написал учебник [25] (см. иллюстрацию) для своих студентов Политехнической школы, в котором максимально строго разработал основные теоремы математического анализа. В этой книге он дал необходимое и достаточное условие существования предела в той форме, которую преподают до сих пор. Также из этой книги взят известный тест Коши на абсолютную сходимость : Тест конденсации Коши . В 1829 году он впервые определил комплексную функцию комплексной переменной в другом учебнике. [26] Несмотря на это, в собственных исследовательских работах Коши часто использовались интуитивные, а не строгие методы; [27] таким образом, одна из его теорем была подвергнута «контрпримеру» Абеля , позже зафиксированному введением понятия равномерной непрерывности .
В статье, опубликованной в 1855 году, за два года до смерти Коши, он обсудил некоторые теоремы, одна из которых аналогична «Принципу аргумента » во многих современных учебниках по комплексному анализу. В современных учебниках по теории управления принцип аргумента Коши довольно часто используется для вывода критерия устойчивости Найквиста , который можно использовать для прогнозирования устойчивости усилителей с отрицательной обратной связью и систем управления с отрицательной обратной связью . Таким образом, работа Коши оказала сильное влияние как на чистую математику, так и на практическую инженерию.
Коши был очень продуктивен, уступая по количеству статей только Леонарду Эйлеру . На то, чтобы собрать все его сочинения в 27 больших томов, понадобилось почти столетие:
Его величайший вклад в математическую науку заключен в введенных им строгих методах; в основном они воплощены в трех его великих трактатах:
Среди других его работ:
{{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка ){{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )Огюстен-Луи Коши вырос в доме убежденного роялиста. Это заставило его отца бежать с семьей в Аркей во время Французской революции . Их жизнь там в то время была, по-видимому, тяжелой; Отец Огюстена-Луи, Луи Франсуа, рассказал, что в тот период жил на рисе, хлебе и крекерах. В абзаце из недатированного письма Луи Франсуа своей матери в Руан говорится: [28]
У нас никогда не было больше полуфунта (230 г) хлеба, а иногда и этого. Мы дополняем это небольшим запасом твердых крекеров и риса, которые нам выделяют. В остальном мы неплохо ладим, и это очень важно и доказывает, что люди могут обойтись малым. Должен вам сказать, что для детской каши у меня еще есть немного хорошей муки, приготовленной из пшеницы, которую я вырастил на своей земле. У меня было три бушеля, а также несколько фунтов картофельного крахмала . Он белый как снег и очень хорош, особенно для совсем маленьких детей. Оно тоже выращено на моей земле. [29]
В любом случае он унаследовал стойкий роялизм своего отца и поэтому отказался приносить присягу какому-либо правительству после свержения Карла X.
Он был столь же стойким католиком и членом Общества Святого Винсента де Поля . [30] Он также имел связи с Обществом Иисуса и защищал их в Академии, когда это было политически неразумно. Его рвение к своей вере, возможно, привело к тому, что он заботился о Чарльзе Эрмите во время его болезни и побудил Эрмита стать верным католиком. Это также вдохновило Коши защищать интересы ирландцев во время Великого голода в Ирландии .
Его роялизм и религиозное рвение сделали его спорным, что вызвало трудности с его коллегами. Он чувствовал, что с ним плохо обращались за его убеждения, но его оппоненты считали, что он намеренно провоцировал людей, ругая их по религиозным вопросам или защищая иезуитов после того, как они были подавлены. Нильс Хенрик Абель назвал его «фанатичным католиком» [31] и добавил, что он «сумасшедший, и с ним ничего нельзя поделать», но в то же время похвалил его как математика. Взгляды Коши были широко непопулярны среди математиков, и когда Гульельмо Либри Каруччи далла Соммаха был назначен заведующим кафедрой математики до него, он, как и многие другие, почувствовал, что причиной были его взгляды. Когда Либри обвинили в краже книг, его заменил Жозеф Лиувилль , а не Коши, что вызвало раскол между Лиувиллем и Коши. Другой спор с политическим подтекстом касался Жана-Мари Констана Дюамеля и заявлений о неэластичных потрясениях. Позже Жан-Виктор Понселе доказал, что Коши ошибался.
